第2节 向量基本定理与向量的坐标.docx

1、第第 2 节节向量基本定理与向量的坐标向量基本定理与向量的坐标 知识梳理 1.共线向量基本定理 如果 a0 且 ba，则存在唯一的实数，使得 ba. 2.平面向量基本定理 (1)平面向量的基底 平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组 基底，如果 cxayb，则称 xayb 为 c 在基底a，b下的分解式. (2)平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向量 c，存在唯一的 实数对(x，y)，使得 cxayb. 3.平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e1，e2，对于平面内的向量 a，如 果 ax

2、e1ye2，则称(x，y)为向量 a 的坐标，记作 a(x，y). 4.平面向量的坐标运算 (1)平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量 a，b 满足 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)(R)，uavb(ux1vx2，uy1vy2)(u，vR). (2)向量模的坐标计算公式 如果向量 a(x，y)，则|a| x2y2. (3)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB (x2x1， y2y1)， |AB| （x2x1）2（y2y1）2. 5.向量平行的坐标

3、表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx2y1x1y2. 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若 a 与 b 不共线，ab0，则0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、 终点的相对位置有关系.两个相等的 向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 4.三点共线的充要条件 如果 A，B，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得AB AC . 已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点，平面内任意一 点 P 在直线 l 上的充要条件是：存在实数 t，使得OP (1t)OA tOB ，即存在 实数 x，y，使

4、得OP xOA yOB (xy1). 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.() (2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b， 则12，12.() (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1 x2 y1 y2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)共线向量不可以作为基底. (3)若 b(0，0)，则x1 x2 y1 y2无意义. 2.若 P1(1，3)，P2(4，0)，且 P 是线段 P1P

5、2的一个三等分点(靠近点 P1)，则点 P 的坐标为() A.(2，2)B.(3，1) C.(2，2)或(3，1)D.(2，2)或(3，1) 答案A 解析由题意得P1P 1 3P 1P2 且P1P2 (3，3)， 设 P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)， 所以 x2，y2，则点 P(2，2). 3.已知向量 a(1，3)，b(2，1)，则 3a2b() A.(7，7)B.(3，2) C.(6，2)D.(4，3) 答案A 解析3a2b(3，9)(4，2)(7，7). 4.(2020长沙调研)已知向量 a(m，1)，b(3，m2)，则 m3 是 ab 的() A.充分不必要条件 B.必要不充

6、分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案A 解析a(m，1)，b(3，m2)， 若 ab，则 m(m2)30， 得 m3 或 m1， 所以“m3”是“ab”的充分不必要条件. 5.(2020合肥质检)设向量 a(3，4)，向量 b 与向量 a 方向相反，且|b|10，则 向量 b 的坐标为() A. 6 5， 8 5B.(6，8)C. 6 5， 8 5D.(6，8) 答案D 解析因为向量 b 与 a 方向相反，则可设 ba(3，4)，0，则|b| 921625|10，2，b(6，8). 6.(2021济南模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 的中点，CE 2DE ，

7、 若EF xAByAD ，则 xy() A.1B.6C.1 6 D.1 3 答案C 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以AB DC ，AD BC ， 因为CE 2DE ，所以ED 1 3DC 1 3AB ， 连接 AF，在AEF 中， 所以EF EAAFED AD AB BF 1 3AB AD AB 1 2BC 2 3AB 1 2AD ， 又因为EF xAByAD ， 所以 x2 3，y 1 2，故 xy 1 6. 考点一平面向量的坐标运算 1.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC 2AD ， 则顶点 D 的坐标为() A. 2，7 2B

8、. 2，1 2 C.(3，2)D.(1，3) 答案A 解析设 D(x， y)， AD (x， y2)， BC (4， 3)， 又BC2AD ， 所以 42x， 32（y2） ， 解得 x2， y7 2， 故选 A. 2.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 () A.1B.2C.3D.4 答案D 解析以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正 方形边长为 1)， 则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， aAO (1，1)，bOB (6，2)，cBC (1，3)， cab，(1，3)(1，1)(6，2)， 则 61， 23，

9、 解得 2， 1 2， 2 1 2 4. 3.(2020西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA 3 2 ，1 2 ，若OA 绕 点 O 逆时针旋转 60得到向量OB ，则OB () A.(0，1)B.(1，0) C. 3 2 ，1 2D. 1 2， 3 2 答案A 解析OA 3 2 ，1 2 ，OA 与 x 轴的夹角为 30， 依题意，向量OB 与 x 轴的夹角为 90， 则点 B 在 y 轴正半轴上，且|OB |OA |1， 点 B(0，1)，则OB (0，1). 4.(2021重庆检测)如图，原点 O 是ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，AOB150，BOC90，|OA

10、|2，|OB |1，|OC | 3，若OC OA OB ，则 ( ) A. 3 3 B. 3 3 C. 3D. 3 答案D 解析由三角函数定义，易知 A(2，0)，B 3 2 ，1 2 ，C(3cos 240，3sin 240)， 即 C 3 2， 3 3 2， 因为OC OA OB ， 所以 3 2， 3 3 2(2，0) 3 2 ，1 2 ， 所以 2 3 2 3 2， 1 2 3 3 2 ， 解得 3， 3 3. 所以 3. 感悟升华1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即 引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很 多几何问题的解答转化

11、为我们熟知的数量运算. 2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向 线段两端点的坐标， 则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用. 考点二平面向量基本定理及其应用 【例 1】如图所示，已知在OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是 将OB 分成 21 的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E， 设OA a， OB b. (1)用 a 和 b 表示向量OC ， DC ； (2)若OE OA ，求实数的值. 解(1)依题意，A 是 BC 的中点， 2OA OB OC ，即OC 2OA OB 2ab. DC OC OD OC 2 3OB 2ab2 3b

12、2a 5 3b. (2)设OE OA (00，b0，若 A，B，C 三点共线，则1 a 2 b的最小值为( ) A.8B.9C.6D.4 答案(1)1 2 (2)A 解析(1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 42 0，即1 2. (2)由题意知AB OB OA (a1，1)，AC OC OA (b1，2). 因为 A，B，C 三点共线，设AB AC， 则(a1，1)(b1，2). a1（b1） ， 12， 得 2ab1. 又 a0，b0，则1 a 2 b 1 a 2 b (2ab)22b a 4a b 42 b a 4a b 8，当且仅 当b a 4a b

13、 ， 即 a1 4，b 1 2时，等号成立. 1 a 2 b的最小值为 8. 感悟升华1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10； (2)若 ab(b0)，则 ab. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行， 也可以由平行求参数.当两向量的 坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练 2】 (1)(2020太原联考)已知向量 e1(1，1)，e2(0，1)，若 ae1e2 与 b(2e13e2)共线，则实数_. (2)(2021安徽江南十校调研)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)

14、和点 B(3， 4)，若点 C 在AOB 的平分线上，且|OC |3 10，则向量OC 的坐标为_. 答案(1)3 2 (2)(3，9) 解析(1)由题意知 ae1e2(1，1)， b(2e13e2)(2，1). 由于 ab，所以 112(1)0，解得3 2. (2)因为点 C 在AOB 的平分线上， 所以存在(0，)，使得OC OA |OA | OB |OB |. OC (0，1) 3 5， 4 5 3 5， 9 5， 又|OC |3 10， 所以 3 5 2 9 5 2 (3 10)2，解得5. 故向量OC (3，9). A 级基础巩固 一、选择题 1.设 A(0，1)，B(1，3)，C(

15、1，5)，D(0，1)，则AB AC等于( ) A.2AD B.2AD C.3AD D.3AD 答案C 解析由题意得AB (1，2)，AC(1，4)，AD (0，2)，所以AB AC(0， 6)3(0，2)3AD . 2.已知向量 a(2，1)，b(3，4)，c(1，m)，若实数满足 abc，则m 等于() A.5B.6C.7D.8 答案B 解析由平面向量的坐标运算法则可得 ab(5，5)， c(，m)，据此有 5， m5，解得5，m1，m6. 3.(2020郑州质检)已知向量AB (1，4)，BC (m，1)，若AB AC ，则实数 m 的值为() A.1 4 B.4C.4D.1 4 答案D

16、 解析向量AB (1，4)，BC(m，1)， AC ABBC(1m，3)， 又AB AC，所以 134(1m)0，解得 m1 4. 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C 为第一象限内一点，且 AOC 4，且|OC|2，若OC OA OB ，则() A.2 2B. 2C.2D.4 2 答案A 解析因为|OC|2，AOC 4，所以 C( 2， 2)， 又OC OA OB ，所以( 2， 2)(1，0)(0，1)(，)，所以 2， 2 2. 5.(2021济南调研)在ABC 中，AN 1 4NC ，若 P 是直线 BN 上的一点，且满足AP mAB 2 5AC ，则

17、实数 m 的值为( ) A.4B.1C.1D.4 答案B 解析根据题意设BP nBN(nR)， 则APABBPABnBNABn(ANAB) AB n 1 5AC AB (1n)AB n 5AC . 又AP mAB2 5AC ， 1nm， n 5 2 5， 解得 n2， m1. 6.(2021东北师大附中等五校联考)已知向量 a 1 3，tan ，b(cos ，1)， 2，且 ab，则 sin 2 () A.1 3 B.1 3 C.2 2 3 D.2 2 3 答案C 解析向量 a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab， 则1 3tan cos sin ， 又 2，知 cos 2 2 3

18、 ， 所以 sin 2 cos 2 2 3 . 7.(2020西安质检)已知在 RtABC 中， BAC90， AB1， AC2， D 是ABC 内一点，且DAB60，设AD AB AC(，R)，则 ( ) A.2 3 3 B. 3 3 C.3D.2 3 答案A 解析如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B 点的坐标为(1，0)，C 点的 坐标为(0，2)， 因为DAB60，所以设 D 点的坐标为(m， 3m)(m0). AD (m， 3m)AB AC(1，0)(0，2)(，2)，则m，且3 2 m， 所以 2 3 3 . 8.ABC

19、 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，m(a，b)，n(cos B，cos A)，则“mn”是“ABC 是等腰三角形”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案D 解析由 mn 得 bcos Bacos A0，即 sin Bcos Bsin Acos A， 可得 sin 2Bsin 2A，因为角 A，B，C 分别是ABC 的内角，所以 2A2B 或 2A 2B，即 AB 或 AB 2，可得ABC 是等腰三角形或直角三角形. 因此，由“mn”不能推出“ABC 是等腰三角形”. 因为由“ABC 是等腰三角形”不能推出“AB”，所以由“ABC

20、 是等腰三 角形”也不能推出“mn”. 故“mn”是“ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 二、填空题 9.已知 A(2，3)，B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且|AP|3 2|BP|，则点 P 的坐标为_. 答案(8，15) 解析设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则AP 3 2BP ，得(x2，y3)3 2(x4，y3)， 即 x23 2（x4） ， y33 2（y3）. 解得 x8， y15. 所以点 P 的坐标为(8，15). 10.(2021武汉联考)已知非零向量 a(2x， y)， b(1， 2)， 且 ab， 则x y_. 答案1 4

21、 解析因为 a(2x，y)，b(1，2)，且 ab，所以 2x(2)y10，所以x y 1 4. 11.已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O， 点 E 为线段 AO 的中点， 若DE mAB nAD ，则 mn 的值为_. 答案1 2 解析如图所示，因为点 E 为线段 AO 的中点， 所以DE 1 2(DA DO )1 2DA 1 4DB 1 2AD 1 4AB 1 4AD 1 4AB 3 4AD . 又DE mAB nAD ， 所以 m1 4，n 3 4，故 mn 1 2. 12.已知向量OA (1，3)，OB (2，1)，OC (k1，k2)，若 A，B，C 三 点能构成三角形，则实

22、数 k 应满足的条件是_. 答案k1 解析若点 A，B，C 能构成三角形， 则向量AB ，AC不共线. AB OB OA (2，1)(1，3)(1，2)， AC OC OA (k1，k2)(1，3)(k，k1)， 1(k1)2k0，解得 k1. B 级能力提升 13.(多选题)(2021济南调研)已知向量 e1，e2是平面内的一组基向量，O 为内的 定点，对于内任意一点 P，当OP xe1ye2时，则称有序实数对(x，y)为点 P 的 广义坐标.若平面内的点 A，B 的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题 正确的是() A.线段 AB 的中点的广义坐标为 x1x2 2 ，y

23、1y2 2 B.A，B 两点间的距离为 （x1x2）2（y1y2）2 C.向量OA 平行于向量OB 的充要条件是 x1y2x2y1 D.向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是 x1y2x2y10 答案AC 解析设线段 AB 的中点为 M，则OM 1 2(OA OB )1 2(x 1x2)e11 2(y 1y2)e2， 所以点 M 的广义坐标为 x1x2 2 ，y1y2 2，知 A 正确； 由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此 B 错误； 由向量平行得OA OB ，即(x1，y1)(x2，y2)，所以 x1y2x2y1，得 C 正确； OA 与OB 垂直，则OA OB 0，所以 x1x2e2

24、1(x1y2x2y1)e1e2y1y2e220，即 x1y2 x2y10 不是OA 与OB 垂直的充要条件，因此 D 不正确.故选 AC. 14.(多选题)(2021日照调研)如图 1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中 心重合于点 O 且三组对边分别平行，点 A，B 是“六芒星”(如图 2)的两个顶点， 动点 P 在“六芒星”上(包含内部以及边界)， 若OP xOA yOB ， 则 xy 的取值 可能是() A.6B.1C.5D.9 答案BC 解析设OA a，OB b，求 xy 的范围，只需考虑图中 6 个向量的情况即可， 讨论如下： (1)若 P 在 A 点，OA a，(x，y)(1，

25、0)； (2)若 P 在 B 点，OB b，(x，y)(0，1)； (3)若 P 在 C 点，OC OA AC 2ba，(x，y)(1，2)； (4)若 P 在 D 点，OD OA AE ED ab(2ba)2a3b，(x，y)(2， 3)； (5)若 P 在 E 点，OE OA AE ab，(x，y)(1，1)； (6)若 P 在 F 点，OF OA AF a3b，(x，y)(1，3). xy 的最大值为 235. 根据对称性，可知 xy 的最小值为5. 故选 BC. 15.已知点 P 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且满足AB 2CD 0，AP BP 4DP 0，AP ABBC(，R)

26、，则_. 答案 1 3 解析如图，取 AB 的中点 O，连接 DO. 由AB 2CD 0，知 ABCD，AB2CD， 所以 CD 綉 OB，所以四边形 OBCD 为平行四边形. 又由AP BP4DP 0，得2PO 4DP 0， 即PO 2DP ，所以 D，P，O 三点共线，且 P 为 OD 上靠近 D 的三等分点， 所以AP AO OP 1 2AB 2 3OD 1 2AB 2 3BC ， 所以1 2， 2 3，所以 1 3. 16.在ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上的两个动点，且AD AE xAByAC，则 xy 的最大值为_. 答案1 解析设 DE 的中点为 M，连接 AM(如图). 则AD AE 2AM xAB yAC， 所以AM x 2AB y 2AC ， 又 B，C，M 三点共线， 所以 xy2，且 x0，y0， 又 xy2 xy，当且仅当 xy1 时，取等号， xy1，即 xy 的最大值为 1.