山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 单县五中高二上学期第一次月考数学试题单县五中高二上学期第一次月考数学试题 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面和平面的法向量分别为3,1,2 ,6, 2,10mn ，则（） A. B. C. 与相交但不垂直D. 以上都不 对 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算结果，即可判断. 【详解】因为182200m n 故可得mn ， 则平面和平

2、面垂直. 故选：A. 【点睛】本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系. 2. 在空间直角坐标系中，点(2, 1,3)A关于平面xOz的对称点为B，则OA OB () A.10B.10C.12D.12 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据点(2, 1,3)A关于平面xOz的对称点(2,1,3)B，求得,OA OB 的坐标，利用向 量的数量积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2, 1,3)A关于平面xOz的对称点(2,1,3)B， 所以=(2, 1,3),(2,1,3)OAOB ,则2 2( 1) 1 3 312OA OB ，故选 D. 【点睛】本题主

3、要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中 解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 如图， 已知空间四边形 OABC， M， N 分别是 OA， BC 的中点， 且OA a ，OB b ，OC c ， 用, ,a b c 表示向量MN 为 （） A. 111 222 abc B. 111 222 abc rrr C. 111 222 abc D. 111 222 abc 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得MN MAABBN ，进一步

4、化为以,OA OB OC 表示，即可得出结果. 【详解】由图可知， MNMAABBN 11 22 OAOBOABC 11 22 OAOBOAOCOB 111 222 OAOBOC 111 222 abc . 故选：C. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题. 4. 已知正四面体ABCD的棱长为a， 点E， F分别是,BC AD的中点， 则AE AF 的值为 （） A. 2 a B. 2 1 2 aC. 2 1 4 aD. 2 3 4 a 【答案】C 【解析】 【分析】 把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基底的向量的表示形式，写出向量的数量 高考资源网（）您身边的高考专家 版

5、权所有高考资源网 - 3 - 积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果 【详解】解： 11 () 22 AE AFABACAD 1 () 4 AB ADAC AD 1 (cos60cos60 ) 4 aaaa 222 1 111 () 4 224 aaa 故选：C. 【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个 顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算 5. （多选题）已知直线 l 过点(1,0, 1)P，平行于向量(2,1,1)a ，平面过直线 l 与点 (1,2,3)M，则平面的法向量可能是（） A. (1，4，2)B. 11 (

6、 , 1, ) 42 C. 11 (,1,) 42 D. (0，1， 1) 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由题可知所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a ，和向量PM ，所以利用向量垂直的判 定验证即可 【详解】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a ，和向量PM ， 而(1,2,3)(1,0, 1)(0,2,4)PM ， 选项 A，(2,1,1) (1, 4,2)0,(0,2,4) (1, 4,2)0满足垂直，故正确； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 选项 B， 1111 (2,1,1) ( , 1, )0,(0,2,4) (

7、 , 1, )0 4242 满足垂直，故正确； 选项 C， 1111 (2,1,1) (,1,)0,(0,2,4) (,1,)0 4242 满足垂直，故正确； 选项 D，(2,1,1) (0, 1,1)0，但(0,2,4) (0, 1,1)0，故错误 故选：ABC 【点睛】此题考查平面的法向量，向量的数量积运算，属于基础题. 6. 在一直角坐标系中，已知( 1,6),(3, 8)AB，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折 叠后,A B两点间的距离为（） A. 2 41 B. 41 C. 17 D. 2 17 【答案】D 【解析】 【分析】 画 出 图 形 ， 作,ACCD BDCD， 则6

8、,8,4ACBDCD， 可 得 0,0AC CDBD CD ， 沿x轴将坐标平面折成60的二面角， 故两异面直线,CA DB所成 的角为60，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,ACCD BDCD 则6,8,4ACBDCD， 0,0AC CDBD CD 沿x轴将坐标平面折成60的二面角 两异面直线,CA DB所成的角为60 可得：.cos6024CA DBCADB 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故由AB ACCDDB 得 22 |ABACCDDB 222 2+22ACCDDBAC CDCD DBAC DB 222 2+22ACCDDB

9、AC CDCD DBCA DB 36 166448 68 | 2 17AB 故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求 解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 7. 在三棱锥PABC中，PC 底面ABC，90BAC ，4ABAC，60PBC ， 则点C到平面PAB的距离是( ) A. 3 42 7 B. 4 42 7 C. 5 42 7 D. 6 42 7 【答案】B 【解析】 【分析】 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出点C到平面PAB的距离 【详解】在三棱锥P

10、ABC中，PC 底面ABC，90BAC ，4ABAC， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 60PBC ， 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴， 过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0,C4，0)，(0,P4，4 6)，(0,A0，0)， (4,B0，0)， (0,AC 4，0)，(4,AB 0，0)， (0,AP 4，4 6)， 设平面PAB的法向量( ,nx y，) z， 则 44 60 40 n APyz n ABx ， 取1z ，得0,6,1n ， 点C到平面PAB的距离 4 64 42 77 AC n d n 故选B 【点睛】本题考查点

11、到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 8. 已知空间直角坐标系Oxyz中，1,2,3OA uuu r ，2,1,2OB uuu r ，1,1,2OP uuu r ，点Q在 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（） A. 1 3 1 , 2 4 3 B. 1 3 3 , 2 2 4 C. 4 4 8 , 3 3 3 D. 4 4 7 , 3 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ( , , )Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得( , ,

12、2 )Q ，再结合向量的数量积和二次函数的 性质，求得 4 3 时，QA QB 取得最小值，即可求解. 【详解】设 ( , , )Q x y z， 由点Q在直线OP上，可得存在实数使得OQOP ， 即( , , )(1,1,2)x y z，可得( , ,2 )Q , 所以(1,2,32 ),(2,1,22 )QAQB , 则 2 (1)(2)(2)(1)(32 )(22 )2(385)QA QB ， 根据二次函数的性质，可得当 4 3 时，取得最小值 2 3 ，此时 4 4 8 ( , ) 3 3 3 Q. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答

13、中根据 向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 空间四个点 O，A，B，C，,OA OB OC 为空间的一个基底，则下列说法正确的是（） A. O，A，B，C 四点不共线B. O，A，B，C 四点共面，但不共线 C. O，A，B，C 四点中任意三点不共线

14、D. O，A，B，C 四点不共面 【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 用空间向量的定义进行判断，不共面的三个向量可以作为空间的一个基底. 【详解】由空间基底的定义，,OA OB OC 三个向量不共面， 但选项 A，B，C 三种情形都有可能使,OA OB OC 共面， 只有 D 才能使这三个向量不共面. 故选：D. 【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题. 10. 下列各式中，结果为零向量的是（） A. ABMBBOOM B. ABBCCA C. OAOCBOCO D. ABACBDCD 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据向量的加法

15、和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A：AB MBBOOMAB ，选项A不正确； 对于选项B： 0ABBCCAACCA ，选项B正确； 对于选项C：OA OCBOCOBA ，选项C不正确； 对于选项D： 0ABACBDCDABBDACCDADAD uu u ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rr 选项D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 11. 已知1, , 2a ，2, 1,1b ,且a 与b 夹角为120，则的取值可以是（） A. 17B. -17C. -1D. 1

16、【答案】AC 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【分析】 根据向量的数量积公式的推论得夹角公式cos , a b a b ab 求解即可. 【详解】解:因为cos , a b a b ab , 且1, , 2a ，2, 1,1b ,a 与b 夹角为120. 所以 222 222 1 212 1 cos120 12211 , 解得17或1 . 故选:AC 【点睛】本题考查向量的数量积公式求参数,属于基础题. 12. （多选题）在四面体PABC中，以上说法正确的有（） A. 若 12 33 ADACAB ，则可知 3BCBD B. 若Q为ABC的重心，则 1

17、11 333 PQPAPBPC C. 若 0PA BC ， 0PC AB ，则 0PB AC D. 若四面体PABC各棱长都为 2，MN，分别为,PA BC的中点，则1MN 【答案】ABC 【解析】 【分析】 作出四面体PABC直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【详解】 对于A， 12 33 ADACAB ， 32ADACAB ， 22ADABACAD ， 2BDDC ， 3BDBDDCBC 即 3BDBC ，故A正确； 对于B，Q为ABC的重心，则0QAQBQC ， 33PQQAQBQCPQ ()()()3PQQ

18、APQQBPQQCPQ , 3PAPBPCPQ 即 111 333 PQPAPBPC ，故B正确； 对于C，若 0PA BC ， 0PC AB ，则 0PA BCPC AB ， ()0PA BCPCACCB ,0PA BCPC ACPC CB 0PA BCPC ACPC BC ,()0PAPC BCPC AC 0CA BCPC AC 0AC CBPC AC ()0AC PCCB ，0AC PB ，故C正确； 对于D， 111 ()() 222 MNPNPMPBPCPAPBPCPA 11 22 MNPBPCPAPAPBPC 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 222

19、 222PAPBPCPAPBPCPA PBPA PCPC PB 222 111 2222 2 22 2 22 2 22 2 222 2MN ，故D错误. 故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键 (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 如图，非零向量,OAa O

20、Bb ，且BCOA，C 为垂足，设向量OC a ，则的 值为_（用a 与b 的数量积和其模表示） 【答案】 2 | a b a 【解析】 【分析】 由BC OCOB ，BCOA，得0OC BCOCOCOBaab ，即可求 出. 【详解】 BCOCOB ，BCOA， OCBC ， 0OC CB ， 即 22 0OC BCOCOCOBaabaa b ， 2 | a b a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故答案为： 2 | a b a . 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量垂直，考查数量积的运算，属于基础题. 14. 如图，已知正三棱柱 111 ABCA

21、BC的所有棱长均相等，D 为 11 AC的中点，则直线 AD 与 平面 1 B DC所成角的正弦值为_ 【答案】 4 5 . 【解析】 【分析】 先证出 B1D平面 AC1，过 A 点作 AGCD，证 AG平面 B1DC，可知ADG 即为直线 AD 与平面 B1DC 所成角，求其正弦即可 【详解】 如图， 连接 B1D，因为三角形 111 ABC为正三角形， 则 111 B DAC，又平面 111 ABC 平面 AC1，交线为 11 AC，B1D平面 111 ABC，则 B1D平面 AC1， 过 A 点作 AGCD， 则由 B1D平面 AC1，得 AGB1D，由线面垂直的判定定理得 AG平面

22、B1DC， 于是ADG 即为直线 AD 与平面 B1DC 所成角， 由已知，不妨令棱长为 2，则可得 AD 5CD， 由等面积法算得 AG 1 4 5 5 ACAA CD 所以直线 AD 与面 DCB1的正弦值为= AG AD 4 5 ； 故答案为 4 5 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【点睛】 考查正棱柱的性质以及线面角的求法考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的 一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解 15. 已知3, 2, 3 ,1,1,1abx rr ，且a 与b 夹角为钝角，则 x 的取值范围为 _ 【答案】 55 2 3

23、3 ， 【解析】 【分析】 由向量定义知 0a b 且a 与b 不平行，列方程求解即可 【详解】由题可知 0a b ab ，即 420 3, 2, 31,1,1 x x ，解得2x 且 5 3 x 故答案为： 55 2 33 ， 【点睛】本题考查由向量的夹角范围求参数取值范围，属于基础题 16. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，P，Q 是上底面 A1B1C1D1内 相异两点， 满足 BPA1E， BQA1E.则 PQ 与 BD 的位置关系是_； |A1P|的最小值为_. 【答案】(1). 平行(2). 3 2 4 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标

24、系，轨迹 P，Q 是上底面 A1B1C1D1内相异两点，设, ,1 , ,1P a bQ m n， 然后根据 BPA1E，BQA1E，由 1 1 0 0 AE BP AE BQ 求解. 根据 1 2 ba，利用两点间距离公 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 式得到 1 AP 2 5 2 4 aa，利用二次函数的性质求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则 1 1 1,0,1 ,0,1,1,1,0 2 AEB ， 因为 P，Q 是上底面 A1B1C1D1内相异两点，设, ,1 , ,1P a bQ m n， 则 1 1 1,1,1,1,1 ,1,1,1 2

25、 AEBPabBQmn ， 因为 BPA1E，BQA1E， 所以 1 1 0 0 AE BP AE BQ ，即 1 110 2 1 110 2 ab mn ， 解得 1 2 1 2 ba nm ， 所以/ /PQBD， 则 PQ 与 BD 的位置关系是平行， 因为 1 2 ba， 所以 2 22 2 1 1 11 2 APabaa ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 2 2 519 22 448 aaa ， 当 1 4 a 时，即 1 1 ,1 4 4 P ，|A1P|取得最小值，最小值为 3 2 4 . 故答案为： （1）平行； （2） 3 2 4 . 【点

26、睛】本题主要考查两直线位置关系的判断，两点间距离的最值的求法以及空间向量的应 用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知2, 1,3a ，4,2,bx ，1,2cx . （1）若 / /ab ，求x的值； （2）若abc ，求x的值. 【答案】 （1）-6 （2）-4 【解析】 【分析】 （1）利用向量共线的坐标表示，即得解； （2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解； 【详解】解： （1）b a ， 24 2 3x ， 6x . （

27、2）2,1,3abx ， ()abc ， ()0abc ， 22 30 xx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 4x . 【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算 的能力，属于基础题. 18. 叙述并用向量法证明线面垂直的判定定理 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 设lm，ln，若要证明直线l，就是要证明直线l垂直于平面内的任意一条直线， 故在平面内作任意一条直线g，并在l，m，n，g上取非零向量l ，m ，n ，g ，利用 共面向量基本定理建立m ，n ，g 的联系，只需证明 0l g r u r 即可. 【

28、详解】线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直. 问题：若m，n是平面内的两条相交直线，如果lm，ln，求证：l. 证明：在平面内作任意一条直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l ，m ，n ，g . 则l m ，l n rr ，即 0l m r u r ， 0l n r r ， 又因为直线m，n相交，所以向量m ，n 不共线， 所以由向量共面的充要条件可知，存在惟一一组有序实数对, x y，使g xmyn u ru rr ， 故 0l glxmynxl myl n r u rru rrr u rr r ， 所以l g ，根据线面垂直的定义可

29、知，l. 【点睛】本题考查学生对于线面垂直的判定定理的理解及证明，考查共面向量基本定理在证 明中的运用. 19. 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD AB/CD，ABAD2， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - CD4，M 为 CE 的中点. （1）求证：BM/平面 ADEF； （2）求证：BC平面 BDE. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）以 D 为坐标原点， ,DA DC DE uuu r uuu r uuu r 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间 直角坐标系

30、，然后可得 1 2 BMADAF ，即可证明； （2）利用向量证明 BCDB，BCDE 即可. 【详解】 平面 ADEF平面 ABCD， 平面 ADEF平面 ABCDAD， ADED， ED平面 ADEF， ED平面 ABCD. 以 D 为坐标原点， ,DA DC DE uuu r uuu r uuu r 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2) （1）M 为 EC 的中点，M(0，2，1) 则BM (2，0，1)，AD (2，0，0)，AF (0，0，2

31、) 1 2 BMADAF ，故,BM AD AF 共面 又BM 平面 ADEF，/BM平面 ADEF （2）BC (2，2，0)，DB (2，2，0)，DE (0，0，2)， BC DB 440，BCDB. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 又BC DE 0，BCDE. 又 DEDBD，DB，DE平面 BDE，BC平面 BDE. 【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 20. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形， 侧棱PA 底面ABCD，3AB ， 1BC ，2PA ，E为PD的中点.在侧面PAB内找一

32、点N， 使NE 平面PAC， 并求出N 到平面 PAC 的距离. 【答案】 3 12 【解析】 【分析】 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，根据向量关系求 出N的坐标，即可由 NA NE d NE 求出距离. 【详解】在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA 底面ABCD， 3AB ，1BC ，2PA ，E为PD的中点. 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则 (0A ，0，0)，( 3C，1，0)， (0P ，0，2)， (0D ，1，0)，(0E， 1 2 ，1)， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考

33、资源网 - 19 - 设在侧面PAB内找一点 (N a，0，)c，使NE 平面PAC， 则(NEa ， 1 2 ，1 )c ，(0AP ，0，2)，( 3,1,0)AC ， 2(1)0 1 30 2 NE APc NE ACa ，解得 3 6 a ，1c ， 3 ( 6 N，0，1)， 设N到平面 PAC 的距离为d， 则 33 1 ,0,1,0 662 3 12 3 1 ,0 62 NA NE d NE . 【点睛】本题靠查向量法解决立体几何问题，属于中档题. 21. 如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2ABAF， 0 60ADC . (1)求直线BF与平面ABCD的夹

34、角； (2)求点A到平面FBD的距离. 【答案】(1) 4 . (2) 2 5 5 【解析】 【分析】 设ACBDO,以O点为坐标原点，以OD为x轴，OA为y轴，过O点且平行于AF的 方向为z轴正方向，建立空间坐标系， （1）由题意，求出直线BF的方向向量，平面ABCD的一个法向量，由向量夹角，即可得到 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 直线与平面夹角； （2）先求出平面FBD的一个法向量n ，由点A到平面FBD的距离 AF n d n ，即可求出结 果. 【详解】设ACBDO，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得 AF 平面ABCD；以O

35、点为坐标原点，以OD为x轴，OA为y轴，过O点且平行于AF 的方向为z轴正方向，建立空间坐标系， （1）由已知得：(0,1,0)A,(3,0,0)B ,(0, 1,0)C,( 3,0,0)D,(0,1,2)F, 因为z轴垂直于平面ABCD， 因此可令平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m ，又( 3,1,2)BF , 设直线BF与平面ABCD的夹角为， 则有 22 sincos, 21 2 2 m BF m BF mBF , 即 4 ， 所以直线 BF 与平面 ABCD 的夹角为 4 . （2）因为(2 3,0,0)BD ,( 3,1,2)BF , 设平面FBD的法向量为( , , )nx

36、 y z ， 2 300 0 320 xBD n BF n xyz ，令1z 得(0, 2,1)n ， 又因为(0,0,2)AF , 所以点A到平面FBD的距离 22 5 55 AF n d n . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向 量的方法求解即可，属于常考题型. 22. 如图所示， 已知四棱锥PABCD， 侧面PAD是边长为2的正三角形， 且平面PAD 平 面ABCD，底面ABCD是菱形，且60ABC ，M 为棱PC上的动点，且 PM PC =(0,1). （1）求证:BCPC

37、； （2）试确定的值，使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为 10 10 . 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）取AD的中点O，连接OP，OC，AC，证明AD平面POC，得当ADPC， 再根据BC/AD，则可证明BCPC； （2）易证OP，OC，OD两两垂直，然后以O为原点，分别以OC，OD，OP为 , ,x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，标出各点坐标，设PM PC ，计算平面ADM的法向量 n ，用含的式子表示即可，可得平面PAD的法向量为OC ，使 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 10 cos, 10

38、n OC n n O O C C ，然后求解的值. 【详解】 （1）取AD的中点O，连接OP，OC，AC， 由题意可得PAD，ACD均为正三角形， 所以OCAD，OPAD. 又OCOPO，所以AD平面POC. 又PC 平面POC，所以ADPC. 因为BC/AD，所以BCPC. （2）由（1）可知OPAD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO 平面PAD，所以PO 平面ABCD. 故可得OP，OC，OD两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则0,0, 3P，0, 1,0A，0,1,0D，3,0,0C， 所以3,0,3PC . 由3,0,3PMPC

39、 (0,1)， 可得点M的坐标为3 ,0, 33， 所以3 ,1, 33AM ，=3 , 1, 33DM . 设平面MAD的法向量为, ,nx y z ， 由 3( 33 )0 3-( 33 )0 n AMxyz n DMx yz ， ， 可得 -1 0 xz y ， ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - 令z，则1,0,n . 又平面PAD的一个法向量为3,0,0OC ， 设平面PAD与平面ADM的夹角为， 则 2 2 31 10 coscos, 10 13 n OC n n O OC C ， 解得 3 4 或 3 2 (舍去). 所以当 3 4 时，平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为 10 10 . 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查根据面面夹角的余弦值求参数的 取值，难度较大. 解答时要合理设元，表示平面的法向量是关键.