1、导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论 （2017 年全国新课标 1理21）已知. 2 2 xx f xaeaex （1）讨论的单调性； fx （2）若有两个零点，求的取值范围. fxa 解析：（1） 2 221211 xxxx fxaeaeeae 若，则恒成立，所以在 R 上递减； 0a 0fx fx 若，令，得. 0a 0fx 11 ,ln x ex aa 当时，所以在上递减； 1 lnx a 0fx fx 1 ,ln a 当时，所以在上递增. 1 lnx a 0fx fx 1 ln, a 综上，当时，在 R 上递减；当时，在上递减，在0a fx0a fx 1 ,ln a 上递增
2、. 1 ln, a （ 2）有 两 个 零 点 ， 必 须 满 足， 即， 且 fx min0f x0a . min 111 ln1ln0f xf aaa 构造函数，. 易得， 所以单 1lng xxx 0 x 1 10gx x 1lng xxx 调递减. 又因为，所以. 10g 1111 1ln01101gga aaaa 下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，01a fx0 x . lnxx 事实上，构造函数，易得，所以 lnh xxx 1 1hx x min 11h xh ，即. 0h x lnxx 当时， 01a 2 22 2 2 110 aeae aa f eee ，
3、2 333333 ln121ln11 ln10 a faa aaaaaa 其中，所以在和上各有一个零 1 1ln a 31 lnln a aa fx 1 1,ln a 13 ln,ln a aa 点. 故的取值范围是. a0,1 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面： 22 33 202030ln1 xxxxxxx a aeaexaeaeeaeaex aa ； 另一方面：时，（目测的） 0 x 2 20201 xxx aeaexaexx 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）， ln1xxln xxln 1xx （放缩成双撇函数）， 11 ln1 2
4、 xxx x 11 ln01 2 xxx x ， 1 ln1xxx x 1 ln01xxx x （放缩成二次函数）， 2 ln xxx 2 1 ln 110 2 xxxx 2 1 ln 10 2 xxxx （放缩成类反比例函数）， 1 ln1x x 21 ln1 1 x xx x ， 21 ln01 1 x xx x ， ln 1 1 x x x 2 ln 10 1 x xx x 2 ln 10 1 x xx x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）， 1 x ex x ex x eex （放缩成类反比例函数）， 1 0 1 x ex x 1 0 x ex x （放缩成二次函数）， 2 1 10 2 x exxx 23 11 1 26 x exxx 第三组：指对放缩 ln112 x exxx 第四组：三角函数放缩 ，. sintan0 xxx x 2 1 sin 2 xxx 22 11 1cos1sin 22 xxx 第五组：以直线为切线的函数 1yx ，. lnyx 1 1 x ye 2 yxx 1 1y x lnyxx
