第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

1、第 4 节直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 1直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的 距离为 d，由 （xa）2（yb）2r2， AxByC0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为. 位置关系相离相切相交 图形 量化 方程 观点 0 几何 观点 drdrdr 2.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 r1，r2，两圆圆心间的距离为 d，则两圆的位置关系可用下 表表示： 位置关系外离外切相交内切内含 图形 量的关系 dr1r2dr1r2 |r1r2|d r1r2 d|r1r2|d|r1r

2、2| 公切线条数43210 1圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2. 2直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法： 运用弦心距 d、 半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形， 计算弦长|AB| 2 r2d2. (2)代数法：设直线 ykxm 与圆 x2y2DxEyF0 相交于点 M，N，将直 线方程代

3、入圆的方程中， 消去 y， 得关于 x 的一元二次方程， 求出 xMxN和 xMxN， 则|MN| 1k2 （xMxN）24xMxN. 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1) “k1” 是 “直线 xyk0 与圆 x2y21 相交” 的必要不充分条件 () (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切() (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交() (4)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O， P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2.() 答案(1)(2)(3)(4)

4、 解析(1) “k1” 是 “直线 xyk0 与圆 x2y21 相交” 的充分不必要条件； (2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含 2 直线l： 3xy60与圆x2y22x4y0相交于A， B两点， 则|AB|_ 答案10 解析由 x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1， 2)，半径 r 5.又圆心(1，2)到直线 3xy60 的距离为 d|326| 91 10 2 ， 由 |AB| 2 2 r2d2，得|AB|210，即|AB| 10. 3圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公共弦长为_ 答案2 2 解析由 x2y240， x2

5、y24x4y120得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆 x 2 y24 的圆心到直线 xy20 的距离为 2 2 2.由勾股定理得弦长的一半为 42 2，所求弦长为 2 2. 4(2020菏泽模拟)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值 范围是() A(1，1)B(0，1) C(，1)(1，)Da1 答案A 解析因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)24，所以1a0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA，OB 为圆的切线且AOB60， 此时 a 取得最大值， 此时AOC30， 有|OC|2|AC|4， 即(30)2(a0)216， 解得 a 7，

6、故实数 a 的最大值是 7，故选 C. 考点四圆与圆的位置关系 【例 3】已知两圆 C1：x2y22x6y10 和 C2：x2y210 x12y450. (1)求证：圆 C1和圆 C2相交； (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 (1)证明圆 C1的圆心 C1(1，3)，半径 r1 11，圆 C2的圆心 C2(5，6)，半径 r2 4，两圆圆心距 d|C1C2|5，r1r2 114，|r1r2|4 11，所以|r1 r2|d3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条故选 D. A 级基础巩固 一、选择题 1直线 y3 4x 5 2和圆 x 2y24x2y20

7、0( ) A相交且过圆心B相交但不过圆心 C相离D相切 答案A 解析将圆的方程配方，得(x2)2(y1)225，圆心为(2，1)，半径 r5， 将(2，1)代入 y3 4x 5 2中，得 3 42 5 21，故直线过圆心，与圆相交故选 A. 2圆 x2y24 与圆(x3)2(y4)249 的位置关系为() A内切B相交C外切D相离 答案A 解析圆 x2y24 的圆心为(0，0)，半径为 2，圆(x3)2(y4)249 的圆心为 (3，4)，半径为 7，圆心距为 3242572(等于两圆半径的差)，所以圆 x2 y24 与圆(x3)2(y4)249 的位置关系是内切故选 A. 3过点 P(1，2

8、)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为() Ay 3 4 By1 2 Cy 3 2 Dy1 4 答案B 解析由题意知，点 P，A，C，B 在以 PC 为直径的圆上，易求得这个圆为(x 1)2(y1)21，此圆的方程与圆 C 的方程作差可得 AB 所在直线的方程为 y 1 2. 4已知过原点的直线 l 与圆 C：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B，且 线段 AB 的中点坐标为 D(2， 2)，则弦长为() A2B3C4D5 答案A 解析将圆 C：x2y26x50 整理，得其标准方程为(x3)2y24，所以圆 C 的圆心坐标为(3，0)，半

9、径为 2.因为线段 AB 的中点坐标为 D(2， 2)，所以|CD| 12 3，所以|AB|2 432.故选 A. 5(多选题)(2021青岛调研)已知直线 l 与圆 C：x2y22x4ya0 相交于 A， B 两点，弦 AB 的中点为 M(0，1)，则下列结论正确的是() A实数 a 的取值范围为 a3 B实数 a 的取值范围为 a5 C直线 l 的方程为 xy10 D直线 l 的方程为 xy10 答案AD 解析若弦 AB 的中点为 M(0，1)，则点 M(0，1)一定在圆内，且方程表示圆， 即 5a0， 141a0得 a3，故 A 正确； 由圆的方程得，圆心坐标为 C(1，2)，又 M(0

10、，1)，则 kCM1，则 kAB1， 由点斜式得，直线 l 的方程为 y1x，即 xy10，故 D 正确 6(2020全国卷)若直线 l 与曲线 y x和圆 x2y21 5都相切，则 l 的方程为 () Ay2x1By2x1 2 Cy1 2x1 Dy1 2x 1 2 答案D 解析易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 ykxb，则 |b| k21 5 5 ， 设直线 l 与曲线 y x的切点坐标为(x0， x0)(x00)， 则 y|xx01 2x 01 2k ， x0kx0b，由可得 b1 2 x0，将 b1 2 x0，k1 2x 01 2代入得 x 01 或 x01 5(舍去)，所以

11、 kb 1 2，故直线 l 的方程为 y 1 2x 1 2. 二、填空题 7 在圆 x2y22x6y0 内， 过点 E(0， 1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD， 则四边形 ABCD 的面积为_ 答案10 2 解析圆的标准方程为(x1)2(y3)210，则圆心(1，3)，半径 r 10，圆心 (1，3)与 E(0，1)距离 （10）2（31）2 5，由题意知 ACBD，且|AC| 2 10，|BD|2 1052 5，所以四边形 ABCD 的面积为 S1 2|AC|BD| 1 2 2 102 510 2. 8(2020海南三模)已知点 P(1，2)和圆 C：x2y2kx2yk20，过点

12、P 作圆 C 的切线有两条，则实数 k 的取值范围是_ 答案 2 3 3 ，2 3 3 解析因为 C：x2y2kx2yk20 为圆，所以 k244k20，解得 2 3 3 k0， 解得 kR， 综上可知2 3 3 k2 3 3 .故 k 的取值范围是 2 3 3 ，2 3 3. 9已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切 于点 A(2，1)，则 m_，r_ 答案25 解析 根据题意画出图形，可知 A(2，1)，C(0，m)，B(0，3)， 则|AB| （20）2（13）2 2 5， |AC| （20）2（1m）2 4（m1）2， |BC|m3|. 直

13、线 2xy30 与圆 C 相切于点 A， BAC90， |AB|2|AC|2|BC|2. 即 204(m1)2(m3)2， 解得 m2. 因此 r|AC| 4（21）2 5. 三、解答题 10已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程； (1)与直线 l1：xy40 平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)过切点 A(4，1) 解(1)设切线方程为 xyb0(b4)， 则|12b| 2 10，b12 5， 切线方程为 xy12 50. (2)设切线方程为 2xym0， 则|22m| 5 10，m5 2， 切线方程为 2xy5 20. (3)kAC21 14

14、 1 3， 过切点 A(4，1)的切线斜率为3， 过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)， 即 3xy110. 11已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 yk

15、x1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x24（1k） 1k2 ，x1x2 7 1k2. x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k） 1k2 8. 由题设可得4k（1k） 1k2 812， 解得 k1，所以 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2. B 级能力提升 12(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，P 为 l 上的动点过点 P 作M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|AB|最小时， 直线 AB 的方程为() A2xy10B2xy10 C2xy10D

16、2xy10 答案D 解析 (x1)2(y1)24，r2， M(1，1)，如图，由题意可知，ABPM， |PM|AB|2S 四边形APBM 2(SPAMSPBM) 2(|PA|PB|)， |PA|PB|，|PM|AB|4|PA|4 |PM|2|AM|24 |PM|24， 当|PM|最小时，|PM|AB|最小， 易知|PM|min 5 41 5， 此时|PA|1，ABl， 设直线 AB 的方程为 y2xb(b2)， 圆心 M 到直线 AB 的距离为 d|3b| 5 ， |AB|4|PA| |PM| 4 5， d2| AB 2| 2 |MA|2， 即（3b） 2 5 4 54，解得 b1 或 b7(

17、舍) 综上，直线 AB 的方程为 y2x1，即 2xy10，故选 D. 13(多选题)(2021南京质检)已知圆 M：x2y2D1xE1yF10 与圆 N：x2 y2D2xE2yF20 的圆心不重合，直线 l：(D1D2)x(E1E2)yF1F20. 下列说法正确的是() A若两圆相交，则 l 是两圆的公共弦所在直线 B直线 l 过线段 MN 的中点 C过直线 l 上一点 P(在两圆外)作两圆的切线，切点分别为 A，B，则|PA|PB| D直线 l 与直线 MN 相互垂直 答案ACD 解析A联立两圆方程得 D1xE1yF1D2xE2yF2整理得(D1D2)x(E1 E2)yF1F20，为两圆的

18、公共弦所在直线，故 A 正确； B设圆 M 的半径为 r1，圆 N 的半径为 r2， M D1 2 ，E1 2 ，N D2 2 ，E2 2 ， 线段 MN 的中点为 D1D2 4 ，E1E2 4，代入直线 l 的方程 得(D1D2) D1D2 4(E1E2) E1E2 4F1F2D 2 1D22 4 E 2 1E22 4 F1 F2D 2 2E224F2 4 D 2 1E214F1 4 r22r21，所以只有当两圆半径相等时才成立， 故 B 错误； C设 P(x0，y0)，则(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20，由切线长定理得：|PA|2 |PM|2D 2 1E214F1 4 x20y2

19、0D1x0E1y0F1，|PB|2|PN|2D 2 2E224F2 4 x20 y20D2x0E2y0F2，所以|PA|2|PB|20，即|PA|PB|，故 C 正确； D因为 M D1 2 ，E1 2 ，N D2 2 ，E2 2 ，所以直线 MN 的斜率 k1E2E1 D2D1，直 线 l 的斜率为 k2D2D1 E1E2 ，则 k1k21，所以 l 与直线 MN 相互垂直，故 D 正 确故选 ACD. 14(2020衡水模拟)已知 A(2，0)，直线 4x3y10 被圆 C：(x3)2(ym)2 13(m3)所截得的弦长为 4 3，且 P 为圆 C 上任意一点 (1)求|PA|的最大值与最

20、小值； (2)圆 C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径 解(1)直线 4x3y10 被圆 C: (x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为 4 3，圆心到直线的距离 d|123m1| 5 （ 13）2（2 3）21. m3，m2， |AC| （32）2（20）2 29， |PA|的最大值与最小值分别为 29 13， 29 13. (2)由(1)可得圆 C 的方程为(x3)2(y2)213，令 x0，得 y0 或 4； 令 y0，得 x0 或6， 圆 C 与坐标轴相交于三点 M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON 为直角三 角形，斜边|MN|2 13，MON 内切圆的半径为462 13 2 5 13.