第5节 空间向量及其应用.docx

1、第第 5 节节空间向量及其应用空间向量及其应用 知识梳理 1.空间向量的有关概念 名称定义 空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量大小相等、方向相同的向量 相反向量大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个 向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平 移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果 a0 且 ba，则存在唯一的实数，使得 ba. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条件 是，存在唯一的

2、实数对(x，y)，使 cxayb. 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果 A，B，C 三点不共 线，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使AP xAB yAC . (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间中的 任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc.其中， a，b，c称为空间向量的一组基底. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是0，若a，b

3、 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. (2)两向量的数量积：非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(a)b(ab)； (2)交换律：abba； (3)分配律：(ab)cacbc. 5.空间向量的坐标表示及其应用 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2). 向量表示坐标表示 数量积abx1x2y1y2z1z2 共线ba(a0，R)x2x1， y2y1， z2z1 垂直 ab0 (a0，b0) x1x2y1y2z1z20 模|a|x21y21z21 夹角 a，b (a0，b0) cosa，b x1x2y1y2z1z2

4、 x21y21z21x22y22z22 6.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果 l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量， 且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合，则称 v 为直线 l 的一个方向向 量. (2)平面的法向量：如果是空间中的一个平面，n 是空间的一个非零向量，且表 示 n 的有向线段所在的直线与平面垂直，则称 n 为平面的一个法向量，此时 也称 n 与平面垂直，记作 n. 7.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线 l1，l2的方向向量分别 为 v1，v2 l1l2v1v2v1v2 l1l2v1v2v1v20 直线 l 的方向

5、向量为 v，平lvnvn0 面的法向量为 n lvnnv 平面，的法向量分别为 n1，n2 n1n2n1n2 n1n2n1n20 1.在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA xOB yOC (其中 xy1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC (其中 x yz1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即 abba，a(bc)abac 成立，但 不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.在利用MN xAB y AC证明 MN平面 ABC 时，必须说明 M 点或 N 点不在平 面 AB

6、C 内. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)若直线 a 的方向向量和平面的法向量平行，则 a.() (3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.() (4)若 ab0，则a，b是钝角.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)若 a，b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，不能构成空间一个基底； (4)若a，b，则 ab0，故不正确. 2.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1 与 B1D1的交点.若AB

7、 a， AD b， AA1 c， 则下列向量中与BM 相等的向量是() A.1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C.1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 答案A 解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB )c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 3.正四面体ABCD的棱长为2， E， F分别为BC， AD的中点， 则EF的长为_. 答案2 解析|EF |2EF2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(ECCD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120021cos 120) 2. 所以|EF |

8、 2，所以 EF 的长为 2. 4.(多选题)(2021长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是() A.a(1，2，2)，b(2，4，4) B.c(1，0，0)，d(3，0，0) C.e(2，3，0)，f(0，0，0) D.g(2，3，5)，h(16，24，40) 答案ABC 解析对于 A，有 b2a，所以 a 与 b 是平行向量； 对于 B，有 d3c，所以 c 与 d 是平行向量； 对于 C，f 是零向量，与 e 是平行向量； 对于 D，不满足 gh，所以 g 与 h 不是平行向量. 5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1， CACC12CB， 则直线BC1与直线

9、AB1夹角的余弦值为() A. 5 5 B. 5 3 C.2 5 5 D.3 5 答案A 解析不妨令 CB1，则 CACC12，可得 O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2， 0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)， BC1 (0，2，1)，AB1 (2，2，1)， cosBC1 ， AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 41 5 9 1 5 5 5 0. BC1 与AB1 的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角， 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 5 5 . 6.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 3 4OA 1 8OB tOC ，若 P

10、， A，B，C 四点共面，则实数 t_. 答案 1 8 解析因为OP 3 4OA 1 8OB tOC ，且 P，A，B，C 四点共面，所以根据空间向 量共面的条件可知3 4 1 8t1，解得 t 1 8. 考点一空间向量的运算及共线、共面定理 1.(多选题)(2020威海调研)如图所示，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 AP 3PN，ON 2 3OM ，设OA a，OB b，OC c，则下列等式 成立的是() A.OM 1 2b 1 2c B.AN 1 3b 1 3ca C.AP 1 4b 1 4c 3 4a D.OP 1 4a

11、 1 4b 1 4c 答案BD 解析对于 A，利用向量的平行四边形法则，OM 1 2OB 1 2OC 1 2b 1 2c，A 错 误； 对于 B， 利用向量的平行四边形法则和三角形法则， 得AN ON OA 2 3OM OA 2 3 1 2OB 1 2OC OA 1 3OB 1 3OC OA 1 3b 1 3ca，B 正确； 对于 C，因为点 P 在线段 AN 上，且 AP3PN，所以AP 3 4AN 3 4 1 3b 1 3ca 1 4b 1 4c 3 4a，C 错误； 对于 D，OP OA AP a1 4b 1 4c 3 4a 1 4a 1 4b 1 4c，D 正确，故选 BD. 2.(多

12、选题)(2021武汉质检)下列说法中正确的是() A.|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 B.若AB ，CD 共线，则 ABCD C.A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若OP 3 4OA 1 8OB 1 8OC ，则 P， A，B，C 四点共面 D.若 P，A，B，C 为空间四点，且有PA PBPC(PB，PC不共线)，则1 是 A，B，C 三点共线的充要条件 答案CD 解析由|a|b|ab|，可得向量 a，b 的方向相反，此时向量 a，b 共线，反 之，当向量 a，b 同向时，不能得到|a|b|ab|，所以 A 不正确； 若AB ，CD 共线，则 ABCD 或 A，B，C，

13、D 四点共线，所以 B 不正确； 由 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若OP 3 4OA 1 8OB 1 8OC ，因为3 4 1 8 1 81，可得 P，A，B，C 四点共面，故 C 正确； 若 P，A，B，C 为空间四点，且有PA PBPC(PB，PC 不共线)，当1 时，即1，可得PA PC(PBCP)，即CACB，所以 A，B，C 三点共 线，反之也成立，即1 是 A，B，C 三点共线的充要条件，所以 D 正确. 3.在空间四边形 ABCD 中，若AB (3，5，2)，CD (7，1，4)，点 E， F 分别为线段 BC，AD 的中点，则EF 的坐标为( ) A.(2，3，

14、3)B.(2，3，3) C.(5，2，1)D.(5，2，1) 答案B 解析因为点 E， F 分别为线段 BC， AD 的中点， 设 O 为坐标原点， 所以EF OF OE ，OF 1 2(OA OD )， OE 1 2(OB OC ). 所以EF 1 2(OA OD )1 2(OB OC )1 2(BA CD ) 1 2(3，5，2)(7，1，4) 1 2(4，6，6)(2，3，3). 4.已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VAVBVCVD，VP 1 3VC ，VM 2 3VB ，VN2 3VD . 则 VA 与平面 PMN 的位置关系是_. 答案平行 解析如图所示，设VA a，

15、VBb， VC c， 则VD acb， 由题意知PM 2 3b 1 3c， PN 2 3VD 1 3VC 2 3a 2 3b 1 3c. 因此VA 3 2PM 3 2PN ， VA ， PM ，PN 共面. 又VA平面 PMN，VA平面 PMN. 感悟升华1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量， 并用它们表示出指定的向 量，是用向量解决立体几何问题的基本要求. (2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的 几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点 O，OP xOA yOB ，若 xy1，则点 P，A，B 共线. (2)

16、证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法. MP xMA yMB . 对空间任一点 O，OP OM xMA yMB . 考点二空间向量的数量积及应用 【例 1】如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线 长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点. (1)求证：EGAB； (2)求 EG 的长； (3)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值. (1)证明设AB a，ACb，AD c， 由题意知EG 1 2(AC AD AB )1 2(bca)， 所以EG AB 1 2(abaca 2) 1 2 111 211 1 210. 故EG AB ，即 EGAB. (2

17、)解由(1)知EG 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2，则|EG | 2 2 ，即 EG 的长为 2 2 . (3)解AG 1 2(AC AD )1 2b 1 2c， CE CAAEb1 2a， cosAG ， CE AG CE |AG |CE | 1 2b 1 2c b1 2a 1 2b 1 2c 2 1 2ab 2 1 2 3 2 3 2 2 3， 由于异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3. 感悟升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以

18、利用垂直关系， 通过向量共线确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a| a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练 1】如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平 行四边形， 以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1， 且两两夹角为 60. (1)求 AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求 BD1与 AC 夹角的余弦值. (1)解记AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， abbcca1 2. |AC1 |2(abc)2a2b2c22(abbcca)

19、 1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC 1| 6，即 AC1的长为 6. (2)证明AC1 abc，BD ba， AC1 BD (abc)(ba) ab|b|2bc|a|2abac bcac |b|c|cos 60|a|c|cos 600. AC1 BD ，AC1BD. (3)解BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3， BD1 AC (bca)(ab) b2a2acbc1. cosBD1 ， AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 . AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 . 考点三利用空间向量证明平行、垂直 【例 2】如图，在四棱锥 PABCD

20、中，PA底面 ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点.证明： (1)BEDC； (2)BE平面 PAD； (3)平面 PCD平面 PAD. 证明依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得 B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1). (1)向量BE (0，1，1)，DC (2，0，0)，故BE DC 0. 所以 BEDC. (2)因为 ABAD，又 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD， 所以 ABPA，PAADA，PA，AD平面 PAD， 所以 AB平面

21、 PAD， 所以向量AB (1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量， 而BE AB(0，1，1)(1，0，0)0，所以 BEAB， 又 BE平面 PAD， 所以 BE平面 PAD. (3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB (1，0，0)，向量PD (0，2，2)，DC (2， 0，0)， 设平面 PCD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nPD 0， nDC 0， 即 2y2z0， 2x0， 不妨令 y1，可得 n(0，1，1)为平面 PCD 的一个法向量. 且 nAB (0，1，1)(1，0，0)0，所以 nAB. 所以平面 PAD平面 PCD. 感悟升华1.利用向量法证明平行、

22、 垂直关系， 关键是建立恰当的坐标系(尽可能 利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要 素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体 几何的有关定理，如在(2)中忽略 BE平面 PAD 而致误. 【训练 2】 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， PC平面 ABCD， PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD 1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30的角. 求证： (1)CM平面 PAD； (2)平面 PAB平面 PAD. 证明以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，

23、CP 为 z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系 Cxyz. PC平面 ABCD， PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBC30. PC2，BC2 3，PB4， D(0，1，0)，B(2 3，0，0)，A(2 3，4，0)，P(0，0，2)，M 3 2 ，0，3 2 ， DP (0，1，2)，DA (2 3，3，0)，CM 3 2 ，0，3 2 . (1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量， 则 DP n0， DA n0， 即 y2z0， 2 3x3y0， 令 y2，得 n( 3，2，1). nCM 3 3 2 2013 20， nCM . 又 CM平面 PAD，CM

24、平面 PAD. (2)法一由(1)知，BA (0，4，0)，PB(2 3，0，2)， 设平面 PAB 的一个法向量 m(x0，y0，z0)， 即 BA m0， PB m0，即 4y00， 2 3x02z00， 令 x01，得 m(1，0， 3)， 又平面 PAD 的一个法向量 n( 3，2，1)， mn1( 3)02 310，mn， 平面 PAB平面 PAD. 法二如图，取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2，1)，BE ( 3，2，1). PBAB，BEPA. 又BE DA ( 3，2，1)(2 3，3，0)0， BE DA ，BEDA. 又 PADAA，PA，DA平面 PAD

25、， BE平面 PAD. 又BE平面 PAB， 平面 PAB平面 PAD. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知平面内有一点 M(1，1，2)，平面的一个法向量为 n(6，3，6)，则 下列点 P 中，在平面内的是() A.P(2，3，3)B.P(2，0，1) C.P(4，4，0)D.P(3，3，4) 答案A 解析逐一验证法，对于选项 A，MP (1，4，1)， MP n61260，MP n， 点 P 在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内. 2.已知 a(1，0，1)，b(x，1，2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为() A.5 6 B.2 3 C. 3 D. 6 答案D 解析因为

26、 abx23，所以 x1， 所以 b(1，1，2)， 所以 cosa，b ab |a|b| 3 2 6 3 2 ， 又因为a，b0，所以 a 与 b 的夹角为 6. 3.在下列命题中： 若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； 若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面； 若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； 已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y， z 使得 pxaybzc. 其中正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 答案A 解析a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能重合，故不

27、正确；根据自由向量的 意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故不正确；三个向量 a，b，c 中任意 两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a，b，c 不共面 时，空间任意一向量 p 才能表示为 pxaybzc，故不正确，综上可知四个 命题中正确的个数为 0. 4.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为( ) A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 答案C 解析如图，设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(

28、ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(acbc) 1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2. 5.(多选题)(2020济南调研)已知平行六面体 ABCDABCD，则下列四式中正确 的有() A.AB CBAC B.AC AB BC CC C.AA CC D.AB BB BC CC AC 答案ABC 解析如图，作出平行六面体 ABCDABCD，可得AB CBABBCAC， 则 A 正确； AB BC CC AB BCCC AC ，则 B 正确； C 显然正确； AB BB BC CC AB BCAC，则 D 不正确.综上，正确的有 ABC. 6.如

29、图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为A1B和AC上的点， A1MAN 2a 3 ， 则MN与平面BB1C1C 的位置关系是() A.斜交B.平行 C.垂直D.MN 在平面 BB1C1C 内 答案B 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 由于 A1MAN 2a 3 则 M a，2a 3 ，a 3 ，N 2a 3 ，2a 3 ，a ， MN a 3，0， 2a 3 . 又 C1D1平面 BB1C1C， 所以C1D1 (0，a，0)为平面 BB1C1C 的一个法向量. 因为MN C1D1 0， 所以MN C1D1 ，又 MN平面 BB1C1C， 所以 MN平面 BB

30、1C1C. 二、填空题 7.已知平面内的三点 A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向 量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_. 答案 解析设平面的法向量为 m(x，y，z)， 由 mAB 0，得 x0yz0yz， 由 mAC 0，得 xz0 xz，取 x1， m(1，1，1)，mn，mn，. 8.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A(1，0，2)，B(0，2，1)，点 C，D 分别 在 x 轴，y 轴上，且 ADBC，那么|CD |的最小值是_. 答案 2 5 5 解析设 C(x，0，0)，D(0，y，0)， 因为 A(1，0，2)，B(0

31、，2，1)， 所以AD (1，y，2)，BC (x，2，1). 因为 ADBC，所以AD BC x2y20， 即 x2y2. 因为CD (x，y，0)， 所以|CD | x2y2 （22y）2y2 5y28y45 y4 5 2 4 5 2 5 5 . 9.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点， 如果AB (2， 1， 4)， AD (4，2，0)，AP (1，2，1).对于结论：APAB；APAD；AP是平 面 ABCD 的法向量；AP BD .其中正确的序号是_. 答案 解析AB AP0，AD AP 0， ABAP，ADAP，则正确； 又 ABADA，AP平面 ABCD， A

32、P 是平面 ABCD 的法向量，则正确； BD AD AB (2，3，4)，AP(1，2，1)， BD 与AP 不平行，故错误. 三、解答题 10.如图， 在四棱锥 PABCD 中， PD底面 ABCD， 底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点. (1)求证：EFCD； (2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB. (1)证明如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设 ADa，则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)， C(0，a，0)，E a，a 2，0， P(0，0

33、，a)，F a 2， a 2， a 2 . EF a 2，0， a 2 ，DC (0，a，0). 因为EF DC 0，所以EF DC ，即 EFCD. (2)解设 G(x，0，z)，则FG xa 2， a 2，z a 2 ， 若使 GF平面 PCB，则需FG CB 0，且FG CP 0， 由FG CB xa 2， a 2，z a 2 (a，0，0)a xa 2 0，得 xa 2； 由FG CP xa 2， a 2，z a 2 (0，a，a)a 2 2 a za 2 0，得 z0. 所以 G 点坐标为 a 2，0，0，即 G 为 AD 的中点. 11.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 A

34、BCD 是正方形， 侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，过点 E 作 EFPB 于点 F.求证： (1)PA平面 EDB； (2)PB平面 EFD. 证明以 D 为坐标原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 设 DCa. (1)连接 AC 交 BD 于点 G，连接 EG. 依题意得 A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)， E 0，a 2， a 2 . 因为底面 ABCD 是正方形，所以 G 为 AC 的中点， 故点 G 的坐标为 a 2， a 2，0， 所以PA (a，0，a)，EG a

35、 2，0， a 2 ， 则PA 2EG ，故 PAEG. 而 EG平面 EDB，PA平面 EDB， 所以 PA平面 EDB. (2)依题意得 B(a，a，0)，所以PB (a，a，a). 又DE 0，a 2， a 2 ， 故PB DE 0a 2 2 a 2 2 0，所以PB DE ， 所以 PBDE. 由题可知 EFPB，且 EFDEE， 所以 PB平面 EFD. B 级能力提升 12.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标 为() A.(1，1，1)B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ，

36、 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 答案C 解析设 AC 与 BD 相交于 O 点， 连接 OE， 由 AM平面 BDE， 且 AM平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDEOE，AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0，0，1)，F( 2，2，1). 由中点坐标公式，知点 M 的坐标 2 2 ， 2 2 ，1 . 13.(多选题)(2021重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六 面体 ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均 为 6，且它们彼此的夹角都是 60，则下列说法中正确的是 () A.

37、AC16 6 B.AC1DB C.向量B1C 与AA1 的夹角是 60 D.BD1与 AC 所成角的余弦值为 6 3 答案AB 解析因为以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60，所 以AA1 AB AA1 AD AD AB 66cos 6018， (AA1 AB AD )2AA1 2AB2AD22AA1 AB 2ABAD 2AA1 AD 3636 363218216，则|AC1 |AA1 AB AD |6 6，所以 A 正确； AC1 DB (AA1 AB AD )(AB AD )AA1 AB AA1 AD AB 2ABAD AD AB AD 20，所以 B 正确； 显

38、然AA1D 为等边三角形，则AA1D60. 因为B1C A1D ， 且向量A1D 与AA1 的夹角是 120， 所以B1C 与AA1 的夹角也是 120， 所以 C 不正确； 因为BD1 AD AA1 AB ，AC AB AD ，所以|BD1 |（AD AA1 AB ）2 6 2，|AC | （AB AD ）26 3，BD1 AC (AD AA1 AB )(ABAD )36， 所以 cosBD1 ， AC BD1 AC |BD1 |AC | 36 6 26 3 6 6 ，所以 D 不正确. 14.如图， 在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中， ADBC， ABC90，PD平面 ABCD，A

39、D1，AB 3，BC4. (1)求证：BDPC. (2)设点 E 在棱 PC 上，PE PC，若 DE平面 PAB，求的值. 解如图，在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DFAB，交 BC 于 点 F，以 D 为坐标原点，DA，DF，DP 所在的直线分别为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，3，0)，D(0， 0，0)，C(3，3，0). 设 PDa，则 P(0，0，a)， (1)证明BD (1， 3，0)，PC (3，3，a)， 因为BD PC 330， 所以 BDPC. (2)由题意知，AB (0，3，0)，DP (0，0，a)，PA (1，0，a)，PC(3，3， a)， 因为PE PC，所以PE(3， 3，a)， DE DP PE (0，0，a)(3， 3，a) (3， 3，aa). 设 n(x，y，z)为平面 PAB 的法向量， 则 AB n0， PA n0，即 3y0， xaz0. 令 z1，得 xa，所以 n(a，0，1)， 因为 DE平面 PAB，所以DE n0， 所以3aaa0，即 a(14)0， 因为 a0，所以1 4.