第2节　函数的单调性与最值.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第2节函数的单调性与最值 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的单调性函数的单调性 (1)单调函数的定义单调函数的定义 增函数增函数减函数减函数 定义定义 一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为D，且，且I D 如果如果对对_x1，x2I，当，当x1x2时，时， 都都有有_，则称则称yf(x)在在I 上是增函数上是增函数 如果如果对对_x1，x2I，当，当x1x2时，都时，都有有_， 则称则称yf(x)在在I上是上是减函数减

2、函数 图像图像 描述描述 自自左向右看图像是上升的左向右看图像是上升的自自左向右看图像是下降的左向右看图像是下降的 f(x1)f(x2) 任意任意 索引 (2)单调区间的定义单调区间的定义 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间I上是增函数或上是增函数或_，那么就说函数，那么就说函数yf(x)在区间在区间I具具 有单调性，区间有单调性，区间I称为函数称为函数yf(x)的单调区间的单调区间. 减函数减函数 索引 2.函数的最值函数的最值 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为D，且，且x0D：如果对任意：如果对任意xD，都有，都有 f(x)_ f(x0)，则称，则称f(x)的最

3、大值为的最大值为f(x0)，而，而x0称为称为f(x)的最大值点；如果的最大值点；如果 对任意对任意xD，都有，都有f(x)_ f(x0)，则称，则称f(x)的最小值为的最小值为f(x0)，而，而x0称为称为f(x) 的最小值点的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为 _. 最值点最值点 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)对于函数对于函数f(x)，xD，若对任意，若对任意x1，x2D，且，且x1x2有有(x1x2)f(x1)f(x2)0， 则函数则函数

4、f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数. () 解析解析此单调区间不能用此单调区间不能用“”连接，故单调递减区间为连接，故单调递减区间为(，0)和和(0，). 索引 (3)对于函数对于函数yf(x)，若，若f(1)0，得，得x4或或x0，得，得2x3， 故函数的定义域为故函数的定义域为(2，3)， 令令tx2x6，则，则ylogt，易知其为减函数，易知其为减函数. 则本题等价于求函数则本题等价于求函数tx2x6在在(2，3)上的单调递减区间上的单调递减区间. A 索引 AD 索引 则则asin 2x2cos 2x4a， 故故C不正确，不正确，D正确正确. 索引 函数的图像如图所示的实线部分

5、，根据图像，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的的 递减区间是递减区间是0，1). 0，1) 索引 1.函数单调性的判断方法有：函数单调性的判断方法有：(1)定义法；定义法；(2)图像法；图像法；(3)利用已知函数的单调性；利用已知函数的单调性； (4)导数法导数法. 2.函数函数yfg(x)的单调性应根据外层函数的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数和内层函数tg(x)的单调性判断，的单调性判断， 遵循遵循“同增异减同增异减”的原则的原则. 感悟升华 索引 考点二函数的最值(值域) / 师生共研师生共研 3 所以所以f(x)在在1，1上单调递减，故上单调递减，故f(x)在在

6、1，1上的最大值为上的最大值为f(1)3. 索引 1 解析解析法一法一在同一坐标系中，在同一坐标系中， 作函数作函数f(x)，g(x)的图像，的图像， 依题意，依题意，h(x)的图像如图所示的实线部分的图像如图所示的实线部分. 易知点易知点A(2，1)为图像的最高点，为图像的最高点， 因此因此h(x)的最大值为的最大值为h(2)1. 索引 当当02时，时，h(x)3x是减函数，是减函数， 因此因此h(x)在在x2时取得最大值时取得最大值h(2)1. 索引 1.求函数最值的三种基本方法：求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值单调性法：先确定函数的单调性，

7、再由单调性求最值. (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等一正二定三相等”的条件后用的条件后用 均值不等式求出最值均值不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值， 求出最值求出最值. 感悟升华 索引 D 因为因为x1， 索引 ACD 解析解析f(3.9)3.93.93.9(4)0.1，f(4.1)4

8、.14.1 4.140.1，A正确；显然正确；显然x1xx，因此，因此0 xx1， f(x)无最大值，但有最小值且最小值为无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，错误，C正确；正确； 索引 考点三函数单调性的应用 / 多维探究多维探究 角度角度1利用单调性比较大小利用单调性比较大小 C 又又log38221.321.440.7， f(40.7)f(21.3)f(log38)，即，即ba3，1log33log35log3273，03 0.2log353 0.20， ， 所以所以f(31.2)f(log35)f(3 0.2)，即 ，即acb. D 索引 角度角度2求解函数不等式求解函数不等式 【

9、例例3】 (1)已已知函数知函数f(x)ln x2x，若，若f(x24)2，则实数，则实数x的取值范围是的取值范围是 _. 解析解析因为函数因为函数f(x)ln x2x在定义域在定义域(0，)上单调递增，上单调递增， 且且f(1)ln 122， 所以由所以由f(x24)2得，得，f(x24)f(1)， 索引 【例例3】 (2)(2021青岛联考青岛联考)已已知定义在知定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x)f(x)，且，且f(x)在在 (，0上单调递减，若不等式上单调递减，若不等式f(ax2)f(1)对于任意对于任意x1，2恒成立，则恒成立，则a 的最大值为的最大值为_. 解析解析由于

10、由于f(x)满足满足f(x)f(x)，可知，可知f(x)的图像关于的图像关于y轴对称，轴对称， f(x)在在(，0上单调递减，上单调递减， f(x)在在0，)上单调递增上单调递增. 根据根据f(x)的图像特征可得的图像特征可得1ax21在在1，2上恒成立，上恒成立， 1 索引 4 解析解析易知易知f(x)在在(，2)上递减，在上递减，在2，)上递增，且上递增，且x222 1， f(x)minf(2)1， 又又af(x)b的解集恰好为的解集恰好为a，b. 必然有必然有a1，此时，此时22 1 2，所以，所以b2. 令令22 x 4，得，得x0，所以，所以a0，于是，于是ba4. 索引 2a0，

11、， 8a32，解得 解得 012 2 0，且函数，且函数f(x)在在(0，)上单调递减，所以上单调递减，所以 f(log34)f(2 )0， a1， （2a）11a， 解得解得3 2 a2bB.ab2D.ab2 解析解析由指数和对数的运算性质可得由指数和对数的运算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令令f(x)2xlog2x，则，则f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增. 又又22blog2b22blog2b122blog2(2b)， 2alog2a22blog2(2b)，即，即f(a)f(2b)， a2b.故选故选B. B 索引 1.破解此类题的关键：一是细审题，盯

12、题眼，如本题的题眼为破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2alog2a 4b2log4b”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进 行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小. 2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学逻辑推理是解决数学 问题最常用、最重要的手段，将题目变形问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22blog2b22blog2(2b)”时要充分借时要充分借 助选

13、项与提供的信息助选项与提供的信息. 素养升华 索引 【训练训练】(2020全国全国卷卷)若若2x2y0 B.ln(yx1)0 D.ln|xy|0 解析解析原已知条件等价于原已知条件等价于2x3 x2y 3 y， ， 设函数设函数f(x)2x3 x. 因为函数因为函数y2x与与y3 x在 在R上均单调递增，上均单调递增， 所以所以f(x)在在R上单调递增上单调递增. 即即f(x)f(y)，所以，所以x0，所以，所以A正确，正确，B不正确不正确. 因因 为为|xy|与与1的大小不能确定，所以的大小不能确定，所以C，D不正确不正确. A 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112

14、131407080910110203040506索引 一、选择题一、选择题 1.(2021青岛一中月考青岛一中月考)函函数数f(x)log(x24)的单调递增区间为的单调递增区间为 () A.(，2)B.(2，) C.(，0) D.(0，) 解析解析f(x)的定义域为的定义域为(，2)(2，)， 令令tx24，易知，易知tx24在在(，2)上单调递减，上单调递减， 又又ylogt是减函数，是减函数， f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，2). A 0112131407080910110203040506索引 解析解析满足条件的函数满足条件的函数f(x)为偶函数，且在为偶函数，且在(0，

15、)上单调递增，上单调递增， f(x)x 1为奇函数， 为奇函数，f(x)2x 1非奇非偶， 非奇非偶， f(x)cos x为周期函数，且在为周期函数，且在(0，)上不单调，上不单调， A，C，D项均不正确，项均不正确， 只有只有f(x)log2|x|为偶函数，且在为偶函数，且在(0，)上递增上递增. B 0112131407080910110203040506索引 解析解析对对f(x)3x2cos x求导得求导得f(x)32sin x， 则有则有f(x)32sin x0在在R上恒成立，上恒成立， 则则f(x)在在R上为增函数上为增函数. 所以所以bc0的解集为的解集为_. 解析解析由由f(x)

16、f(x)，知，知f(x)exe x为奇函数， 为奇函数， 又易证在定义域又易证在定义域R上，上，f(x)是增函数，是增函数， 则不等式则不等式f(2x1)f(x2)0等价于等价于f(2x1)f(x2)f(x2)， 0112131407080910110203040506索引 8.函数函数y|x|(1x)的单调递增区间是的单调递增区间是_. 解析解析y|x|(1x) 函数的大致图像如图所示函数的大致图像如图所示. 0112131407080910110203040506索引 9.(2021山东师大附中调研山东师大附中调研)已已知函数知函数f(x)e|x a|(a为常数 为常数)，若，若f(x)在

17、区间在区间1，) 上是增函数，则实数上是增函数，则实数a的取值范围是的取值范围是_. (，1 当当xa时，时，f(x)单调递增，单调递增， 当当xa时，时，f(x)单调递减，单调递减， 又又f(x)在在1，)上是增函数，上是增函数， 所以所以a1. 0112131407080910110203040506索引 三、解答题三、解答题 10.函函数数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1). (1)求方程求方程f(x)0的解；的解； f(x)的定义域为的定义域为(3，1). 则则f(x)loga(x22x3)，x(3，1)， 令令f(x)0，得，得x22x31， 经检验，均满足原方程成立

18、经检验，均满足原方程成立. 故故 f(x)0 的解为的解为 x1 3. 0112131407080910110203040506索引 10.函函数数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1). (2)若函数若函数f(x)的最小值为的最小值为1，求，求a的值的值. 解解由由(1)得得f(x)loga(x1)24，x(3，1)， 由于由于0(x1)244，且，且a(0，1)， loga(x1)24loga4， 0112131407080910110203040506索引 (2)f(x)在在R上单调递增上单调递增.证明如下：证明如下： f(x)的定义域为的定义域为R， 任取任取x1，x2R，

19、且，且x1x2， 0112131407080910110203040506索引 y2x在在R上单调递增且上单调递增且x1x2， 02x12x2， 2x12x20，2x210. f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2). f(x)在在R上单调递增上单调递增. 0112131407080910110203040506索引 解解f(x)是奇函数，是奇函数， f(x)f(x)， f(ax)f(2)，即为，即为f(x)f(2)， 又又f(x)在在R上单调递增，上单调递增， x0. a3xx2. 令令h(x)3xx2，x2，). h(x)maxh(2)2. 故故a2时，恒有时，恒有f(x)0. 故故a的取值范围为的取值范围为(2，). INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束