浙江省宁波市奉化高中、慈溪市三山高中等六校2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20192019 学年第二学期期中六校联考学年第二学期期中六校联考 高二数学学科试卷高二数学学科试卷 命题学校：慈溪市三山高级中学命题学校：慈溪市三山高级中学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 . . 1. 已知集合12Axx ， 13Bxx，则AB () A.1,2B. 1,2C. 1,3D.1,3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据交集的概

2、念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】依题意AB 1,2. 故选：A 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2.i是虚数单位，复数 7 3 i i （ ） A.2iB.2iC.2i D.2i 【答案】B 【解析】 试题分析： 73720 10 2 33310 iiii i iii . 考点：复数的四则运算. 3. 5 sin() 3 的值为（） A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 利用诱导公式化简求值即可 【详解】由题, 53 sinsin2sin 3332 故

3、选：A 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值,属于基础题 4. 我校兼程楼共有 5 层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（） A. 10 种B. 16 种C. 25 种D. 32 种 【答案】B 【解析】 走法共分四步：一层到二层 2 种，二层到三层 2 种，三层到四层 2 种，四层到五层 2 种，一 共 4 216 种.故本题正确答案为 B. 5. 函数 3 ( )32 x f x x 的零点所在区间是（） A.( 1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据函数零点存在定理判断即可. 【详解】由函数 3 32 x f x x ， 所以，

4、1 3 13220 1 f ， 2 311 2320 22 f， 所以，函数 3 32 x f x x 的零点所在的区间为1,2. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题. 6. 设 0.2 2a ，log 2b ， 0.2 logce，则a、b、c的大小关系是（） A.abcB.bcaC.cabD. cba 【答案】D 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法比较a、b、c三个数与0和1的大小，由此 可得出a、b、c的大小关系. 【详解】指数函数2xy

5、为R上的增函数，则 0.20 221a ； 对数函数logyx 为0,上的增函数，则log 1log 2log ，即01b； 对数函数 0.2 logyx为0,上的减函数，则 0.20.2 loglog10ce. 因此，cba. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合 中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 7. 用min , a b表示, a b两个数中的最小值 设( )min4,6f xxx ， 则 ( )f x的最大值 为（） A. -4B. -5C. -6D. -10 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，写出函数的解析式即

6、可得出结论. 【详解】由题意，函数 4,1 6,1 xx f x xx ， 因当1x时，函数 fx为减函数；当1x 时，函数 fx为增函数. 所以，当1x 时，函数 fx取最大值，最大值为 15f . 故选：B. 【点睛】本题考查函数的最值，正确理解函数新定义是解题的关键，属于基础题. 8. 用数学归纳法证明“ 11 12nn 111 () 24 nN nn ”时， 由nk到1nk时， 不等试左边应添加的项是() A. 1 2(1)k B. 11 2122kk 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - C. 111 21221kkk D. 1111 212212kkkk

7、【答案】C 【解析】 【分析】 分别代入,1nk nk，两式作差可得左边应添加项 【详解】由 n=k 时，左边为 111 12kkkk ， 当 n=k+1 时，左边为 11111 231(1)(1)kkkkkkkk 所以增加项为两式作差得： 111 21221kkk ，选 C. 【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第 一个值n0(n0N N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设 nk(kn0，kN N *)时命 题成立，证明当nk1 时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所 有的正整数都成立，两步缺一不可 9. 已知

8、函数 ( )f x是R上的偶函数，对于任意xR都有(6)( )(3)f xf xf 成立，当 12 ,0,3x x ，且 12 xx时，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx 给出以下三个命题： 直线6x 是函数 ( )f x图像的一条对称轴； 函数 ( )f x在区间 9, 6上为增函数； 函数 ( )f x在区间 9,9上有五个零点 问：以上命题中正确的个数有（） A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意， 利用特殊值法分析可得 ( 36)( 3)(3)fff ， 结合函数的奇偶性可得(3)0f， 进而可得(6)( )f xf x，所以 ( )

9、f x的周期为 6；据此分析三个命题，综合即可得答案 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【详解】解：根据题意，对于任意xR，都有(6)( )(3)f xf xf成立， 令3x ，则 ( 36)( 3)(3)fff ， 又 ( )f x是R上的偶函数，所以(3)0f ，则有(6)( )f xf x，所以 ( )f x的周期为 6； 据此分析三个命题： 对于，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为 6， 则直线6x 是函数 ( )f x图象的一条对称轴，正确； 对于，当 1 x， 2 0 x ，3，且 12 xx时，都有 12 12 ()() 0 f

10、 xf x xx ， 则函数( )yf x在0，3上为增函数， 因为 ( )f x是R上的偶函数，所以函数( )yf x 在 3 ，0上为减函数， 而 ( )f x的周期为 6，所以函数( )yf x 在 9，6 上为减函数，错误； 对于，f（3）0， ( )f x的周期为 6， 所以 ( 9)( 3)(3)(9)0ffff ， 函数( )yf x在 9，9上有四个零点；错误； 三个命题中只有是正确的； 故选：B 【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出(3)f的值，分析函数的周期与对称 性 10. fx是定义在R R上的奇函数，当0 x 时， 0f xx fx ，且( 3)0f ，

11、则不 等式 0f x 的解集为（） A.3,03,B. 3,00,3C. , 33, D. , 30,3 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 根据条件构造函数 g xx f x， 利用函数的单调性和导数之间的关系， 判断函数 g x的 单调性，然后根据函数 fx的奇偶性判断函数 fx的取值情况，即可求得不等式的解集. 【详解】由题意，构造函数 g xx f x，则 gxf xx fx ， 当0 x 时，有 0f xx fx 恒成立，即 0gxf xx fx 恒成立， 所以 g x在,0上单调递减， 又 fx是定义在R上的奇函数，则 g

12、 xx f x为R上的偶函数， 所以 g x在0,上单调递增， 而30f ，故 330gg， 当30 x 时， 0g xx f x，所以 0f x ； 当3x 时， 0g xx f x，所以 0f x ； 当3x 时， 0g xx f x，所以 0f x ； 当03x时， 0g xx f x，所以 0f x . 综上，不等式 0f x 的解集为：3,03,. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数求导法则以及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的 图象特征，构造函数是解决本题的关键. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题

13、分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分. . 11. 幂函数 ( )f x的图像经过点(4,2)P ，则(9)f_. 【答案】3 【解析】 【分析】 设幂函数 fxx，由条件求，再求 9f的值. 【详解】设幂函数 fxx， fx图像经过点(4,2)P， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 42 ， 1 2 ， 1 2 fxx ， 1 2 993f . 故答案为：3 【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型. 12. 已知函数 fx在R上是减函数， 且 21f ， 则满足241fx 的实数x的取值 范围是_. 【答案】,

14、3 【解析】 【分析】 利用函数在R上是减函数可得242x，解不等式即可. 【详解】由 21f ，若满足241fx ，则 242fxf 又函数 fx在R上是减函数， 则242x，解得3x ，所以实数x的取值范围为,3. 故答案为：,3 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解抽象函数不等式，属于基础题. 13. 从5名男生和4名女生中， 选出3名代表， 要求至少包含1名女生， 则不同的选法有_ 种. 【答案】74 【解析】 【分析】 根据题意，选用间接法，首先计算从 5 名男生和 4 名女生共 9 人中，任取 3 名代表的选法， 再计算没有女生入选的情况，进而可得答案. 【详解】根据题意，从 5

15、名男生和 4 名女生共 9 人中，任取 3 名作代表有 3 9 84C 种， 其中没有女生入选，即全部选男生的情况有 3 5 10C 种， 所以，至少包含 1 名女生的不同选法共有84 1074种. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 故答案为：74. 【点睛】本题考查组合的运用，对于“至少或至多有一个”一类的问题，一般用间接法. 14. 定义在R上的函数( )()f x xR既是奇函数又是周期函数，若( )()f x xR的最小正周期 是，且0, 2 x 时 sinf xx ，则 11 3 f _ 方程 0f x 的解集为 _. 【答案】(1). 3 2 (2).

16、, 2 k x xkZ 【解析】 【分析】 利用函数的周期为可得 11 333 fff ；根据函数在0, 2 x 的解析式 可得函数在(,) 2 2 x 存在唯一的零点，再由 ()(),()()()0 22222 fffff ，即可得到答案； 【详解】函数的周期为， 2 113 333 fff ； ( )f x为奇函数，()() 22 ff ， 函数的周期为，()()()0 222 fff ， ()0, 2 k fkZ ， 方程 0f x 的解集为, 2 k x xkZ 。 故答案为： 3 2 ；, 2 k x xkZ . 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、方程的根，考查函数与方程思想、转

17、化与化归思 想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用周期性与奇偶性结合得到函数的所 有零点. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 15. 在二项式 7 ( 3) x的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_ 【答案】(1).27 3(2). 4 【解析】 【分析】 化简二项式展开式的通项公式，由此求得常数项和有理项的个数. 【详解】二项式展开式的通项公式为 7 7 2 77 33 r r rrrr CxCx .当0r 时，求得常数项 为 7 0 2 7 327 3C .当1,3,5,7r 时， 7 2 3 r 为有理数，也即有理项有4个. 【点睛】

18、本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查常数项和有理项的求法，属于基础 题. 16. 设随机变量 1 5, 3 XB ，则3P X _；D X _ 【答案】(1). 40 243 (2). 10 9 【解析】 【分析】 根据独立重复试验的概率公式可求得3P X ，利用二项分布的方差公式可求得D X的 值. 【详解】 1 5, 3 XB ， 32 3 5 1240 3 33243 P XC ， 由二项分布的方差公式可得 1210 5 339 D X . 故答案为： 40 243 ； 10 9 . 【点睛】本题考查独立重复试验概率的计算，同时也考查了二项分布方差的计算，考查计算 能力，属于基础题

19、. 17. 已知函数 8 ,2 1 31,2 x x x f x x ， 则函数 fx的值域为_； 若方程 0f xa有 三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_. 【答案】(1).0,8(2).0,1 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【解析】 【分析】 分2x 和2x 分别计算出 fx的值域，取并集可得出函数 yf x的值域；然后作出函 数 yf x和函数y a 的图象，数形结合可求得实数a的取值范围. 【详解】 8 ,2 1 31,2 x x x f x x ，当2x 时，1 1x ，此时 8 0,8 1 f x x ； 当2x 时，0 39 x ，则 1

20、318 x ，此时 310,8 x f x . 因此，函数 yf x的值域为0,8. 令 0f xa，得 af x，由于方程 0f xa有三个不同的实数根， 则函数 yf x和函数y a 的图象有三个交点， 当0 x 时，31 x ，此时 311 31 xx f x ， 作出函数 yf x和函数y a 的图象如下图所示： 由图象可知，当01a时，函数 yf x和函数y a 的图象有三个交点. 所以，实数a的取值范围是0,1. 故答案为：0,8；0,1. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查分段函数值域的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，考

21、查数 形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. . 18. 已知集合|22Axaxa，|14Bx xx或. （1）当3a 时，求AB； （2）若AB ，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）1145|ABxxx 或； （2）,1. 【解析】 【分析】 （1）当3a 时，得到集合,A B，即可求解AB； （2）由AB ，分0a 和0a 两种情况分类讨论，列出关系式，即可求解实数a的取 值范围. 【详解】 （1）当3a 时，| 15Axx ，

22、|14Bx xx或， | 1145ABxxx 或， （2）若A，此时22aa， 0a ，满足AB ， 当0a 时，|22Axaxa， AB ， 21 24 a a ， 01a. 综上可知，实数a的取值范围是(,1). 19. 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位， 设与座位编号相同的学生的个数是. （1）求随机变量的取值和对应的概率，并列出分布列； （2）求随机变量的数学期望及方差. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【答案】 （1）取值为 0，1，3，概率 1 3 ， 1 2 ， 1 6 ，分布列见解析（2）数学期望

23、 1；方差 1 【解析】 【分析】 （1）求得当分别为 0,1,3 时的概率,列分布列； （2）代入期望和方差公式可得结论. 【详解】解： （1）随机变量的取值为 0，1，3 3 3 21 0 3 P A 1 3 3 3 1 1 2 C P A 3 3 11 3 6 P A 所以概率分布列为： 013 P 1 3 1 2 1 6 （2） 11 131 26 E 2222111 1 01 11203 11 326 D 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望,方差的计算,属于基础题. 20. 函数 2 223f xaxxa . （1）当1a 时，求函数 fx在区间1,3上的值域； （2） 若

24、任意 12 ,0,1x x ， 对任意0,1a， 总有不等式 2 12 ( )()21f xf xmam成立， 求m的取值范围. 【答案】 （1） 9 ,20 2 ； （2）1m 或3m . 【解析】 【分析】 （1）当1a 时，利用二次函数的性质，求得 fx在区间1,3上的值域； （2）首先求得 fx在区间0,1上的最大值和最小值，由此得到对任意01a，不等式 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 2 2122mama 恒成立，构造函数 2 g( )=(21)(22)amama 2 2(1)1mam ，结合一次函数的性质列不等式组，解 不等式组求得m的取值范围.

25、【详解】 （1）当1a 时， 2 2 19 2242 22 fxxxx ， 对称轴 1 1,3 2 x min 19 ( )() 22 f xf ， max ( )(3)20f xf， 函数 fx在1,3上的值域为 9 ,20 2 . （2）0a ， 对称轴 1 0 2 x a ， fx在区间0,1上单调递增， max 11f xfa， min 03f xfa ， maxmin 22f xf xa， 即对任意01a，不等式 2 2122mama 恒成立， 设 22 g( )=(21)(22)2(1)1amamamam ， 由于 0g a 在区间01 ，上恒成立，所以 则 (0)0 (1)0 g

26、 g ，即 2 2 10 2110 m mm ， 解得1m 或3m . 【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 属于难题. 21. 已知函数( )sin()(0,0,0)g xAxk A的部分图象如图所示，将函 数( )g x的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数 ( )f x的图象 （1）求函数( )g x的解析式； （2）求函数 ( )f x在, 6 12 上的值域； （3）求使( )2f x 成立的x取值的集合 【答案】 （1） 5 2sin 21 6 g

27、xx ； （2）0,3； （3）, 622 kk x ， （Zk） . 【解析】 【分析】 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A 与 k，由周期求出，由 2 6 （） 2 ，求出的 值，可得函数g（x）的解析式； （2）利用正弦函数的图象变换求得 f x的表达式，利用性 质可求值域； （3）结合三角函数的图像进行求解即可 【详解】 （1）由图象可知：A=2，k= 3 1 2 =1， 2 T = 3 -（- 62 ），T= 2 2 ， 又 2 6 （）= 2 ，得到= 5 6 ，所以 5 2sin 21 6 g xx . （2）函数 g x的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函

28、数 5 2sin 41 6 f xx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 当x, 6 12 时， 57 4, 666 x ， 51 sin 4,1 62 x ， 0,3f x ，所以值域为0,3 （3）由 551 2sin 412sin 4 662 fxxx ， 所以 55 242 666 kxk ，即, 622 kk x （Zk）. 【点睛】本题主要考查由函数yAsin（x+）+k 的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出A 与 k，由周期求出，由五点确定是解题的关键，考查了正弦函数的图像及 性质的应用，属于中档题 22. 已知函数 2 ( ), x

29、 f xexa xR的图像在点0 x 处的切线为ybx （1）求函数 ( )f x的解析式； （2）当xR时，求证： 2 f xxx ； （3）若 f xkx对任意的(0,)x恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】 （1） 2 ( )1 x f xex； （2）证明见解析； （3）(,2)e. 【解析】 【分析】 （1）利用 (0)10 (0)1 fa fb 可求, a b，从而可得 fx的解析式. （2） 2 ( )f xxx 等价于10 x ex ，令( )1 x g xex，利用导数可求 min ( )0g x 也就是10 x ex . （3） 不等式 f xkx等价于 ( )f x k

30、 x ， 令 ( )f x h x x ， 利用导数可求 h x在0,上 的最小值后可得k的取值范围. 【详解】 （1） 2 ( ),( )2 xx f xexa fxex， 由已知得 (0)10 (0)1 fa fb 解得 1 1 a b ，故 2 ( )1 x f xex. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2）令 2 ( )( )1 x g xf xxxex，由 10 x gxe 得0 x . 当(,0)x 时，( )0g x ，( )g x单调递减； 当(0,)x时，( )0g x ，( )g x单调递增. min ( )(0)0g xg，从而 2 (

31、 )f xxx . （3） ( )f xkx 对任意的(0,)x恒成立 ( )f x k x 对任意的(0,)x恒成立. 令 ( ) ( ),0 f x h xx x ， 2 222 21(1)1 ( )( ) ( ) xxx x exexxex xfxf x h x xxx 由（2）可知当(0,)x时， 2 10ex 恒成立 令( )0h x ，得1x ；( )0h x 得01x. ( )h x的增区间为(1,)，减区间为(0,1)， min ( )(1)2h xhe， min ( )(1)2kh xhe，实数k的取值范围为(,2)e. 【点睛】本题考查曲线的切线以及函数不等式的恒成立，对于函数不等式的恒成立问题，可 构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正 负得到不等式成立.如果函数不等式含有参数，则可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不 含参数的函数的最值问题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -