辽宁省铁岭市开原市第二高级中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含答案.doc

1、20202021 学年（上）高二期初考试 数学试卷 时间：120 分钟满分：150 分 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） （特别提示：题中涉及的图形均在第七题下面）（特别提示：题中涉及的图形均在第七题下面） 1如图，正方体 1111 OABCO ABC的棱长为 2，E是 1 B B上的点，且 1 2EBEB，则点E的坐标 为（） A(2,2,1)B(2,2,2) C 2 (2,2, ) 3 D 4 (2,2, ) 3 2已知(2,3,1)AB ，(4,5,3)AC ，那么向量BC （）. A( 2, 2, 2)B

2、(2,2,2) C(6,8,4)D(8,15,3) 3已知空间向量 0abc ，| 2a ，| 3b ，| 4c ，则cos, a b （） A 1 2 B 1 3 C 1 2 D 1 4 4在空间四边形ABCD的各边ABBCCDDA、上的依次取点EFGH、 、 、，若 EFGH、所在直线相交于点P，则（） A点P必在直线BD上B点P必在直线AC上 C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外 5设、为平面，a、b为直线，给出下列条件： a，b，/a，/b/ ，/ ，a，b，/a b 其中能推出/ 的条件是（）. ABCD 6在空间直角坐标系中，已知 M（1，0，2），N（3，2，4），则 M

3、N 的中点 Q 到坐标原点 O 的距离为（） A 3 B 2 C2 D3 7已知( ,2,0)ax ，(3,2, )bx x ，且a 与b 的夹角为钝角，则x的取值范围是（）. A(, 4) B( 4,0) C(0,4)D(4,) （第 1 题）（第 9 题）（第 11 题）（第 12 题） 8在轴截面为等腰直角三角形的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则 圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（） A 2 :1 B2：1C 3 :1 D4：1 9如图，在大小为 45的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是()

4、A 3 B 2 C1D 32 10（多选题）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列选项正确的() A若/m，/n，则/m nB若m，n，则/m n C若，m，则/mD若 /n，n，则 11（多选题）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是() A直线 BC 与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 4 D三棱柱 1111 AADBBC外接球表面积为3 12如图，正四面体DABC的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上， 则在下列命题

5、中，错误的是() AOABC是正三棱锥B直线OB与平面ACD相交 C直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 3 2 D异面直线AB和CD所成角是90 二、填空题二、填空题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.把答案填在答案页相应的把答案填在答案页相应的 位置上位置上) 特别提示特别提示：题中涉及的图形均在题中涉及的图形均在 20 题下方题下方 13已知O是空间任一点，, ,A B C D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 234OAx BOy COz DO ，则234xyz_. 14已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为 1,3,uz ，向量 3,

6、2,1v 与平面 平行，则z _. 15水平放置的 ABC 的斜二侧直观图如图所示，若 11 2AC ， ABC 的面积为2 2，则 11 AB的 长为_. 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC， ABC 是边长为 2 的正 三角形，PAPC，则球O的体积为_ 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7 70 0 分分, ,解答应写出必要的文字说明、证明解答应写出必要的文字说明、证明 过程及演算步骤过程及演算步骤.).) 17（本题 10 分）如图，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，2PDDC，点 E，F分别为AD，PC的中点

7、（）证明：/ /DF平面PBE； （）求点F到平面PBE的距离 18（本题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点. （）求证：BD平面 PAC； （）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； 19（本题 12 分）如图，已知平行六面体 1111 ABCDABC D中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形， 1 2AA ， 11 120A ABA AD (1)求线段 1 AC的长；(2)求异面直线 1 AC与 1 A D所成角的余弦值； 20（本题 12 分）菱形ABCD的对角线AC与BD交于点,5,6O ABAC，

8、点,E F分别在 ,AD CD上， 5 , 4 AECFEF交BD于点H，将DEF沿EF折到 D EF 位置， 10OD . （1）证明：DH平面ABCD；（2）求二面角BD AC的正弦值 （第 15 题）（第 17 题）（第 18 题）（第 19 题） （第 20 题）（第 21 题）（第 22 题） 21（本题 12 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 AAC C 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F分别是 11 ,AC AB的中点. （1）证明：EFBC；（2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. 22（本题 12 分）如图

9、，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC， PA=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 1 3 PF PC （）求证：CD平面 PAD；（）求二面角 FAEP 的余弦值； （）设点 G 在 PB 上，且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 1D2B3D4B5C6A7A8A9D 10BD11ABD12C 13.-114315 2 16 6 17.（）证明：取点G是PB的中点，连接EG，FG，则 / /FGBC， 且 1 2 FGBC ， / /DEBC且 1 2 DEBC ， / /DEFG且DEFG

10、，四边形DEGF为平行 四边形， / /DFEG，/ /DF 平面PBE （）解：由（）知 / /DF 平面PBE，所以点D到平面PBE的距离 与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距 离，设为d 利用等体积法：D PBEP BDE VV ，即 11 33 PBEBDE SdSPD ， 1 1 2 BDE SDEAB ， 5PEBE，2 3PB ， 6 PBE S ， 6 3 d 18（）证明：因为PA 平面ABCD,所以PA BD；因为底面 ABCD是菱形，所以ACBD;因为PAACA, ,PA AC 平面PAC,所以 BD 平面PAC. （）证明：因为底面ABCD是菱

11、形且 60ABC，所以ACD 为正 三角形，所以AE CD ,因为 / /ABCD,所以AEAB ；因为PA 平面 ABCD，AE 平面ABCD, 所以AE PA；因为PAABA所以AE 平面PAB，AE 平面PAE,所 以平面PAB 平面PAE. 19（1）设 1 ,ABa ADb AAc ，则| | | | 1ab ，| |2c ，0a b ， 2 1 cos1201c ac b ， 11 1 ACACCCABADAAabc , 1ACabc 2 abc 222 | |2abca bb cc a 222 11220 1 12 线段 1 AC的长为 2. （2）设异面直线1 AC与 1 AD

12、所成的角为，则 11 11 11 coscos, | ACAD AC AD ACAD 1 1 ,ACabc ADbc 22 22 11 () ()0 1 122ACADabcbca ba cbc 2 22 1 |2| |DAbcbb cc 22 12127 . 11 1 1 214 cos 727 | ACAD ACDA . 故异面直线1 AC与 1 AD所成角的余弦值为 14 7 . 20(1)由已知得AC BD ，AD CD ,又由AE CF 得 AECF ADCD ，故 ACEF，因此EFHD ，从而EFD H .由 56ABAC， 得 22 4DOBOABAO. 由ACEF得 1 4

13、OHAE DOAD .所以 1OH , 3D HDH . 于是 22222 3110D HOHD O ,故D HOH .又D HEF , 而OH EFH , 所以DH 平面ABCD. 如图，以H为坐标原点，HF 的方向为x轴的正方向，建立空间直 角坐标系H xyz ，则 0,0,0H ， 3, 1,0A ， 0, 6,0B ， 3, 1,0C ， 0,0,3 D ， 3, 4,0AB ， 6,0,0AC ， 3,1,3AD . 设 111 ,mx y z r 是平面ABD的法向量， 则 0 0 m AB m AD ，即 11 111 340 3 30 xy xyz ，可取 4,3, 5m .

14、设 222 ,nxy z r 是平面ACD的法向量， 则 0 0 n AC n AD ，即 2 222 60 3 30 x xyz ，可取 0, 3,1n 于是 147 5 cos, 255010 m n m n m n ， 设二面角的大小为， 2 95 sin 25 .因此二面角BD AC 的正弦值是 2 95 25 . 21 (1)如图所示，连结11 ,AE B E，等边 1 AAC 中，AE EC ，则 1 AEAC ， 平面 ABC平面11 A ACC ，且平面 ABC平面11 A ACCAC ， 由面面垂直的性质定理可得：1 AE 平面ABC，故 1 AEBC ， 由三棱柱的性质可知

15、11 ABAB ，而AB BC ，故11 ABBC ，且 1111 ABAEA ， 由线面垂直的判定定理可得：BC平面11 AB E， 结合EF平面11 AB E，故EFBC . (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC,1 EA方 向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz . (3)设 1EH ，则3AEEC， 11 2 3AACA ,3,3BCAB， 据此可得： 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 由 11 ABAB 可得点1 B的坐标为 1 3 3 ,3,3 2 2 B ， 利用中点坐标公式可得：

16、3 3 ,3,3 4 4 F ，由于 0,0,0E ， 故直线 EF 的方向向量为： 3 3 ,3,3 4 4 EF 设平面1 ABC的法向量为, ,mx y z ，则： 1 3333 , , 330 2222 3333 , ,00 2222 m ABx y zxyz m BCx y zxy ， 据此可得平面1 ABC的一个法向量为 1, 3,1m ， 3 3 ,3,3 4 4 EF 此时 64 cos, 53 5 5 2 EF m EF m EFm ， 设直线 EF 与平面1 ABC所成角为，则 43 sincos,cos 55 EF m . 22. ()由于 PA平面 ABCD，CD平面

17、ABCD，则 PACD， 由题意可知 ADCD，且 PAAD=A， 由线面垂直的判定定理可得 CD平面 PAD. ()以点 A 为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴，AD,AP 方向为 y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 0,0,0 ,0,0,2 ,2,2,0 ,0,2,0APCD ，由 1 3 PFPC 可得点 F 的坐标 2 2 4 , 3 3 3 F ， 由 1 2 PEPD 可得 0,1,1E ，设平面 AEF 的法向量为： , ,mx y z ，则 2 2 4224 , ,0 3 3 3333 , ,0,1,10 m AFx y zxyz m AEx y zyz ， 据此可得平面 AEF 的一个法向量为： 1,1, 1m ，很明显平面 AEP 的一个法向量为 1,0,0n r ， 13 cos, 33 1 m n m n mn ， 二面角 FAEP 的平面角为锐角，故二面角 FAEP 的余弦值为 3 3 . ()易知 0,0,2 ,2, 1,0PB ，由 2 3 PGPB 可得 42 2 , 33 3 G ，则 42 2 , 33 3 AG ， 注意到平面 AEF 的一个法向量为： 1,1, 1m ，其0m AG 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内.