轮换不等式的应用.pdf

1、轮换不等式的应用轮换不等式的应用 基本不等式暴力方法求最值 解 2 2 2 2 xy xy 已知 2 2 822 2 xy xyxy 令20 xyt ，则 2 2 84320 4 t ttt 4,24.txy 方法二：神奇设 k 法 、问谁设谁： 令20 xyk，则2ykx 、代入整理： 2 880kx kxxkxk 、确认最值： 2 04320kk 0,4kk 方法三： 轮换对称法 、确认对称：也就是说x与2y是对称的等价的可以交换位置不影响已知条件的成立。 、取等解方程： 、确认最值：所以2224xy 配方 2 241xyxyxy 则 2 233 2 2132 222 xy xyxyx y

2、 令 22 32 10 21 85 xytttt 方法二：神奇设方法二：神奇设 k 法法 、问谁设谁： 令20 xyk，则2xky 、代入整理： 2 222 133220 2 y kyykyykyk 、确认最值： 222 09242401524kkk 2 10 0, 5 kk 方法三轮换对称法方法三轮换对称法 、确认对称： 、取等解方程： 、确认最值： 方法四：余弦定理法方法四：余弦定理法 已知方程满足余弦定理的结构，配凑成余弦定理 2 22 1 22 21 4 xyxy 转化为三角形问题,其中1,2 ,ACABx BCy， 1 cos 4 B ， 由正弦定理得 21 sinsinsin xy

3、 CAB 等比性质可得 214 sinsin()1515 4 xy CBC 4151 2sincossin 4415 xyCCC 431542 62 10 sincossin() 44451515 CCC 方法五：余弦定理的基础上转化线段使用正弦定理方法五：余弦定理的基础上转化线段使用正弦定理 已知方程满足余弦定理的结构，配凑成余弦定理 2 22 1 22 21 4 xyxy 转化为三角形问题,其中1,2 ,ACABx BCy， 1 cos 4 B ， 如图添加辅助线延长 AB 到 D，使得,2BCBDy ADxy 其中 2 1 coscos212sin 4 BDD 则 10 sin 4 D

4、在ACD正弦定理得 14 sinsin1010 4 ADAC ACDD 所以 2 102 10 sin 55 ADACD 方法六转化为椭圆问题方法六转化为椭圆问题 令2,xmn ymn代入 2 2 21xyxy 221 ()()1 2 mnmnmn mn 整理得 22 1 22 53 mn 可以看成一个椭圆（焦点在 y 轴上） 而 22 10 2()()22 55 xymnmnm 方法一：神奇设 k 法 、问谁设谁：设xyk 、代入整理： 2 2 ,() 10ykx xkxx kx 、确认最值： 22 10 xkxk ， 22 2 3 04(1)0 3 kkk 方法二：轮换对称法 、确认对称：

5、x 与 y 对称 、取等解方程：xy 、确认最值： 222 1xxx，解得 32 3 , 33 xxy 方法三不等式法 先配方 2 21xyxyxy 2 2 1 2 xy xyxy 242 3 33 xyxy 方法四余弦定理方法四余弦定理 已知方程满足余弦定理的结构，配凑成余弦定理 222 1 21 2 xyxy 转化为三角形问题,其中1,ACABx BCy， 1 cos 2 B ， 由正弦定理得 1 sinsinsin xy CAB 等比性质可得 12 sinsin()33 2 xy CBC 231 sincossin 223 xyCCC 21322 62 3 sincossin() 224

6、3333 CCC 方法五椭圆构造 令,xmn ymn代入得 2 2 1 1 3 m n 则 2 3 2 3 xymnmnm 方法一：神奇设 k 法 、问谁设谁：设, k xyky x 、代入整理： 2 262(6)0 t xtxt xt x 、确认最值： 2 02036018ttt 方法二：轮换对称法 、确认对称：2x与 y 是对称的 、取等解方程：2(2)122xyx y， 、确认最值：2xy， 2 2 221222230 xxxxxx 则3,6,18xyxy 2 222 222abcabcabacbc 则 1 2 abacbc 方法一：神奇设 k 法 、问谁设谁：令,bcacab 、代入整

7、理： 222 12 00 23 babaa 、确认最值： 6 3 a 方法二：轮换对称法 已知 1 2 abacbc 、确认对称：b 和 c 是对称的 、取等解方程：bc 、确认最值： 0,2abcab ， 2 116 22 266 b bb bb bbbc 6 2 3 ab 方法一：神奇设 k 法 、问谁设谁： 2222 ,xysysx 、代入整理： 22 544545xyxys 平方得 2 22222 254525164025x ysxsxss 看成关于 2 x的一元二次方程 2 1010 0391601000 133 sss 、确认最值：最大值为 10 3 方法二：轮换对称法 、确认对称

8、：x 与 y 是对称的 、取等解方程： 222 ,4545xyxxx 、确认最值： 2222 5510 , 333 xysxy 方法三构造椭圆方法三构造椭圆 令2,2xmnymn 代入整理 22 55 22 mnmn mnmn 22 22 39 51 2020 44 39 mn mn 则 22 2222 112010 222233 mnmn sxymn 方法一函数法： 已知 22 34zxxyy 则 22 344 31 zxxyyxy xyxyyx 此时的取等条件为 2 2 ,2xy zxyy 所以 2 22222xyzyyy 方法二轮换对称法 、确认对称： 、取等解方程： 、确认最值： 方法一函数法： 已知 22 34zxxyy则 22 11 1 4 3443 3 xyxy xy zxxyy yx 此时的取等条件为 2 2 ,2xy zxyy所以 22 21221212 1 22xyzyyyyy 方法二轮换对称法 、确认对称：、取等解方程：、确认最值：