第4节　随机事件的概率.docx

1、第第 4 节节随机事件的概率随机事件的概率 知识梳理 1.事件之间的关系与运算 定义概率关系 包含关系 一般地，如果事件 A 发生时，事件 B 一定 发生， 则称“A 包含于 B”(或 “B 包含 A”)， 记作 AB(或 BA) P(A)P(B) 相等关系 如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而 且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，则 称“A 与 B 相等”，记作 AB.即 A BAB 且 BA P(A)P(B) 事件的和(并) 给定事件 A，B，由所有 A 中的样本点与 B 中的样本点组成的事件称为 A 与 B 的和(或 并)，记作 AB(或 AB). P(A)P(AB)且 P

2、(B)P(AB)， P(A B)P(A)P(B) 事件的积(交) 给定事件 A，B，由 A 与 B 中的公共样本点 组成的事件称为 A 与 B 的积(或交)，记作 AB(或 AB) P(AB)P(A)， P(AB)P(B) 互斥事件 给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不能同时发 生，则称 A 与 B 互斥， 记作 AB(或 AB ) P(AB)P(A) P(B)称为互斥事件 的概率加法公式 对立事件 给定样本空间与事件 A，则由中所有不 属于 A 的样本点组成的事件称为 A 的对立 事件，记作A P(A)P(A )1 2.用频率估计概率 一般地，如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发

3、生的频率为m n ，其中，m 是 n 次重复试验事件 A 发生的次数， 则当 n 很大时， 可以认为事件 A 发生的概率 P(A) 的估计值为m n . 1.事件之间的关系和运算可以用集合间的关系及运算表示，事件之间的关系，还 可以从充分条件，必要条件的角度理解. 2.互斥事件概率加法公式的推广： 一般地，如果 A1，A2，An是两两互斥的事件，则 P(A1A2An)P(A1) P(A2)P(An). 3.概率的一般加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当 AB ，即 A，B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时 P(AB)0. 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内

4、打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的() (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值() (3)若随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0P(A)1.() (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中 奖的概率() 答案(1)(2)(3)(4) 2容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70 频数234542 则样本数据落在区间10，40)的频率为() A0.35B0.45C0.55D0.65 答案B 解析由表知10，40)的频数为 2349， 所以样本数据落在区间

5、10，40)的频率为 9 200.45. 3 某小组有 3 名男生和 2 名女生， 从中任选 2 名同学去参加演讲比赛， 事件“至 少有一名女生”与事件“全是男生”() A是互斥事件，不是对立事件 B是对立事件，不是互斥事件 C既是互斥事件，也是对立事件 D既不是互斥事件也不是对立事件 答案C 解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况， 这两种 情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与 “全是男生”既是互斥事件，也是对立事件 4(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支 付也用非现金支付的概率为 0.15，则不

6、用现金支付的概率为() A0.3B0.4C0.6D0.7 答案B 解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用 现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为 1(0.150.45) 0.4. 5(2020全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天 能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难， 许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预 计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单 的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小

7、于 0.95，则至少 需要志愿者() A10 名B18 名C24 名D32 名 答案B 解析由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，即第 二天确保完成新订单 1600 份，减去超市每天能完成的 1200 份，加上积压的 500 份，共有 16001200500900(份)，至少需要志愿者 9005018(名) 6(2020天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3.假定两球是否落入 盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少 有一个落入盒子的概率为_ 答案 1 6 2 3 解析甲、乙两球都落入盒子的概率 P1 2 1 3 1 6；

8、事件 A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是A ：“甲、乙两球都 不落入盒子”，P(A ) 11 2 11 3 1 3，所以 P(A)1 1 3 2 3. 考点一随机事件的关系 1在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10，那么概率是 7 10的事件是( ) A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡 C都不是移动卡D至少有一张移动卡 答案A 解析由题意知“2 张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又 1 3 10 7 10，故“至多有一张移动卡”的概率是 7 10. 2口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共

9、6 个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个 球，事件 A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”， C“取出的两个球至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取 出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_ A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CE) 1. 答案 解析当取出的两个球为一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的两个 球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；显然 A 与 D 是对立事件， 正确；CE 为必然事件，P(CE)1，正确 3(多选题)(2021烟台模拟)下列命题正确的是() A对立事

10、件一定是互斥事件 B若 AB 为不可能事件，则 P(AB)P(A)P(B) C若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)P(B)P(C)1 D事件 A，B 满足 P(A)P(B)1，则 A，B 是对立事件 答案AB 解析由对立事件的定义可知 A 正确；由于 AB 为不可能事件，所以 A，B 互 斥，则 P(AB)P(A)P(B)，即 B 正确；事件 A，B，C 两两互斥，并不代表 ABC 是必然事件，故 C 不正确；D 中，设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至 少出现一次正面”， 事件 B： “3 次出现正面”， 则 P(A)7 8， P(B) 1 8， 满足 P(A) P(B)1，但 A，B

11、 不是对立事件，故 D 不正确 感悟升华1.准确把握互斥事件与对立事件的概念： (1)互斥事件是不可能同时发 生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立 的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 2判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互 斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件 一定是互斥事件 考点二随机事件的频率与概率 【例 1】(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件) 按标准分为 A，B，C，D 四个等级加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加

12、工费 90 元、50 元、20 元；对于 D 级品，厂家每件 要赔偿原料损失费 50 元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工 成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件厂家为决定由哪个分厂承接 加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级， 整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数28173421 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据， 厂家应选哪个分厂承

13、接加工业务？ 解(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 1000.4； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 1000.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润6525575 频数40202020 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 654025205207520 100 15. 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润7030070 频数28173421 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 702830170347021

14、100 10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务 感悟升华1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率 是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频 率来作为随机事件概率的估计值 2利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频 率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 【训练 1】 某超市计划按月订购一种酸奶， 每天进货量相同， 进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温

15、不 低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶； 如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了 前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的 进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于

16、零的概率 解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表 中数据可知，最高气温低于 25 的频率为21636 90 0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20，则 Y2006(450200)24504100； 若最高气温位于区间20，25)，则 Y3006(450300)24504300； 若最高气温不低于 25，则 Y450(64)900， 所以，利润 Y 的所有可能值为100，300，900. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高

17、气温不低于 20 的频 率为362574 90 0.8. 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 考点三互斥事件与对立事件的概率 【例 2】经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数012345 人及 5 人以上 概率0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率； (2)至少 3 人排队等候的概率 解记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等 候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥

18、 (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC， 所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56. (2)法一记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则 HDEF， 所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 法二记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H) 1P(G)0.44. 感悟升华1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用 已知概率的事件表示出来 2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再

19、求和；二是间接法，先求该事件的对立 事件的概率，再由 P(A)1P(A )求解当题目涉及“至多”、“至少”型问题， 多考虑间接法 【训练 2】 (1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生 产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%，则抽检一件是正品(甲 级)的概率为() A0.95B0.97C0.92D0.08 (2)(多选题)(2021武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1 2，甲获胜 的概率是1 5，下面结论正确的是( ) A甲不输的概率 7 10 B乙不输的概率4 5 C乙获胜的概率4 5 D乙输的概率1 5 答案(1)C(2)ABD 解析(1)

20、记“抽检的产品是甲级品”为事件 A，是“乙级品”为事件 B，是“丙 级品”为事件 C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为 P(A)1P(B)P(C) 15%3%92%0.92. (2)因为甲、乙两人下成和棋的概率是1 2，甲获胜的概率是 1 5，所以甲不输的概率 1 2 1 5 7 10，故 A 正确；所以乙不输的概率 1 1 5 4 5，故 B 正确；所以乙获胜的概 率 11 5 1 2 3 10，故 C 错误；所以乙输的概率即为甲获胜的概率是 1 5，故 D 正确， 故选 ABD. A 级基础巩固 一、选择题 1下列说法正确的是() A甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3 5，则比赛 5 场，甲

21、胜 3 场 B某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，前 9 个病人没有治愈，则第 10 个病 人一定治愈 C随机试验的频率与概率相等 D天气预报中，预报明天降水概率为 90%，是指降水的可能性是 90% 答案D 解析由概率的意义知 D 正确 2设事件 A，B，已知 P(A)1 5，P(B) 1 3，P(AB) 8 15，则 A，B 之间的关系 一定为() A两个任意事件B互斥事件 C非互斥事件D对立事件 答案B 解析因为 P(A)P(B)1 5 1 3 8 15P(AB)，所以 A，B 之间的关系一定为互 斥事件 3从正五边形的五个顶点中，随机选取三个顶点连成三角形，对于事件 A：“这 个三角

22、形是等腰三角形”，下列推断正确的是() A事件 A 发生的概率是1 5 B事件 A 发生的概率是2 5 C事件 A 是不可能事件 D事件 A 是必然事件 答案D 解析从正五边形的五个顶点中， 随机选取三个顶点连成三角形都是等腰三角形， 故事件 A 是必然事件 4(2020太原模拟)已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P(AB)0.7，P(B)0.2，则 P(A )() A0.5B0.1C0.7D0.8 答案A 解析随机事件 A 和 B 互斥，且 P(AB)0.7，P(B)0.2，P(A)P(AB) P(B)0.70.20.5，P(A )1P(A)10.50.5. 5(多选题)(2021重庆调研

23、)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件 A向上的一面 出现奇数点，事件 B向上的一面出现的点数不超过 2，事件 C向上的一 面出现的点数不小于 4，则下列说法中正确的有() A.A B B.B C向上的一面出现的点数大于 3 CAB B C向上的一面出现的点数不小于 3 D.ABC 向上的一面出现的点数为 2 答案BC 解析由题意知事件 A 包含的样本点：向上的一面出现的点数为 1，3，5； 事件 B 包含的样本点：向上的一面出现的点数为 1，2； 事件 C 包含的样本点：向上的一面出现的点数为 4，5，6. 所以 A B向上的一面出现的点数为 2，故 A 错误； B C向上的一面出现的点数为 4

24、或 5 或 6，故 B 正确； AB B C向上的一面出现的点数为 3 或 4 或 5 或 6，故 C 正确； ABC ，故 D 错误，故选 BC. 6从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个 事件是() A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“都是红球” C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 答案D 解析A 中的两个事件是包含关系， 不是互斥事件； B 中的两个事件是对立事件； C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两 个事件是互斥而不对立的关系 7根据某医疗

25、研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型 50%，A 型 15%， B 型 30%，AB 型 5%.现有一血液为 A 型病人需要输血，若在该地区任选一人， 那么能为病人输血的概率为() A15%B20%C45%D65% 答案D 解析因为某地区居民血型的分布为 O 型 50%，A 型 15%，B 型 30%，AB 型 5%， 现在能为A 型病人输血的有O 型和 A 型， 故为病人输血的概率为 50%15% 65%，故选 D. 8抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ，事 件 B 表示“小于 5 的点数出现”， 则一次试验中， 事件 AB 发生的概率为() A

26、.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 答案C 解析掷一个骰子的试验有 6 种可能结果，依题意 P(A)2 6 1 3，P(B) 4 6 2 3，所 以 P(B )1P(B)12 3 1 3， 因为B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件，所以事件 A 与B 互斥，从而 P(AB ) P(A)P(B )1 3 1 3 2 3. 二、填空题 9“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯 在网络上大放厥词的一种现象 某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可 程度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态度，其余持反对态度， 若该地区有 9600 人，

27、则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_人 答案6912 解析在随机抽取的 50 人中，持反对态度的频率为 114 50 18 25，则可估计该地 区对“键盘侠”持反对态度的有 960018 256912(人) 10从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到 二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1， 则事件“抽到的不是一等品”的概率为_ 答案0.35 解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)0.65， 所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 P(A )1 P(A)10.650.

28、35. 11我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250， 300) 概率0.210.160.130.12 则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是_ 答案0.25 解析设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为 A，B， C， 则 ABC， 且 B， C 为互斥事件， 所以 P(A)P(B)P(C)0.130.120.25. 12 一只袋子中装有 7 个红玻璃球， 3 个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次， 每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为

29、7 15，取得两个绿玻璃球的概率为 1 15， 则取得两个同色玻璃球的概率为_；至少取得一个红玻璃球的概率为 _ 答案 8 15 14 15 解析由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件， 取得两 个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概 率为 P 7 15 1 15 8 15. 由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事 件，则至少取得一个红玻璃球的概率为 P(A)1P(B)1 1 15 14 15. B 级能力提升 13若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)2a，P(B) 4a5，则实

30、数 a 的取值范围是() A. 5 4，2B. 5 4， 3 2 C. 5 4， 3 2D. 5 4， 4 3 答案D 解析由题意可得 0P（A）1， 0P（B）1， P（A）P（B）1， 即 02a1， 04a51， 3a31， 解得5 4a 4 3. 14甲袋中有 3 个白球 5 个黑球，乙袋中有 4 个白球 6 个黑球，现从甲袋中随机 取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲 袋中白球没有减少的概率为() A.35 44 B.25 44 C.37 44 D. 5 44 答案A 解析若先从甲袋中取出的是白球，则满足题意的概率为 P13 8 5 11 15 88

31、；若先 从甲袋中取出的是黑球，则满足题意的概率为 P25 8，易知这两种情况不可能同 时发生，故所求概率为 PP1P215 88 5 8 35 44. 15如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中乙的 一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_ 答案 4 5 解析设被污损的数字为 x，则 x 甲1 5(8889909192)90， x 乙1 5(8383879990 x)， 若x 甲x 乙，则 x8. 若x 甲x 乙，则 x 可以为 0，1，2，3，4，5，6，7， 故 p 8 10 4 5. 16某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39，32， 33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概率是_ 答案 3 5 13 15 解析“至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于 至少 2 个小组的概率为 p 111078 6788101011 3 5. “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”，其对立事件是“3 个小 组” 故他属于不超过 2 个小组的概率是 p1 8 6788101011 13 15.