天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 静海静海区区 20202021 学年度第一学期第一次月考高二年级数学学年度第一学期第一次月考高二年级数学 试卷试卷 第第卷卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 题，每题题，每题 5 分，共分，共 50 分）分） 1. 已知向量3, 2,1a ，2,4,0b ，则4 2ab 等于（） A.16,0,4B.8, 16,4-C.8,16,4D.8,0,4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出4 2ab 的坐标表示. 【详解】因为412, 8,4 ,24,8,0ab ，所以428,0,4ab ，

2、故选：D. 【点睛】本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量 的加法和数乘的公式运用，难度较易. 2. 已知向量a 和b 的夹角为120，且2a ，5b ，则2aba 等于（） A. 12B.8+ 3C. 4D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】 将2aba 展开，根据向量的模长和夹角并结合数量积公式完成计算. 【详解】因为 2 2 222cos120abaaa baa b ， 所以 2 1 22 22 513 2 aba ， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的数量积计算，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 3. 已知向量0,2,1 ,1,1,

3、2ab ，则a 与b 的夹角为（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A.0B.45C.90D.180 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两个向量的数量积的定义求出两个向量数量积的值，从而求得a 与b 的夹角 【详解】a b （0，2，1） （1，1，2）0（1）+21+1（2）0， a b ， a 与b 的夹角： 2 ， 故选 C 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，向量垂直的 充要条件，属于中档题 4. 已知空间向量(3,1,0)a ，, 3,1bx r ，且a b ，则x （） A.3B.1C. 1D. 2 【答案】C 【

4、解析】 【分析】 先根据题意建立方程31 ( 3)0 10 x ，再求参数即可. 【详解】解：因为a b ，所以 0a b ，又因为空间向量(3,1,0)a ，, 3,1bx r ， 所以31 ( 3)0 10 x ，解得1x 故选：C 【点睛】本题考查根据空间向量垂直求参数、空间向量数量积的坐标表示，是基础题. 5. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，B1E1 1 4 A1B1，则 1 BE 等于 () 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 1 0, 1 4 B. 1 ,0,1 4 C. 1 0,1 4 D. 1 ,0, 1

5、 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空面向量运算法则，利用BE OEOB ，即可得出 【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 111 B EAB，则 3 110(11) 4 BE（， ， ）， 31 (11)110(01) 44 BEOEOB ， （， ， ）， 故选 C 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 6. 直线 3 3 3 yx 的倾斜角为（） A.90B.30C.0D.180 【答案】B 【解析】 【分析】 先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为 3 3

6、 3 yx ，所以 3 3 k 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 所以直线的倾斜角0，满足 3 tan 3 ， 所以直线 3 3 3 yx 的倾斜角为30 故选：B 【点睛】本题考查根据直线的方程求直线的倾斜角，是基础题. 7. 若经过两点4,21Ay、2, 3B的直线的倾斜角为 3 4 ，则y等于（） A.1B.2C.0D.3 【答案】D 【解析】 【分析】 由直线AB的倾斜角得知直线AB的斜率为1，再利用斜率公式可求出y的值. 【详解】由于直线AB的倾斜角为 3 4 ，则该直线的斜率为 3 tan1 4 ， 由斜率公式得 213 21 42 y y ，解得3y

7、 ，故选 D. 【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考 查计算能力，属于基础题. 8. 已知 3 5 1, 2 2 a ， 15 3, , 2 b 满足/a b，则等于（） A. 2 3 B. 9 2 C. 9 2 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量的共线可得答案. 【详解】因为 3 5 1, 2 2 a ， 15 3, , 2 b , 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 因为 /a b r r ，所以a tb ，即 3515 13 , 222 ttt ， 得 1 3 t ， 9 2 . 故选：B.

8、【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题. 9. 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是 1 CC， AD的中点，那么异面直线OE和 1 FD所成的角的余弦值等于（） A. 42 7 B. 15 5 C. 3 3 D. 6 3 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出 1 ,FOED ，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可 求解出异面直线OE和 1 FD所成的角的余弦值. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 所以 1 1,1,1 ,1,0,2F

9、OED ，所以 1 1 1 315 cos, 535 FDOE OE OE FD FD ， 所以异面直线OE和 1 FD所成的角的余弦值为 15 5 ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.异面直线所成角的 向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面 直线所成角可求. 10. 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么3ab 等于（） A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据题意求出 2 1a ， 2 1b ， 1 2 a b ，再求出 2 37ab ，最后求3ab

10、 即可. 【详解】解：因为a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60， 所以 2 1a ， 2 1b ， 1 1 1 cos60 2 a b ， 2 221 6391 69 17 2 abaa bb ， 所以73ab 故选：A 【点睛】本题考查根据数量积的运算求模、数量积的运算，是基础题. 二、填空题（共二、填空题（共 7 题，每题题，每题 5 分，共分，共 35 分）分） 11. 若向量1,1,2a ，1,2,1b ，1,1,1c ，则 2cab _. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据坐标运算先求解出,2cab ，再利用坐标形式下空间向量的数量积计算公式求解出 高考资源网（）您身边的高考专

11、家 版权所有高考资源网 - 7 - 2cab 的值. 【详解】因为0,0, 1 ,22,4,2cab ，所以 20022cab ， 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量的数量积计算，主要考查学生对空间向量的数量积计算公式的运 用，难度较易.已知 111222 ,ax y zbxyz ，则 121212 a bx xy yz z . 12. 若已知5a ，4b ，且 10a b r r ，则向量a 与b 的夹角为_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据数量积的计算公式求解出cos, a b 的值，从而, a b 可求. 【详解】因为cos,10a ba ba b ，且5a ，4b ， 所

12、以 1 cos, 2 a b r r ，所以, 3 a b ， 故答案为： 3 . 【点睛】本题考查求解向量夹角，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 13. 经过点2,3A，1, 1B两点的直线的斜率为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率. 【详解】因为2,3A，1, 1B，所以 31 4 2 1 k ， 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据两点的坐标求直线的斜率，难度容易.已知 112212 ,A x yB x yxx，则 21 21 yy k xx . 14. 已知平面和平面的法向量分别为1,1,2a ，, 2,3bx -，且，则

13、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - x _. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据平面垂直对应的法向量也垂直，从而法向量的数量积为0，由此求解出x的值. 【详解】因为，所以a b ，所以 0a b ， 所以260 x ，所以4x ， 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据向量垂直求解参数值，难度较易.平面, 互相垂直，则两个平面的法 向量也互相垂直；若平面, 互相平行，则两个平面的法向量共线. 15. 过点1,0M倾斜角为45的直线方程为_. 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 根据条件求解出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将其转化为一般式方程. 【详解

14、】因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率tan451k ， 所以直线的方程为：011yx ，即10 xy ， 故答案为：10 xy . 【点睛】本题考查直线方程的求解，难度较易.已知直线上一点和直线的斜率可求解出直线的 点斜式方程. 16. 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，直线 1 DD与平面 1 ABD所成角为_. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【答案】45 【解析】 【分析】 取 1 AD中点E，利用垂直关系证明 1 DD E即为所求角，并求解出角的大小. 【详解】 如图所示， 取 1 AD中点E， 连接DE， 因为四边形 11 AA

15、D D为正方形， 所以 1 DEAD， 又因为AB 平面 11 AAD D，所以AB DE，且 1 DEADE，所以DE 平面 1 ABD， 所以直线 1 DD与平面 1 ABD所成角即为 1 DD E，且 1 45DD E， 故答案为：45. 【点睛】本题考查求解线面角的大小，解答问题的关键是通过垂直关系找到线面角是哪一个 角，难度一般.本例还可以根据线面角的向量求法进行求解：通过直线的方向向量与平面法向 量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值，从而线面角可求. 17. 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E是 1 BD的中点，则CE的长为_. 【答案】 3 2 【解析】

16、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【分析】 建立空间直角坐标系，写出,C E的坐标，利用空间中两点间的距离公式求解出CE的长度. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示： 所以 1 1 1 ,0,1,0 2 2 2 EC ，所以 222 1113 010 2222 CE ， 故答案为： 3 2 . 【点睛】本题考查空间中距离公式的运用，难度较易.已知 111222 ,A x y zB xy z，则 222 121212 ABxxyyzz . 三、解答题三、解答题 18. 根据条件，求出下列直线的方程： （1）经过点1,2A倾斜角为45； （2）经过点0,5A，5,

17、0B. 【答案】 （1）10 xy ； （2）50 xy. 【解析】 【分析】 （1）先求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程； （2）直接假设直线的截距式方程求解出直线的方程. 【详解】 （1）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率tan451k ， 所以直线的方程为： 211yx ，即10 xy ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （2）设直线的方程为10 xy ab ab ，因为直线过点0,5A，5,0B， 所以5ab，所以直线方程为50 xy. 【点睛】本题考查根据条件求解直线的方程，难度较易.求解直线方程时，要注意根据条件判 断选

18、用哪一种直线的方程去求解更容易. 19. 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，2ACCB， 1 2 2AA ，且ACCB， 1 AA 底 面ABC，E为AB中点，点P为 1 B B上一点. （1）求证： 1/ / BC平面 1 ACE； （2）求平面 1 ACE与平面CEB夹角的余弦值. 【答案】 （1）详见解析； （2） 5 5 . 【解析】 【分析】 （1）连接 1 AC与 1 AC交于点 O，连接 OE，得到 1 / /OEBC，再利用线面平行的判定定理证 明即可； （2）根据ACCB， 1 AA 底面ABC，建立空间直角坐标系，求得平面 1 ACE的一个法向 量, ,mx y z

19、，再根据 1 CC 底面ABC，得到 1 0,0,2 2CC 平面CEB一个法向量， 然后由 1 1 1 cos, CCm CCm CCm 求解. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【详解】 （1）如图所示： 连接 1 AC与 1 AC交于点 O，连接 OE， 所以 1 / /OEBC，又OE 平面 1 ACE， 1 BC 平面 1 ACE， 所以 1/ / BC平面 1 ACE； （2）由ACCB， 1 AA 底面ABC，建立如图所示空间直角坐标系： 则 1 2,0,2 2 ,0,0,0 ,1,1,0 ,0,2,0ACEB， 所以 1 1,1,0 ,2,0,2

20、 2CECA ， 设平面 1 ACE的一个法向量为： , ,mx y z ， 则 1 0 0 CE m CE CA ，即 0 22 20 xy xz ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 令1x ，则 2 1, 1, 2 m ， 因为 1 CC 底面ABC，所以 1 0,0,2 2CC 平面CEB一个法向量， 所以 1 1 1 5 cos, 5 CCm CCm CCm ， 由图知二面角为钝角， 所以平面 1 ACE与平面CEB夹角的余弦值为 5 5 . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化 归思想和逻辑推理和运算求解的

21、能力，属于中档题. 20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ADAB，/AB DC， 2ADDCAP，1AB ，点E为棱PC的中点. （1）证明BEDC （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （3）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值. 【答案】 （1）证明过程见详解； （2） 3 3 ： （3） 3 10 10 . 【解析】 【分析】 （1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BEDC； （2）向量法：先求平面PBD的法向量n ，然后利用公式sincos, n BE n BE nBE 求 直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

22、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （3） 向量法： 先求平面ABF和平面PBA的法向量 12 ,n n ， 再利用公式 12 12 12 cos, n n n n nn 来求二面角FABP的余弦值 【详解】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图） ，可得(1,0,0),(2,2,0)BC， (0,2,0),(0,0,2)DP，由点E为棱PC的中点，得1,1,1E （1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故 0BE DC BECD （2）向量( 1,2,0),(1,0, 2)BDPB ，设, ,nx y z 为平面PBD的法向量，则 0 0 n BD

23、n PB ，即 20 20 xy xz ， 不妨令1z ，可得2,1,1n 为平面PBD的一个法向量 于是有 23 cos, 3|62 nBE n BE nBE ， 直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 3 （3）2, 2,2 ,(2,2,0),(1,0,0),CPACAB ， 由点F在棱PC上，故(1 2 ,22 ,2 )BFBCCFBClCPlll ， 由BFAC，得+22(12 )(22 =0)ll，解得 3 4 l ，即 1 1 3 , 2 2 2 BF 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 设 1 ( , , )nx y z 为平面ABF的法向量，则

24、1 1 0 0 nAB nBF ，即 0 113 0 222 x xyz ，不妨令 1z ，可得 1 (0, 3,1)n 为平面ABF的一个法向量取平面PAB的法向量 2 (0,1,0)n ， 则 12 12 12 33 10 cos, 1010 n n n n nn 易知二面角FABP是锐角，其余弦值为 3 10 10 【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直、利用空间向量求线面所成的角、利用空间向 量求面面所成的角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空 间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法 向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量 关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离.是中档题