百校联考2022届高三十月调研考试数学仿真试卷（解析版）.pdf

1、百校联考2022届高三十月调研考试数学仿真试卷详解 一、 单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题 目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上) 1. 已知集合A=x|(x-1)(x+2)0 ， 则AB = A. x|-2x0B. x|1x2C. x|0 x1D. R 【详解】 因为集合 A = x|(x - 1) (x + 2) 0 = x|-2 x 0 = -,0 1,+ ， 所以AB =x|-2x0 2x-10 ， 解得： x -, 1 2 1 2 ,1 ， 故选： B 3. 已知sin + 6 = 1 3 ， 则sin 2- 6

2、 = A. - 7 9 B. - 2 9 C. 2 9 D. 7 9 【详解】 令t=+ 6 ， 则=t- 6 ， sint= 1 3 ， 所以sin 2- 6 =sin 2 t- 6 - 6 =sin 2t- 2 =-cos2t=-(1-2sin2t)=- 7 9 .故选： A. 4. 函数 f(x)= ln x- 1 x , x1 ecosx,x1 的图像大致是 A.B. C.D. 1编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 【详解】 根据题意， 函数 f(x)= ln x- 1 x , x1 ecosx,x1 ， 当x1时， 有 f(x)=ln x- 1 x ， x

3、+时， x- 1 x +， 有 f(x)=ln x- 1 x +， 排除BC， f(0)=e， f(1)=ecos= 1 e abB. bcaC. abcD. cba 【详解】 x0时， f(x)=x2ex是增函数， 且 f(-x)= f(x)， b= f(-log32)= f(log32)， 0=log31log32log35 lne=1， ln3log35 log32， f(ln3) f(log35) f(log32)， cab故选： A 6. 已知函数 f(x)(xR)满足 f(-x)=4- f(2+x)， 函数 g(x)= 2x-1 x-1 .若函数 f(x)与 g(x)的图像共有 2

4、14个交点， 记作Pi(xi,yi)(i=1,2,214)， 则 214 x=1(x i+yi) 的值为 A. 642B. 1284C. 214D. 321 【详解】 函数 f x xR 满足 f -x=4- f 2+x， f -x+ f 2+x=4 即函数 f x 关于点 1， 2对称， 函数g x= 2x-1 x-1 = 2 x-1 +1 x-1 =2+ 1 x-1 ， 即函数g x 关于点 1， 2对称， 函数 f x 与g x的图像共有214个交点即在 1， 2两边各有107个交点， x1+x2=2， y1 +y2=4， 则共有107组， 故 214 x=1 xi+yi = x1+y1

5、+ x2+y2+ x214+y214=6107=642， 故选A 7. 已知在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c， 且bsinA+acos B +C =0， 若c=2,sinC = 3 5 ， 则a+b= A. 4 3B. 4 2C. 2 6D. 2 5 【详解】 因为 bsinA + acos B +C = 0， 所以 bsinA - acosA = 0， 又有正弦定理 sinBsinA - sinAcosA =0,即sinB =cosA， 所以cosA=sin 2 +A =sinB， 所以 2 +A+B =， 即C =A+B = 2 , 或B = 2 +A， 即B -A=

6、2 ； 又因为sinC = 3 5 ， 所以B -A= 2 ， 所以cosC =sin 2 -C =sin2A= 2sinAcosA= 4 5 ， 则1+2sinAcosA= sinA+cosA 2=9 5 ， 得sinA+cosA= 3 5 5 .a+b= c sinC sinA+sinB = 10 3 sinA+cosA = 10 3 3 5 5 =2 5， 故选： D. 8. 定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 fx， 当 x 0,+时， 2sinx cosx - fx 0 且 x R， f -x + f x+cos2x=1.则下列说法一定正确的是 A. 1 4 - f - 5 6

7、 3 4 - f - 2 3 B. 1 4 - f - 5 6 3 4 - f - 4 3 C. 3 4 - f 3 1 2 - f 3 4 D. 1 2 - f - 3 4 3 4 - f 3 【详解】 令F x =sin2x- f x， xR， f -x+ f x+cos2x=1， 所以， F -x+F x=sin2-x- f -x +sin2x- f x=2sin2x- f -x+ f x=1-cos2x- 1-cos2x=0， F -x=-F x， 所 以， 函数F x 为R上的奇函数， Fx =sin2x- fx， 当x 0,+时， 2sinxcosx- fx0， 即sin2x fx

8、， Fx0， 所 以， F x =sin2x- f x在 0,+上单调递增， 由奇函数的性质可知， 函数F x在 -,0上单调递 2编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 增， 所以， 函数F x 在R上单调递增. 对于A选项， - 5 6 - 2 3 ， 则F - 5 6 F - 2 3 ， 即 1 4 - f - 5 6 - 4 3 ， F - 5 6 F - 4 3 ， 即 1 4 - f - 5 6 3 4 - f - 4 3 ， B 选项正确； 对于C 选项， 3 3 4 ， F 3 F 3 4 ， 即 3 4 - f 3 1 2 - f 3 4 ， C 选项

9、错误； 对于D选项， - 3 4 3 ， F - 3 4 F 3 ， 即 1 2 - f - 3 4 cb2” 的充要条件是 “ac” ； C.“a1” 是 “ 1 a 1” 的充分不必要条件. 【详解】 当ac” 推不出“ab2cb2”， 故B 不正确； 当“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根” 时 “a0” ， “a0” 推出 “a1” 成立， 反之不成立， 故 C 正确； 由 1 a - 1 = 1-a a 1 或 a 1” 是 “ 1 a 1” 的充分不必要条件， 故 D 正确 . 故选： AB. 10. 已知函数 f x =4 3sin 3 2 xcos 3 2 x+4sin2

10、 3 2 x-2， 则下列说法正确的是 A. 函数 f x 的周期为 2 3 B. 函数 f x 图像的一条对称轴为直线x=- 9 C. 函数 f x 在 - 10 9 ,- 上单调递增D. 函数 f x的最小值为-4 【详解】 函数 f x =4 3sin 3 2 xcos 3 2 x+4sin2 3 2 x-2 =2 3sin3x-2 1-2sin2 3 2 x =2 3sin3x-2cos3x=4 3 2 sin3x- 1 2 cos3x =4sin 3x- 6 . 所以函数 f x 的周期为T = 2 = 2 3 ， 故A选项正确； 当x=- 9 时， f - 9 =4sin 3 -

11、9 - 6 =-4， 所以直线x=- 9 是函数 f x 图像的一条对称 轴， 故B 选项正确； 当x - 10 9 ,- ， 则3x- 6 - 7 2 ,- 19 6 ， 由正弦函数性质可知， 此时 f x单调递减， 故C 选项错 误； 由 f x =4sin 3x- 6 可知， 当sin 3x- 6 =-1时， f x 取得最小值为-4， 故D选项正确. 故选： ABD. 11. 已知函数 f(x)=cos(2x+) | 2 ， F(x)= f(x)+ 3 2 f(x)为奇函数， 则下述四个结论中说法正确 的是 A. tan=3B. f(x)在-a,a上存在零点， 则a的最小值为 6 3编

12、制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 C. F(x)在 4 , 3 4 上单调递增D. f(x)在 0, 2 有且仅有一个极大值点 【详解】 因为 f(x)=cos(2x+)， 所以 f(x)=-2sin(2x+)， 所以F(x)= f(x)+ 3 2 f(x)=cos(2x+)-3sin(2x+)=2cos 2x+ 3 因为F(x)为奇函数， 则F(0)=0， 即cos + 3 =0， 所以+ 3 =k+ 2 ， kZ， 因为|0且a 的最小值为 6 ， 故B 正确； 对于C， F(x)=2cos 2x+ 6 + 3 =-2sin2x， 当x 4 , 3 4 时， 2

13、x 2 , 3 2 ， 则F(x)在 4 , 3 4 上单调递增， 故C 正确. 对于D， 因为 f(x)=-2sin 2x+ 6 ， 当x 0, 5 12 时， f(x)0， f(x)在 0, 2 上存在一个极小值点， 没有极大值点， 故D错误.故选： BC. 12. 已知函数 f x =ex， g x=ln x 2 + 1 2 的图像与直线y=m分别交于A、 B 两点， 则 A. AB的最小值为2+ln2 B. m使得曲线 f x 在A处的切线平行于曲线g x在B 处的切线 C. 函数 f x -g x+m至少存在一个零点 D. m使得曲线 f x 在点A处的切线也是曲线g x的切线 【详

14、解】 令 f x =ex=m， 得x=lnm， 令g x=ln x 2 + 1 2 =m， 得x=2em- 1 2， 则点A lnm,m 、 B 2e m-1 2,m ， 如下图所示： 编制： 伍海军QQ597917478 由图像可知，AB=2em- 1 2-lnm， 其中m0， 令h m =2e m-1 2-lnm， 则h m =2e m-1 2- 1 m ， 则函数y=hm 单调递增， 且h 1 2 =0， 当0m 1 2 时， hm 1 2 时， hm 0. 所以， 函数h m =2e m-1 2-lnm 0, 1 2 上单调递减， 在 1 2 ,+ 上单调递增， 所以，ABmin=h

15、1 2 =2-ln 1 2 =2+ln2， A选项正确； f x =ex， g x=ln x 2 + 1 2 ， 则 fx =ex， gx= 1 x ， 4编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 曲线y= f x 在点A处的切线斜率为 flnm=m， 曲线y=g x 在点B 处的切线斜率为g2e m-1 2 = 1 2em- 1 2 ， 令 flnm =g2e m-1 2 ， 即m= 1 2em- 1 2 ， 即2mem- 1 2=1， 则m= 1 2 满足方程2mem- 1 2=1， 所以， m使得曲线y= f x 在A处的切线平行于曲线y=g x在B 处的切线， B

16、 选项正确； 构造函数F x = f x-g x+m=ex-ln x 2 +m- 1 2 ， 可得Fx =ex- 1 x ， 函数Fx =ex- 1 x 在 0,+ 上为增函数， 由于F 1 2 =e -20， 则存在t 1 2 ,1 ， 使得Ft =et- 1 t =0， 可得t=-lnt， 当0 xt时， Fx t时， Fx0. F x min=F t=et-ln t 2 +m- 1 2 =et-lnt+m+ln2- 1 2 = 1 t +t+m+ln2- 1 2 2t 1 t +m +ln2- 1 2 = 3 2 +ln2+m0， 所以， 函数F x = f x-g x+m没有零点， C

17、 选项错误； 设曲线y= f x 在点A处的切线与曲线y=g x相切于点C n,g n， 则曲线y= f x 在点A处的切线方程为y-m=elnmx-lnm， 即y=mx+m 1-lnm， 同理可得曲线y=g x 在点C 处的切线方程为y= 1 n x+ln n 2 - 1 2 ， 所以， m= 1 n m 1-lnm =ln n 2 - 1 2 ， 消去n得m- m-1 lnm+ln2+ 1 2 =0， 令G x =x- x-1lnx+ln2+ 1 2 ， 则Gx =1- x-1 x -lnx= 1 x -lnx， 函数y=Gx 在 0,+上为减函数， G1=10， G2= 1 2 -ln2

18、0， 则存在s 1,2 ， 使得Gs= 1 s -lns=0， 且s=e 1 s. 当0 x0， 当xs时， Gx0， G 8 = 17 2 -20ln20 ， 则 f 2021 =_ 【详解】 因为 x 0 时， f x = f x-1- f x-2， 所以 f x+1= f x- f x-1 ， 故 f x+1 = -f x-2 ， 所以 f x+3=-f x ， 所以 f x+6 = f x. 又 f x = 2-x,x0 f x-1 - f x-2, x0 f 2021 = f 3376-1= f -1=21=2. 故 答案为： 2 5编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597

19、917478 15. 水车在古代是进行灌溉引水的工具， 是人类的一项古老发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征如 图是一个半径为 R 的水车， 一个水斗从点 A 1,- 3 出发， 沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 且旋转一周 用 时 6 秒 经 过 t 秒 后 ，水 斗 旋 转 到 P 点 ，设 点 P 的 纵 坐 标 满 足 y = ft = Rsin t+ t0,0, 2 ， 则当t 0,m 时， 函数 f(t)恰有2个极大值， 则m的取值范围是 _ _ 编制： 伍海军QQ597917478 【详解】 根据点A的坐标 1,- 3 )可得圆周的半径R= 1+3 =2， 又旋转一周用时6秒，

20、所以周期T = 6， 从而得= 2 T = 3 ， f t =2sin 3 t+ ， 又点 t=0时， y=- 3 在函数图像上 f 0 =2sin 3 0+ =- 3， 且 2 ， =- 3 f t = 2sin 3 t- 3 ， 根据三角函数的性质， f t 在 0,m内恰有两个极大值时，5 2 3 m - 3 9 2 ， 解得 17 2 1， 2x2-mx+ m 2 + 5 8 ， x1， 若 g x = f x- m 有三个零点， 则实数 m 的取值范围 是_ 【详解】 g x = f x-m有三个零点， 根据题意可得 x1时， 函数有一个零点； x1时， 函数有两个零 点.当x1时，

21、 f x =lnx+ 1 x ， fx = 1 x - 1 x2 = x-1 x2 0恒成立， f x 1,+， 故m1； 当x 1时， f x =2x2-mx+ m 2 + 5 8 ， 要使得g x = f x-m有两个零点， 利用参变分离， 解得10， 解得bc=5， 因此S= 1 2 bcsinBAC = 3 4 bc = 5 3 4 . 18. (本小题满分12分) 6编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 已知函数 f(x)=excosx-x()求曲线y= f(x) 在点(0,f(0)处的切线方程； ()求函数 f(x)在区 间 0, 2 上的最大值， 最小值

22、 【详解】 ()因为 f x =excosx-x ， 所以 fx=excosx-sinx-1,f0=0. 又因为 f 0 =1， 所以曲线y= f x 在点 0,f 0 处的切线方程为y=1. ()设h x =excosx-sinx-1 ， 则hx=excosx-sinx-sinx-cosx=-2exsinx. 当x 0, 2 时， hx 0， 所以h x 在区间 0, 2 上单调递减.所以对任意x 0, 2 有h x h 0 =0， 即 fx0.所以函数 f x 在区间 0, 2 上单调递减. 因此 f x 在区间 0, 2 上的最大值为 f 0=1， 最小值为 f 2 =- 2 . 19.

23、 (本小题满分12分) 已知为锐角， 求函数的最值 【详解】 因为， 所以 当时， 解得， 即， 又因为是锐角， 所以 当时， 当时，因此当时函数有最小值16， 函数无 最大值 20. (本小题满分12分) 已知二次函数 f(x)=ax2+x， 若对任意x1,x2R， 恒有2f x1+x2 2 f(x1)+ f(x2)成立， 不等式 f(x)0 的解集为A()求集合A； ()设集合B = x x+40由 f(x)=ax2+x=ax x+ 1 a 0， 所以不 等式 f(x)0的解集为A= - 1 a ,0 ()解得B =(-a-4,a-4)， B A， a-40 -a-4- 1 a ， 解得0

24、e2 【详解】 ()因为g x =lnx-mx， gx= 1-mx x ， 当m0时， 因为x 1,e， 所以gx 0， 所以函数g x在 1,e上单调递增， 则g xmax=g e=1 -me； 当 1 m e， 即0m 1 e 时， x 1,e， gx 0， 所以函数g x在 1,e上单调递增， 则g xmax= 7编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478 g e =1-me； ， 当1 1 m e， 即 1 e m1时， 函数g x 在 1, 1 m 上单调递增， 在 1 m ,e 上单调递减， 则g x max =g 1 m =-lnm-1； 当0 1 m 1，

25、即m1时， x 1,e， gx 0， 函数g x在 1,e上单调递减， 则g xmax=g 1= -m 综上， 当m 1 e 时， g x max=g e=1-me； 当 1 e me2， 只需证： lnx1+lnx22， 若 f x 有两个极值点x1,x2， 即函数 fx有两个零点， 又 fx =lnx-mx， 所以x1,x2是方程 fx=0的两个不同实根， 即 lnx1-mx1=0 lnx2-mx2=0 ， 解得m= lnx1+lnx2 x1+x2 ， 另一方面， 由 lnx1-mx1=0 lnx2-mx2=0 ， 得lnx2-lnx1=m x2-x1 ， 从而可得 lnx2-lnx1 x

26、2-x1 = lnx1+lnx2 x1+x2 ， 于是lnx1+lnx2= lnx2-lnx1 x2+x1 x2-x1 = 1+ x2 x1 ln x2 x1 x2 x1 -1 不妨设0 x11因此， lnx1+lnx2= 1+t lnt t-1 ,t1要证lnx1+lnx22， 即证： t+1 lnt t-1 2,t1， 即 当t1时， 有lnt 2 t-1 t+1 ， 设函数h t =lnt- 2 t-1 t+1 ,t1， 则ht = 1 t - 2 t+1 -2 t-1 t+1 2 = t-1 2 t t+1 2 0， 所以h t 为 1,+上的增函数注意到h 1=0， 因此， h th

27、 1=0于是当t1 时， 有lnt 2 t-1 t+1 所以lnx1+lnx22成立， x1x2e2 22. (本小题满分12分) 已知函数 f(x)= sinx x -lnx()证明： 函数 f x 在 0,上有唯一零点； ()若x 0,2时， 不等 式 f(x)+lnx+ sin2x 2x a x 恒成立， 求实数a的取值范围 【详解】 ()证明： 由 f(x)= sinx x -lnx得 f(x)= xcosx-sinx x2 - 1 x = (cosx-1)x-sinx x2 当x(0,)时， cosx-10， -sinx0， 则 fx 0， f()=-ln0， 所以函数 f x 在

28、0,上有唯一零点， 得证 ()由题知不等式 f(x)+lnx+ sin2x 2x a x ， 可化为不等式sinx+ 1 2 sin2xa， 则由题有sinx+ 1 2 sin2xa对x 0,2 恒成立， 令g(x)=sinx+ 1 2 sin2x,x(0,2) 则有gx =cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1= cosx+1 2cosx-1 ， 其中cosx+10， 由2cosx-1=0得x= 3 或x= 5 3 ， 则当0 x 3 或 5 3 x0， 当 3 x0， 所以g(x)max= 3 3 4 ， 则a 3 3 4 ， 即 得实数a的取值范围是 3 3 4 ,+ 8编制： 伍海军QQ597917478 QQ:597917478