第7节　抛物线及其方程.docx

1、第 7 节抛物线及其方程 知识梳理 1抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线， 其中定点F称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线. 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y22px(p0) y2 2px(p0) x22py(p0) x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 性 质 顶点O(0，0) 对称轴y0 x0 焦点 F p 2，0F p 2，0F 0，p 2F 0，p 2 离心率e1 准线方 程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围x

2、0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 开口方 向 向右向左向上向下 1通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦 2抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0的距离|PF|x0p 2，也称 为抛物线的焦半径 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线() (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线， 且其焦点坐标是 a 4，0， 准线方程是 xa 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形() (4)若直线与抛物线只有一

3、个交点，则直线与抛物线一定相切() (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)当定点在定直线上时， 轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线， 而 非抛物线 (2)方程 yax2(a0)可化为 x21 ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 0， 1 4a ，准线方程是 y 1 4a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切 2(多选题)顶点在原点，且过点 P(2，3)

4、的抛物线的标准方程是() Ay29 2x By29 2x Cx24 3y Dx24 3y 答案AC 解析设抛物线的标准方程是 y2kx 或 x2my， 代入点 P(2， 3)， 解得 k9 2， m4 3，所以 y 29 2x 或 x 24 3y. 3抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为_ 答案2 解析设 P(x1，y1)，则|PF|x125，得 x13，y12 6.故满足条件的点的 个数为 2. 4(2020全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点 的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p() A2B3C6D9 答案C 解析

5、设 A(x，y)，由抛物线的定义知，点 A 到准线的距离为 12，即 xp 212. 又因为点 A 到 y 轴的距离为 9，即 x9， 所以 9p 212，解得 p6.故选 C. 5.(2020北京卷)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQl 于 Q.则线段 FQ 的垂直平分线() A.经过点 OB.经过点 P C.平行于直线 OPD.垂直于直线 OP 答案B 解析不妨设抛物线的方程为 y22px(p0)，P(x0，y0)(x00)，则 Q p 2，y 0 ， F p 2，0，直线 FQ 的斜率为y0 p ，从而线段 FQ 的垂直平分线的

6、斜率为 p y0，又线 段 FQ 的中点为 0，y0 2 ，所以线段 FQ 的垂直平分线的方程为 yy0 2 p y0(x0)， 即 2px2y0yy200，将点 P 的横坐标代入，得 2px02y0yy200，又 2px0y20， 所以 yy0，所以点 P 在线段 FQ 的垂直平分线上，故选 B. 6(2021昆明诊断)已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物 线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案1，1 解析由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物 线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0

7、时，显然满足题意；当 k0 时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因 此 k 的取值范围是1，1 考点一抛物线的定义及标准方程 1顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点 的抛物线的标准方程为() Ax212y 或 y216xBx212y 或 y216x Cx29y 或 y212xDx29y 或 y212x 答案A 解析对于直线方程 3x4y120， 令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4，0) 当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为 x22py(p0)， 则p 23，所以 p6， 此时抛物线的

8、标准方程为 x212y； 当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为 y22px(p0)， 则p 24，所以 p8， 此时抛物线的标准方程为 y216x. 故所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x. 2(多选题)(2021青岛一模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 l 的 斜率为 3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与 抛物线的准线交于点 D，若|AF|8，则以下结论正确的是() Ap4B.DF FA C|BD|2|BF|D|BF|4 答案ABC 解析 如图，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E，

9、M，连接 EF. 设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|p，由直线 l 的斜率为 3，可得其倾斜 角为 60.AEx 轴， EAF60.由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF 为等边三角形， PEF30， |AF|EF|2|PF|2p8，得 p4，A 正确 |AE|2|PF|，PFAE，F 为 AD 的中点，则DF FA ，B 正确 又DAE60，ADE30， |BD|2|BM|2|BF|，C 正确 由 C 选项知|BF|1 3|DF| 1 3|AF| 8 3，D 错误故选 ABC. 3 动圆过点(1， 0)， 且与直线 x1 相切， 则动圆的圆心的轨迹方程为_ 答案y24x

10、 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的 距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x. 感悟升华1.应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)抛物线 焦点到准线的距离为 p. 2求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口 方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一 个条件就可以确定抛物线的标准方程 考点二抛物线的几何性质 【例 1】(1)(2020全国卷)设O为坐标原点， 直线x2 与抛物线C： y22px(p0) 交于 D，E

11、 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为() A. 1 4，0B. 1 2，0C(1，0)D(2，0) (2)(多选题)(2021济南模拟)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若ABD90， 且ABF 的面积为 9 3，则() A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案(1)B(2)BCD 解析(1)将 x2 与抛物线方程 y22px 联立， 可得 y2 p， 不妨设 D(2， 2 p)， E(2，2 p)，由 ODOE，可得O

12、D OE 44p0，解得 p1，所以抛物线 C 的方程为 y22x.其焦点坐标为 1 2，0.故选 B. (2) 由题意，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若ABD90，由抛 物线定义，可得|AB|AF|BF|，所以ABF 是等边三角形，所以FBD30， 因为 SABF 3 4 |BF|29 3， 所以|BF|6， 又焦点 F 到准线的距离为 p|BF|sin30 3，则抛物线方程为 y26x，则 B，C，D 正确，A 错误故选 BCD. 感悟升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、 直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此

13、【训练 1】(2020长春质量监测)过抛物线 C：x22py(p0)的焦点 F 作直线与该 抛物线交于 A，B 两点，若 3|AF|BF|，O 为坐标原点，则|AF| |OF|( ) A.4 3 B.3 4 C4D.5 4 答案A 解析由题意，知 F 0，p 2 ，准线 l：yp 2. 作 AEl 于点 E，BGl 于点 G，过点 A 作 ADBG 于点 D，交 y 轴于点 H，设 |AF|x，则|BF|3x. 由抛物线的定义，知|AE|AF|x，|BG|BF|3x，|AB|x3x4x，|BD|3x x2x，|FH|px. 由AHFADB，得|AF| |AB| |FH| |BD|，即 x 4x

14、 px 2x ，解得 x2 3p，所以 |AF| |OF| 2 3p p 2 4 3， 故选 A. 考点三与抛物线有关的最值问题 角度 1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题 【例 2】点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 A(2，1)为平面内定点，F 为抛物线 焦点，则： (1)|PA|PF|的最小值为_； (2)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_ 答案(1)3(2) 22 解析(1)如图 1，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从而 最小值为 A 到准线的距离为 3. (2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|PF|有

15、最小值为 |AF| 2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|PF|有最大 值为|AF| 2.故|PA|PF|最小值为 2，最大值为 2. 感悟升华1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点 的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题 2到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值 角度 2到点与准线的距离之和的最值问题 【例 3】设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_ 答案5 解析如图， 易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x1，由抛物线的定义知

16、点 P 到直线 x 1 的距离等于点 P 到 F 的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使 点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与 抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 1（1）2（01）2 5. 感悟升华解决到点与准线的距离之和的最值问题， 先将抛物线上的点到准线的 距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解 角度 3动弦中点到坐标轴距离的最短问题 【例 4】 已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB， 则 AB 的中点到 x 轴的最 短距离为() A.3 4 B.3 2 C1D2 答

17、案D 解析由题意知，抛物线的准线 l：y1，过点 A 作 AA1l 交 l 于点 A1，过点 B 作 BB1l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1l 交 l 于点 M1， 则|MM1|AA1|BB1| 2 .因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)， 即|AF|BF|6， 所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点 M 到 x 轴的距离 d2，故选 D. 感悟升华解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半， 再根据 三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解 角度 4焦点弦中的距离之和的最

18、小问题 【例 5】已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 答案2 解析由题意知 F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取 得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB| 2p4 时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2. 感悟升华过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径， 通 径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则 可以用通径最短求最值 角度 5到定直线的距离的最小问

19、题 【例 6】抛物线 y4x2上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是 _ 答案 1 2，1 解析法一设与 y4x5 平行的直线 y4xb 与 y4x2相切，将 y4xb 代入 y4x2，得 4x24xb0. 由1616b0 得 b1，代入得 x1 2， 所求点为 1 2，1. 法二设该点坐标为 A(x0， y0)， 那么有 y04x20.设点 A 到直线 y4x5 的距离为 d， 则 d|4x 0y05| 421 1 17|4x 2 04x05| 1 17|4x 2 04x05| 1 17|4 x01 2 2 4|. 当且仅当 x01 2时，d 有最小值， 将 x01 2代入 y4

20、x 2解得 y01. 故 A 点坐标为 1 2，1. 感悟升华抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可 以利用单变量设点利用函数思想求最值 【训练 2】 (1)若在抛物线 y24x 上存在一点 P，使其到焦点 F 的距离与到 A(2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为() A. 1 4，1B. 1 4，1 C(2，2 2)D(2，2 2) (2)(2021河南六市一模)已知点 M 是抛物线 x24y 上的一动点，F 为抛物线的焦 点，A 是圆 C：(x1)2(y4)21 上一动点，则|MA|MF|的最小值为() A3B4C5D6 答案(1)A(2)B 解析(1)如图， y2

21、4x，p2，焦点坐标为(1，0)依题意可知当 A，P 及 P 到准线的 垂足三点共线时，点 P 与点 F、点 P 与点 A 的距离之和最小，故点 P 的纵坐标 为 1.将 y1 代入抛物线方程求得 x1 4，则点 P 的坐标为 1 4，1.故选 A. (2)作 MP 垂直于抛物线的准线，垂足为 P，利用抛物线的定义知|MP|MF|， 当 M、A、P、C 四点共线时，|MA|MF|的值最小， 此时 CMx 轴， 则(|MA|MF|)min|CP|1514. 考点四直线与抛物线的综合问题 【例 7】(2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为

22、A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求直线 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 解设直线 l 的方程为 y3 2xt，A(x 1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0，故|AF|BF|x1x23 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 其中144(12t)0，则 x1x212（t1） 9 . 从而12（t1） 9 5 2，得 t 7 8(满足0) 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3 PB可得 y13y2. 由 y3 2xt， y23x

23、可得 y22y2t0，其中48t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3. 所以 A(3，3)，B 1 3，1，故|AB|4 13 3 . 感悟升华1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似， 一般要用到根与系数的关系 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物 线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公 式 3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采 用“设而不求”、“整体代入”等解法 提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解

24、【训练 3】(2021汉中模拟)已知点 M 为直线 l1：x1 上的动点，N(1，0)，过 M 作直线 l1的垂线 l，l 交 MN 的中垂线于点 P，记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 l2：ykxm(k0)与圆 E：(x3)2y26 相切于点 D，与曲线 C 交 于 A，B 两点，且 D 为线段 AB 的中点，求直线 l2的方程 解(1)由已知可得，|PN|PM|， 即点 P 到定点 N 的距离等于它到直线 l1的距离，故点 P 的轨迹是以 N 为焦点， l1为准线的抛物线， 曲线 C 的方程为 y24x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(

25、x0，y0)， 由 ykxm， y24x， 得 k2x2(2km4)xm20， x1x242km k2 ，x0 x1x2 2 2km k2 ， y0kx0m2 k，即 D 2km k2 ，2 k ， 直线 l2与圆 E：(x3)2y26 相切于点 D， |DE|26，且 DEl2， 从而 2km k2 3 2 2 k 2 6，kDEk1， 即 2km k2 32， 2km k2 3 2 2 k 2 6， 整理可得 2 k 2 2，即 k 2， m0， 故直线 l2的方程为2xy0 或2xy0. 抛物线的几个“二级结论”的应用 抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解

26、题 时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下： 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2p 2 4 . (2)y1y2p2. (3)|AB|x1x2p 2p sin2(是直线 AB 的倾斜角) (4) 1 |AF| 1 |BF| 2 p为定值(F 是抛物线的焦点) 【例 1】过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF| 2|BF|，则|AB|等于() A4B.9 2 C5D6 答案B 通法易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1) 由 yk（x1） ， y24x

27、 得 k2x2(2k24)xk20， 得 xAxB1， 因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)， 即 xA2xB1， 由解得 xA2，xB1 2， 所以|AB|AF|BF|xAxBp9 2. 优解法一 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图，设 A，B 在准线上的射影分别为 D， C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos|AE| |AB| 1 3，所以 tan2 2.则 sin 28cos2，sin28 9.又 y 24x， 知 2p4，故利用弦长公式|

28、AB| 2p sin2 9 2. 法二因为|AF|2|BF|， 所以 1 |AF| 1 |BF| 1 2|BF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p1， 解得|BF| 3 2， |AF|3， 故|AB|AF|BF|9 2. 【例 2】设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为() A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 答案D 通法由已知得焦点坐标为 F 3 4，0，因此直线 AB 的方程为 y 3 3 x3 4 ，即 4x 4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y

29、90， 故|yAyB| （yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB1 2|OF|y AyB|1 2 3 46 9 4. 优解由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB| 2p sin2 3 sin23012. 原点到直线 AB 的距离 d|OF|sin303 8， 故 SAOB1 2|AB|d 1 212 3 8 9 4. 【例 3】如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其 准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为() A5B6C.16 3 D.20 3 答案C 通法 如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点

30、 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线的定义知， |AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2， 所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2x 114，所以 x13，可得 y12 3， 所以 A(3，2 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k 2 3 31 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 3x210 x30，所以 x1x2 10 3 ，|AB|x1x2p16 3 .故选 C. 优解法一设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|

31、x1p 2x 114，所以 x13，又 x1x2p 2 4 1，所以 x21 3，所以|AB|x 1x2p31 32 16 3 . 法二因为 1 |AF| 1 |BF| 2 p，|AF|4，所以|BF| 4 3，所以|AB|AF|BF|4 4 3 16 3 . 思维升华解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数 学抽象核心素养 A 级基础巩固 一、选择题 1抛物线 x21 2y 的焦点到准线的距离是( ) A2B1C.1 2 D.1 4 答案D 解析抛物线标准方程 x22py(p0)中 p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距 离，又 p1 4.故选 D. 2若抛物线 yax2

32、的焦点坐标是(0，1)，则 a() A1B.1 2 C2D.1 4 答案D 解析因为抛物线的标准方程为 x21 ay， 所以其焦点坐标为 0， 1 4a ， 则有 1 4a1， a1 4.故选 D. 3(2021衡水调研)若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距 离分别为 10 和 6，则抛物线的方程为() Ay24xBy236x Cy24x 或 y236xDy28x 或 y232x 答案C 解析因为抛物线 y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设 该点为 P，则 P(x0，6)因为 P 到抛物线的焦点 F p 2，0的距离为 10，所以由 抛物线的定

33、义得 x0p 210 .因为 P 在抛物线上，所以 362px0.由 解得 p2，x09 或 p18，x01，则抛物线的方程为 y24x 或 y236x. 4(2020江西省五校协作体联考)过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线相交于点 M，若|MN|AB|，则直线 l 的倾斜角为() A15B30C45D60 答案B 解析分别过 A，B，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A，B，N，由抛物 线的定义知|AF|AA|， |BF|BB|， |NN|1 2(|AA|BB|)

34、1 2|AB|， 因为|MN|AB|， 所以|NN|1 2|MN|，所以MNN60，即直线 MN 的倾斜角为 120，又直线 MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30.故选 B. 5已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到 直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是() A.3 5 5 B2C.11 5 D3 答案B 解析由题可知 l2： x1 是抛物线 y24x 的准线， 设抛物线的焦点为 F(1， 0)， 则动点 P 到 l2的距离等于|PF|， 则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值， 即

35、焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406| 5 2. 6 (多选题)(2021烟台调研)已知 F 是抛物线 C： y216x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则() AC 的准线方程为 x4 BF 点的坐标为(0，4) C|FN|12 D三角形 ONF 的面积为 16 2(O 为坐标原点) 答案ACD 解析如图， 不妨设点 M 位于第一象限， 设抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F， 作 MBl 于点 B， NAl 于点 A. 由抛物线的解析式可得准线方程为 x4，F 点的坐标为(4，0)，A 正确，B 错

36、 误故|AN|4，|FF|8，在直角梯形 ANFF中，中位线|BM|AN|FF| 2 6， 由抛物线的定义有|MF|MB|6，结合题意，有|MN|MF|6， 故|FN|FM|NM|6612，C 正确，而|ON| 122428 2， SONF1 28 2416 2，D 正确 二、填空题 7(2020新高考山东卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交 于 A，B 两点，则|AB|_ 答案 16 3 解析由题意得， 抛物线焦点为 F(1，0)， 设直线 AB 的方程为 y 3(x1) 由 y 3（x1） ， y24x， 得 3x210 x30. 设 A(x1，y1)，B(x2

37、，y2)， 则 x1x210 3 ， 所以|AB|x1x2216 3 . 8如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位 下降 1 米后，水面宽_米 答案2 6 解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0) 由题意将点 A(2，2)代入 x22py，得 p1，故 x22y.设 B(x，3)，代入 x22y 中，得 x 6，故水面宽为 26米 9(2021重庆诊断)设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则|FA |FB|FC|的值为_ 答案3 解析依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2

38、)，C(x3，y3)，又焦点 F 1 2，0，所以 x1 x2x331 2 3 2，则|FA |FB|FC| x11 2 x21 2 x31 2 (x1x2x3) 3 2 3 2 3 23. 三、解答题 10如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1，2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率 解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0) 点 P(1，2)在抛物线上，222p1，解得 p2. 故所求抛物线的方程是 y2

39、4x，准线方程是 x1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 则 kPAy12 x11(x 11)，kPBy 22 x21(x 21)， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y214x1， y224x2， y12 1 4y 2 11 y22 1 4y 2 21 ，y12(y22) y1y24. 由得，y21y224(x1x2)， kABy1y2 x1x2 4 y1y21(x 1x2) 11(2020安徽六校联考)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 A(a，3)，点 P 为抛物线

40、 C 上的动点 (1)若|PA|PF|的最小值为 5，求实数 a 的值； (2)设线段 OP 的中点为 M，其中 O 为坐标原点，若MOAMAOAOF， 求OPA 的面积 解(1)由题意知 F(1，0)，当线段 AF 与抛物线 C 没有公共点，即 a9 4时，设点 P 在抛物线准线 x1 上的射影为 D，则 D，P，A 三点共线时，|PA|PF|有最 小值，为|AD|a(1)5，此时 a4； 当线段 AF 与抛物线 C 有公共点，即 a9 4时， 则 A，P，F 三点共线时，|PA|PF|有最小值，为|AF| （a1）2325，此 时 a3. 综上，实数 a 的值为3 或 4. (2)因为MO

41、AMAOAOF，所以 MAx 轴且|MO|MA|MP|，设 M(t， 3)，则 P(2t，6)，代入抛物线 C 的方程得 2t9，于是|MO|MA|MP|3 13 2 ， 所以 SOPA1 2|MA|y P|9 13 2 . B 级能力提升 12(2020河南名校联考)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，半径为 3 的圆 C 过点 O，F，且与抛物线的准线 l 相切，则 p 的值为() A1B2C4D8 答案C 解析设圆的方程为(xa)2(yb)29. 半径为 3 的圆 C 过点 O、F，且与抛物线的准线 l 相切， a2b29， p 2a 2 b29， 3ap 2 p 2aa， a3p

42、2 p4.故选 C. 13(多选题)(2021青岛质检)设 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，直线 l 过点 F， 且与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是() A|AB|4 B|OA|OB|8 C若点 P(2，2)，则|PA|AF|的最小值是 3 DOAB 面积的最小值是 2 答案ACD 解析由题意知 F(1，0)，不妨设 A 在第一象限， (1)若直线 l 无斜率，则 A(1，2)，B(1，2)， 则|AB|4，|OA|OB|2|OA|2 5，SOAB1 2412，显然 B 错误； (2)若直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为

43、 yk(x1)，显然 k0， 联立方程组 yk（x1） ， y24x， 消元得：k2x2(2k24)xk20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 24 k2， |AB|x1x224 4 k24， 原点 O 到直线 l 的距离 d |k| k21， SOAB1 2|AB|d 1 2 44 k2 |k| k21 21 1 k22， 综上，|AB|4，SOAB2，故 A 正确，D 正确 过点 A 向准线作垂线，垂足为 N， 则|PA|AF|PA|AN|， 又 P(2，2)在抛物线右侧，故当 P，A，N 三点共线时，|PA|AF|取得最小值 3， 故 C 正确故选

44、ACD. 14已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切 点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边 形 ADBE 的面积 (1)证明设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x212y1. 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1， 故 y11 2 x1t x1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)解由

45、(1)得直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx1 2， yx 2 2 可得 x22tx10. 于是 x1x22t，x1x21， y1y2t(x1x2)12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 （x1x2）24x1x22(t21) 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2 t21. 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|(d 1d2)(t23) t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 因为EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行， 所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1. 当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.