四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 乐山十校高乐山十校高 20212021 届第四学期半期联考数学（理科）试题届第四学期半期联考数学（理科）试题 本试卷共本试卷共 6 6 页页. .满分满分 150150 分分. . 考生注意：考生注意： 1.1.答题前答题前，考生务必在试题卷考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名姓名. .考生要认考生要认 真核对答题卡上粘贴的条形码的真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一与考生本人准考证号、姓名是否一 致致. . 2.2.回答

2、选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. .回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上. . 写在本试卷上无效写在本试卷上无效. . 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求有一项是符合题目要求 1. 已知复数 2 (1)(1)izaa

3、（i为虚数单位，1a ） ，则z在复平面内对应的点所在的 象限为（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 分别比较复数z的实部、虚部与 0 的大小关系，可判断出z在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a 时，所以10a， 2 10a ，所以复数z在复平面内对应的点位于第二 象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2. 某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三 n人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数

4、为 （） A.20B.25C.30D.35 【答案】D 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 直接利用分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为 2000 3025 2400 人， 则高三抽取90302535人. 故选：D. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题. 3. 普通高中数学课程标准（2017版） 提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙 两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果 绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差） ，则下面叙述不

5、正 确的是（） A. 甲的数据分析素养低于乙 B. 乙的六大素养中逻辑推理最差 C. 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】B 【解析】 【分析】 根据雷达图依次判断每个选项得到答案. 【详解】甲的数据分析素养低于乙，故 A 正确； 乙的六大素养中数学建模、数学抽象和数学运算最差，故 B 错误； 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养，C 正确； 甲只有数学运算高于乙，其他均低于乙，故 D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生的理解能力和读图能力. 4. 已知 2 ( )cos2 x f xxe，则 ( ) fx （ ） 高考资源网（）

6、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 2 2sin22 x xe B. 2 sin2 x xe C. 2 2sin22 x xe D. 2 sin2 x xe 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复合函数求导法则计算 【详解】由题意 22 ( )sin2222sin22 xx fxxexe ， 故选：A 【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础 5. 下列说法正确的是（） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是 1 2 ，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨 C.

7、概率是客观存在的，与试验次数无关 D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖 【答案】C 【解析】 【分析】 概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生. 【详解】解：对于 A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可 能，事先无法预料，错误； 对于 B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无 法预料，错误； 对于 C，正确； 对于 D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题. 6. 设 ( )f x

8、是可导函数，且 00 0 (2)() lim2 x f xxf x x ，则 0 ()fx（） A.2B.1C.1D.2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由导数的定义计算 【详解】 0000 00 (2)()(2)() lim2lim2 2 xx f xxf xf xxf x xx ， 00 0 (2)() lim1 2 x f xxf x x ， 0 0000 00 ()()(2)() limli()m1 2 xx f xxf xf xxf x x x x f 故选：C 【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中 00 0 0 ()

9、() ()lim x f xxf x fx x ，分子分母都是 x的增量 x，两者一样根据极限的性质 0000 00 ()()()() limlim xx f xxf xf xm xf x xm x ， （m是常数且0m） 7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此 图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四 角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概 率是（） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 10 D. 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 这是一个古典概型，先算出

10、从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总 数，再利用列举法求出其和等于 9 的基本事件数，代入公式求解. 【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总数4520n 个， 其和等于 9 的基本事件有 2,7 , 4,5 , 6,3 , 8,1共 4 个， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 所以其和等于9的概率是 41 205 m p n . 故选：A 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8. 函数( )cos x f xex在区间(0,) 2 上（） A. 最大值为1，最小值为0B. 最大

11、值为 4 2 2 e ，最小值为0 C. 最大值为 4 2 2 e ，无最小值D. 最大值为1，无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数( )cos x f xex，求导，令( )0fx ，解得 4 x ，再按照最值的求法求解. 【详解】因为( )cos x f xex， 所以( )cossin2cos 4 xx fxexxex ， 令( )0fx ，解得 4 x ， 当0 4 x 时，( )0fx ，当 42 x 时，( )0fx ， 所以当 4 x 时， ( )f x取得极大值即最大值 4 2 2 e ，无最小值. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解

12、的能力，属于中档题. 9. 执行下面的程序框图，则输出S的值为（） A. 1 12 B. 23 60 C. 11 20 D. 43 60 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序， 1 1,2 5 si， 121 1,3 552 si ， 12311 1,4 55523 si ， 1234111 1,5 5555234 si ， 1234111 1,5 5555234 si ， 123451111 1,6 555552345 si ，结束循环， 故输出 1111113743 =(12

13、345)13 523456060 s ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 10. 设a为正实数，函数 322 ( )34f xxaxa，若( ,2 )xaa ，( )0f x ，则a的取值 范围是（） A.2,)B.(2,)C.(0,2D. 2 (0, ) 3 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数 ( )f x在( ,2 )aa上的单调性，根据函数( )f x在 ( ,2 )aa上单调性结合已知进行求解即可. 【详解】 3222 ( )34( )363 (2 )f xxaxafxxaxx xa， 因为0a ，

14、当( ,2 )xaa时，所以有 ( ) 0fx 成立，因此函数 ( )f x在( ,2 )aa上单调递减， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 因此当( ,2 )xaa 时，( )0f x 恒成立，一定有 ( )0f a 成立， 即 2232 0(2)340aaa aaa，因为0a ，所以有2a . 故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力. 11. 如图是一个几何体的三视图， 则该几何体的各个面中， 面积大于 6的面的个数为 （ ） A.1B.2C.3D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图，得到几何体是一个四棱锥，求

15、得各面的面积比较即可. 【详解】如图所示：几何体是一个四棱锥， 其中，面PCD 面ABCD，PCD， PAB 是等腰三角形， PAD ，PBC是直角三角形， ABCD是正方形， 所以 1 2 22 2 S PCD ， 1 2 2 22 2 2 S PAB ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 1 255 2 S PADS PBC ，S 正方形ABCD224 ， 所以面积大于 6的面的个数为 2 个。 故选：B 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了数形结合的方法，属于基础题. 12. 若函数( )(2) x f xxeax（e为自然对数的底数）有两个极值点，则

16、实数a的取值范 围是（） A.( 1,0)B.(,0)C.( 1,) D.(0,) 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数 fx求导，根据题意可知 0fx 有两个不相等的实根，然后常变量分离，得到 ag x， 对函数 g x进行求导， 判断其单调性、 最值， 结合 g x的正负性， 画出函数 g x 的图象，根据两个函数 ,ya yg x有两个交点，求出实数a的取值范围即可. 【详解】由题意，函数 (2) x f xxeax，则 (2)(1) xxx fxexeaxea， 要使得函数 (2) x f xxeax有两个极值点，则 0fx有两个不相等的实根， 得到方程(1) x axe， 即y a

17、 与 (1) x g xxe的图象有 2 个交点， 因为 x gxxe， 所以当0 x 时， 0,gxg x 单调递减，当0 x 时， 0,gxg x 单调递增， 因此 min(0)1g xg ， 当1x 时， 0g x ，当1x 时， 0g x , 函数 (1) x g xxe图象如下图所示： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 所以当10a 是满足函数y a 与 (1) x g xxe的图象有 2 个交点， 即函数有两个极值点. 故选：A 【点睛】本题考查了已知函数极值点的个数求参数取值范围问题，考查了常变量分离法、构 造函数法，考查了利用导数研究函数的单调性和

18、最值，考查了数形结合思想和数学运算能力. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 复数 2 1 2 i z i 的共轭复数z _. 【答案】 42 5 i 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则计算得到 42 5 i z ，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 2 2 21242 22225 iii z iiii ，故 42 5 z i . 故答案为： 42 5 i . 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14. 已知函数 2 ( )lnf xxx，则曲线( )yf x

19、在点(1,(1)f处的切线方程为_. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【答案】320 xy 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】因为 1 ( )2fxx x ， 所以(1)3k f ， 又(1)1,f 故切线方程为13(1)yx ， 整理为320 xy， 故答案为：320 xy 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题. 15. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽 奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之 间的均

20、匀随机数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖； 若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖在一次抽奖活动中，该优胜队中奖的概率为 _ 【答案】 3 4 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【解析】 【分析】 根据 x、y 的取值范围及胜率情况，列出不等式组，根据线性规划的基本求法及程序框图的简 单计算，即可求得概率值 【详解】根据题意，列出关于 x、y 的不等式组 01 01 210 x y xy ，画出 x、y 的可行域如下图所示 所以阴影部分面积占矩形面积的 113 11 224 即优胜队获奖的概率为 3 4 【点睛】本题考查了线性

21、规划与程序框图的综合简单应用，属于基础题 16. 已知函数( )2 x e f xax x ， (0,)x，当 12 xx时，不等式 12 21 () 0 ()f xf x xx 恒成 立，则实数a的取值范围为_. 【答案】(, 4 e 【解析】 【分析】 根据题意得到函数 g xxf x单调递增，求导根据导数大于等于零得到 4 x e a x ，构造 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 4 x e F x x ，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案. 【详解】当 12 xx时，不等式 12 21 () 0 ()f xf x xx ，即 1122 x f xx

22、 f x， 故函数 g xxf x单调递增， 2 2 x g xxf xeax， 40 x gxeax恒成立，即 4 x e a x ， 设 4 x e F x x ， 2 1 4 x ex Fx x ，故函数在0,1上单调递减，在 1,上单调递增， 故 min 1 4 e F xF，故 4 e a . 故答案为：(, 4 e . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力， 确定函数 g xxf x单调递增是解题的关键. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 1

23、7. 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品 获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率 分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒， 100200 x）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该 产品的利润 （1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表） ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （2）将y表示为x的函数； （3）根据直方图估计利润y不少于3200元的概率 【

24、答案】 （1）众数估计值是150；平均数 153（2） 401600,100160 4800,160200 xx y x （3）0.9 【解析】 【分析】 （1）直接利用众数的定义和平均数公式计算得到答案. （2）考虑100160 x和160200 x两种情况，根据利润定义得到函数表达式. （3）解不等式4016003200 x得到x范围，根据频率分布直方图得到答案. 【详解】 （1）由频率直方图得： 最大需求量为140,160)的频率0.015 200.3，为频率的最大值 这个开学季内市场需求量的众数估计值是 150； 需求量为100,120)的频率0.005 200.1， 需求量为120,

25、140)的频率0.01 200.2， 需求量为140160)，的频率0.015 200.3， 需求量为160,180)的频率0.0125 200.25， 需求量为180,200)的频率0.0075 200.15 则平均数110 0.1 130 0.2 150 0.3 170 0.25 190 0.15153x . （2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 当100160 x时，3010 (160)401600yxxx， 当160200 x时，160 304800y ， 所以 401600,100160 4800,160200 xx y x （3）因为利润不少于32

26、00元所以，故4016003200 x，解得120 x ， 所以由（1）知利润不少于3200元的概率1 0.10.9p 【点睛】本题考查了频率分布直方图，众数和平均值，函数表达式，概率的计算，意在考查 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 学生的计算能力和综合应用能力. 18. 若函数 32 ( )2f xaxbx，当2x 时，函数 ( )f x有极值 2 （1）求函数 ( )f x的解析式； （2）求函数 ( )f x的极值； （3）若关于x的方程( )0f xk有三个不同的实数解，求实数k的取值范围 【答案】 （1） 32 ( )32f xxx（2）极大值2，极

27、小值2， （3）22k 【解析】 【分析】 （1）求导，根据极值的定义得到 (2)0 (2)2 f f ，代入数据解得答案. （2）求导得到单调区间，计算极值得到答案. （3）变换得到( )f xk有三个交点，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】 （1）函数 32 ( )2f xaxbx， 2 ( )32fxaxbx， 由题意知，当2x 时，函数 ( )f x有极值 2， (2)0 (2)2 f f ， 即 1240 8422 ab ab ，解得 1 3 a b ，故所求函数的解析式为 32 ( )32f xxx； （2）由（1）得 2 ( )363 (2)fxxxx x，令( )0fx

28、 ，得0 x 或2x ， 当x变化时，( )fx， ( )f x的变化情况如下表： x(,0)0(0,2) 2 (2,) ( )fx0 0 ( )f x 单调递增2单调递减2单调递增 因此，当0 x 时， ( )f x有极大值 2，当 2x 时， ( )f x有极小值-2， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （3）画出函数图像，如图所示： 要使方程( )0f xk有三个不同的实数解，即( )f xk有三个交点， 根据图像知：22k . 【点睛】本题考查了根据极值求参数，求函数极值，根据方程解的个数求参数，意在考查学 生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关

29、键. 19. 甜皮鸭，乐山人称卤鸭子，也称嘉州甜皮鸭，是乐山著名美食，起源于乐山市夹江县木 城古镇，每年吸引成千上万的外地人前来品尝.某商家生产卤鸭子，每公斤鸭子的成本为20 元，加工费为t元（t为常数） ，且1015t，设该商家每公斤卤鸭子的售价为x元 （3545x） ，日销售量q（单位：公斤） ，且(0,) x k qkkR e （e为自然对数的底数） . 根据市场调查，当每公斤卤鸭子的出售价为40元时，日销售量为50公斤. （1）求该商家的每日利润y元与每公斤卤鸭子的出售价x元的函数关系式； （2）若15t ，当每公斤卤鸭子的出售价x为多少元时，该商家的利润y最大，并求出利润 的最大值

30、【答案】 （1） 40 50(20) (3545) x ext yx e （2）出售价为36元时，该商家的利润最大， 最大值为 4 50e元 【解析】 【分析】 （1）代入数据计算得到 40 50ke ，得到函数解析式。 （2）将15t 代入函数解析式，求导得函数单调区间，得到最值。 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【详解】 （1）由已知得 40 50 k e ， 40 50ke ，日销售量 40 50 x e q e ， 40 50(20) (3545) x ext yx e . （2）当15t 时， 40 50(35) x ex y e ， 40 50(3

31、6) x ex y e ， 由 0y 得36x ，由 0y 得36x ， y 在35,36上单调递增，在36,45上单调递减. 当36x 时， 4 max 50ye， 当每公斤卤鸭子的出售价为 36 元时，该商家的利润最大，最大值为 4 50e元 【点睛】本题考查了函数的应用，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，90ADCBCD ，1BC ， 22PDADDC，60PDA，且平面PAD 平面ABCD. （1）求证：BDPC； （2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为30？若存在，求出 PM PA 的值

32、； 若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在， 2 3 . 【解析】 【分析】 (1) 过点P在面PAD内作POAD，垂足为O，连接BO、OC，可得POBD，再结已知条 件可得PDA是等边三角形，进而判断出四边形OBCD是正方形，从而得BD 面POC， 得BDPC； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （2） 由于PO 面ABCD，OBAD， 所以以O坐标原点建立空间直角坐标系， 设PM PA uuuruur ， 则点M的坐标为( ,0, 33 )M，求出平面MBC和平面ABCD的法向量,m n ，用 2 |13 cos30 |2 ( 33

33、 )1 m n m n ，求出的值，从而得到 PM PA 的值 【详解】 （1）证明：过点P在面PAD内作POAD，垂足为O，连接BO、OC 面PAD 面ABCD， PO 面ABCD，POBD 60PDA，2PDDA， PDA是等边三角形，1ODBC 又/ /ODBC，90BCD 四边形OBCD是正方形，BDOC， 又OCPOO，BD 面POC， 又PC 面POC，BDPC. （2）PO 面ABCD，OBAD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 则0,1,0B，1,1,0C ，1,0,0D ，(0,0, 3)P，1,0,0A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 假设

34、在线段PA上存在一点M，使二面角MBCD大小为30 设PM PA uuuruur ，0,1，则(,3)(1,0,3) MMM xyz， 所以( ,0, 33 )M， ( , 1, 33 )BM ，( 1,0,0)BC ， 设面MBC的法向量为( , , )mx y z ， 则 0 0 m BM m BC ，即 ( 33 )0 0 xyz x ，令1z ，得0,33xy， 所以(0, 33 ,1)m ，面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n 二面角M-BC-D大小为30， 2 |13 cos30 |2 ( 33 )1 m n m n 2 3 或 4 3 （舍） ， 所以在线段PA上存在点M满足

35、题设条件且 2 3 PM PA . 【点睛】此题考查了线面垂直的判定和性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题. 21.2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎 病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎 （CoronaVirusDisease2019，COVID-19） ，简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月 24日累计确诊人数随时间变化的散点图 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的 两个回归模型，根据1

36、月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，10）建立 模型 y cdt和1.5tyab 参考数据：其中1.5 it i ， 10 1 1 10 i i ty 10 2 1 i i t 10 2 1 i i 10 1 ii i t y 10 1 ii i y 11 1.5 12 1.5 13 1.5 14 1.5 15 1.5 5.53901738560003150013472087130195290440 （1）根据散点图判断， y cdt和1.5tyab 哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变 量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） ； （2）根据（1）的判断结果及附表

37、中数据，建立y关于t的回归方程； （3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日 累计确诊人数的真实数据19752744451559747111 （i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数 据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺 炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断 预防措施是否有效？并说明

38、理由. 附：对于一组数据 11 ( ,)u v， 22 (,)u v，(,) nn u v，其回归直线 vu的斜率和截距 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 的最小二乘估计分别为： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii uu vvu vnuv uuunu ，vu 【答案】 （1）1.5tyab 适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型； （2） 1622 1.5ty （3） （i）可靠； （ii）有效，见解析 【解析】 【分析】 （1）根据散点图直接得到答案. （2）设1.5t，则 y ab，根据最小二乘法公式代入数据

39、计算得到答案. （3） （i）取11t ，12t ，13t ，代入回归方程计算比较得到答案. （ii）取15t ，代入回归方程比较得到答案. 【详解】 （1）根据散点图可知： 1.5tyab 适宜作为累计确诊人数 y 与时间变量 t 的回归方程类型； （2）设1.5t，则 y ab， 10 1 102 22 1 10 134720 10 17 390 22 6000 10 1 1 7 0 ii i i i yy b ，390 22 1716ayb， 1622.1 5ty； （3） （i）当11t 时，1930y ， 1930 197545 0.1 19751975 ， 当12t 时，2876y

40、 ， 28762744132 0.1 27442744 当13t 时，4306y ， 43064515209 0.1 45154515 ， （2）的回归方程可靠； （ii）当15t 时，9696y ，9696远大于真实值7111，故防护措施有效 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 【点睛】本题考查了求回归方程，回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22. 已知函数( ), ( )ln x f xeg xxax （1）讨论( )g x的单调性； （2）若1a ，直线l与曲线( )yf x和曲线( )yg x都相切，切点分别为 11 ,P x y， 22

41、 ,Q xy，求证： 2 2 1 1 x e 【答案】 （1）分类讨论，详见解析； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先写出函数( )g x定义域为(0,)，求得( ) xa g x x ，对a的范围进行讨论，从而 确定出( ) xa g x x 的符号，确定出函数( )g x的单调性； （2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线l的方程为 1 11 x yyexx，即 11 1 1 xx ye xx e，也可以写成 2 2 1 1ln1yxx x ，根据 两条直线是同一条直线，得到 1 2 1 1 x e x ，且 1 12 1ln1 x x ex，对式子进

42、行整理可以 得到 222 1 2 ln 1 1 xxx x x ，构造函数 ln ( )1 1 xxx h x x ，利用导数研究该函数的单调性及 最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到 1 2 1 ln 1x x ，进一步 可以得到 2222 2 1 1 ln 1ln210 xxxx x ，构造函数 1 ( )(1)ln 1ln21h xxxxx x ，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果. 【详解】 （1）( )g x定义域为(0,)， 因为( )1 axa g x xx ， 若0a，则( )0g x ，所以( )g x在(0,)单调递增， 高考资源网（）您身边的高

43、考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 若0a ，则当(0,)xa时，( )0g x ，当(,)xa 时，( )0g x ， 所以( )g x在(0,)a单调递减，在(,)a单调递增 （2）证法一： 证明：对于曲线( )yf x， 1 1 ( ), xx l fxe kfxe， 直线l的方程为 1 11 x yyexx， 即 111 1 xxx yee xx e，即 11 1 1 xx ye xx e 对于曲线( )yg x，因为1a ，所以 1 ( )ln ,( )1g xxx g x x 所以 2 2 1 1 l kgx x ， 直线l的方程为 22 2 1 1yyxx x ， 即 22

44、2 2 1 ln11yxxxx x ，即 2 2 1 1ln1yxx x 因为与表示同一条直线，所以 1 2 1 1 x e x ， 且 1 12 1ln1 x x ex， ，得 222 1 2 ln 1 1 xxx x x ， 所以 222 1 2 ln 1 1 xxx x x 令 ln ( )1 1 xxx h x x ， 222 1 1ln(1)(ln ) ln( ) ( ) (1)(1)(1) xxxxxx xxg xx h x xxx ， 由（1）知，( )g x在(0,)单调递增又 1111 ln10g eeee 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - (

45、1)1ln110g 1 (1)0gg e ( )g x有唯一零点 0 1 ,1x e ， 且当 0 0,xx时，( )0g x，( )0h x， 当 0, xx时，( )0g x，( )0h x， 所以( )h x在 0 0,x上递增，在 0, x 上递减， 所以 000 120 0 ln 1 1 xxx xh xh x x ， 又 0 0g x，即 00 ln xx ， 所以 2 00 100 0 112 1 xx xh xx x ， 所以 1 2 2 1 1 x ee x ，所以 2 2 1 1e x ， 又 2 0 x ，所以 2 2 1 1 x e 证法二： 证明：因为( ) x fx

46、e ，所以直线l的斜率为 1 1 x kfxe， 因为1a ，所以( )lng xxx，所以 1 ( )1g x x ， 所以直线l的斜率为 2 2 1 1kgx x ， 所以 1 2 1 1 x e x ，所以 1 2 1 ln 1x x ， 又因为 1 22 222 12 2 2 1 1ln ln 1 ln 1 x xx exxx k xx x x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 24 - 所以 22 2 2 2 2 1 1ln 1 1 1 ln 1 xx x x x x ， 所以 2222 2 1 1 ln 1ln210 xxxx x ， 令 1 ( )(1)

47、ln 1ln21h xxxxx x ， 所以 1 ( )ln(1)1h xx x ，所以( )h x 在(0,)单调递增， 又因为 22 2 1 2ln10 1 hee e ， 3 3 1 120 1 h e e ， 所以存在 3 0 2 1 ,1 1 xe e ，使得 0 0h x， 且当 0 0,xx时，( )0h x，当 0, xx时，( )0h x， 所以( )h x在 0 0,x递减，在 0, x 递增， 因为 0 2 1 1 x e ，所以( )h x在 2 1 0, 1e 递减， 所以当 2 1 0 1 x e 时， 2 22 ln1 1 ( )10 11 e h xh ee ， 所以( )h x在 2 1 0, 1e 内无零点， 因为 2 x是( )h x的零点且 2 0 x ，所以 2 2 1 1 x e 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利 用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 25 -