23个向量基础专题.pdf

1、2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1 1 页页 2323 个个向量向量基础专题基础专题- -tobeenoughtobeenough 向量向量题题要点要点： 画图，将已知条件和求解标于图上；画图，将已知条件和求解标于图上； 熟记向量平行、垂直等关系；熟记向量平行、垂直等关系； 推导出结果，并用图检验推导出结果，并用图检验. . 例例 1 1 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中， O是坐标原点，两定点是坐标原点，两定点A B,满足满足OAOBOA OB2 ，则则 点集点集P OPOAOB1R, , ，所表示的区域的面积是所表示的区域的

2、面积是（ ） （A A）2 2 （B B）2 3 （C C） 4 2 （D D）4 3 例例 2 2 若非零向量若非零向量a b, 满足满足a3 ba2b ，则，则a b, 夹角的余弦值为夹角的余弦值为（ ） 例例 3 3 向量向量a b c, , 在正方形网格中的位置如图所示，若在正方形网格中的位置如图所示，若 cab ， （， （R, ） ，则） ，则 （ ） 例例 4 4 向量向量A 11( ,) ，B 3 0( , )，C 2 1( , )，若平面区，若平面区 域域D由 所 有 满 足由 所 有 满 足APABAC （12 ，01 ） 的点） 的点P组成， 则组成， 则D的的 面积为面

3、积为（ ） 例例 5 5 在四边形在四边形ABCD中，中，AC1 2( , ) ，BD4 2(, ) ，则该四边形的面积为（，则该四边形的面积为（ ） A.A.5 B.B.2 5 C.C.5 D.D.10 例例 6 6 已知点已知点A1 1(, ) 、B 1 2( , )、C21(,)、D 3 4( , )， 则向量， 则向量AB 在在CD 方向上的投影为 （方向上的投影为 （ ） A. A. 3 2 2 B.B. 3 15 2 C.C. 3 2 2 D.D. 3 15 2 O A B C F E G U V W O A B C F E G U V W 2323 个个向量基础向量基础专题专题-

4、 -totobeenoughbeenough 第第 2 2 页页 例例 7 7 已知已知a b, 是单位向量，是单位向量，a b0 . .若向量若向量c 满足满足cab1 ，则，则c 的取值范围是（的取值范围是（ ） A A212+1, B B212+2, C C12+1, D D12+2, 例例 8 8 已知已知a b, 是单位向量，是单位向量，a b0 . .若向量若向量c 满足满足cab1 ，则则c 的最大值为的最大值为： A.A.21 B.B.2 C.C.21 D.D.22 例例 9 9 设设DE、分别是分别是ABC 的边的边AB， ，BC上的点， 上的点， 1 ADAB 2 ， 2

5、BEBC 3 ， 若若 12 DEABAC （ 12 , 为实数） ，则为实数） ，则 12 的值为（的值为（ ） 例例 1010 设设 1 e ， 2 e 为单位向量为单位向量. . 且且 1 e ， 2 e 的夹角为的夹角为 3 ，若，若 12 ae3e ， 1 b2e ，则向量，则向量a 在在b 方向上的射影为（方向上的射影为（ ） 例例 1111 已知点已知点A 1 3( , )，B 41( ,) ，则与向量，则与向量AB 同方向的单位向量为（同方向的单位向量为（ ） （A A） 34 55 , （B B） 43 55 , （C C） 3 4 5 5 , （D D） 4 3 5 5 ,

6、 例例 1212 已知向量已知向量AB 与与AC 的夹角为的夹角为 o 120，且，且AB3 ，AC2 ，若若APABAC 且且 APBC , ,则实数则实数 的值为的值为（ ） 例例 1313 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知OA1 t(, ) ，OB2 2( , ) ，若，若 o ABO90，则实数，则实数t 的值为（的值为（ ） 例例 1414 设设a b, 为向量为向量, , 则则“a ba b ”是“是“ab/ / ”的（”的（ ） (A) (A) 充分不必要条件充分不必要条件 (B) (B) 必要不充分条件必要不充分条件 (C) (C) 充分必要条件充分必要条

7、件 (D) (D) 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 例例 1515 已知向量已知向量 ( ,)a1 m ，(, )bm 2 ，若，若/ /ab , , 则实数则实数m等于等于（ ） (A) (A) 2 (B) (B) 2 (C) (C) 2 或或2 (D) (D) 0 例例 1616 在边长为在边长为1的正六边形的正六边形ABCDE中，记以中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为为起点，其余顶点为终点的向量分别为 , 12345 a a a a a ；以；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为为起点，其余顶点为终点的向量分别为, 12345 d d d d d . .若若,m M

8、分分 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 3 3 页页 别为别为() () ijkrst aaaddd 的最小值、最大值，其中的最小值、最大值，其中 , , , , , , i j k1 2 3 4 5 , , , , , , , , r s t1 2 3 4 5 , ,则则,m M满足（满足（ ）. . (A) (A) ,m0 M0 (B) (B) ,m0 M0 (C) (C) ,m0 M0 (D) (D) ,m0 M0 例例 1717 在平行四边形在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD交于点交于点O， ABADAO ，则

9、，则 （ ） 例例 1818 在平行四边形在平行四边形ABCD中中, , AD1 , , BAD60 , , E 为为CD的中点的中点. . 若若AC BE1 , , 则则AB的长为（的长为（ ） 例例 1919 设设 1 e ， 2 e 为单位向量为单位向量，非零向量，非零向量 12 bxeye ，, x yR 若若, 12 e e 的夹角为的夹角为 6 ，则，则 x b 的最大值的最大值等于（等于（ ） 例例 2020 在平面上，在平面上， 12 ABAB ， 12 OBOB1 , , 12 APABAB . .若若 1 OP 2 ，则，则OA 的取的取 值范围是（值范围是（ ） A A、

10、, 5 0 2 B B、 , 57 22 C C、 , 5 2 2 D D、, 7 2 2 例例 2121 以以OA为 边 ，为 边 ，OB为 对 角 线 的 矩 形 中 ，为 对 角 线 的 矩 形 中 ， (, )OA3 1 ，(, )OB2 k ，则实数，则实数()k O C A B D A B C D E O A B 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 4 4 页页 例例 2222 已知两个单位向量已知两个单位向量,a b 的夹角为的夹角为 o 60，()cta1t b . .若若b c=0 ，则，则t ( )( ) 例例 232

11、3 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为2，E为为CD的中点，则的中点，则AE BD （ ） 解析解析 例例 1 1 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中， O是坐标原点，两定点是坐标原点，两定点A B,满足满足OAOBOA OB2 ，则则 点集点集P OPOAOB1R, , ，所表示的区域的面积是所表示的区域的面积是（ ） （A A）2 2 （B B）2 3 （C C） 4 2 （D D）4 3 解析解析： 画图画图 由由OAOBOA OB2 可知：可知： 点点,A B在半径为在半径为2的圆周上的圆周上 采用特值法采用特值法： 设设A点坐标为点坐标为2 0( , )，设，设B点坐标

12、为点坐标为x y( , ). . 于是，由于是，由OB2 得：得： 22 xy2 由由OA OB2 得：得： OA OB2 0 x y2x2( , ) ( , ) 则：由则：由式得：式得：x1 ，代入，代入式得：式得：y3 故：当故：当OA2 0( , ) 时，时，OB13( ,) ；当当OA2 0(, ) 时，时，OB13(,) . . 对对OA2 0( , ) ，OB13( ,) 由由平面向量平面向量三点共线定理三点共线定理画图可知：画图可知：P点在线段点在线段AB或或 1 AB上上. . 由由O 0 0( , )、B 13( ,)、A 2 0( , )、 1 B 13( ,) 为顶点的四

13、边形区域为顶点的四边形区域的面积的面积 1 S. . 则则： 11 11 SOA BB22 32 3 22 对对OA2 0(, ) ，OB13(,) O A B B1 B2 A1 B3 O A B B1 B2 A1 B3 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 5 5 页页 由由平面向量平面向量三点共线定理三点共线定理画图可知：画图可知：P点点在线段在线段 12 A B或或 13 A B上上. . 由由O 0 0( , )、 2 B13(,) 、 1 A2 0(, ) 、 3 B13(,)为顶点的四边形区域为顶点的四边形区域的面积的面积 2

14、S. . 则：则： 1123 11 SOAB B22 32 3 22 满足条件的满足条件的P点集区域的面积点集区域的面积 12 SSS 由由和和得：得： 12 SSS4 3 故：故：答案答案 D D 例例 2 2 若非零向量若非零向量a b, 满足满足a3 ba2b ，则，则a b, 夹角的余弦值为夹角的余弦值为（ ） 解析解析：画图画图，采用特值法采用特值法： 如图：如图：OBb ，OAa ，OCa2b 设设b1 ，则则a3 a b, 夹角夹角 , a bAOBAOy 2 故：故：sin b 1 AOy 3 a 于是：于是：cos,cos()sin 1 a bAOyAOy 23 . . 答案

15、：答案： 1 3 例例 3 3 向向量量a b c, , 在正方形网格中的位置如图所示，若在正方形网格中的位置如图所示，若 cab ， （， （R, ） ，则） ，则 （ ） 解析解析：由图得：由图得：a1 1(, ) ，b6 2( , ) ，c13(,) 若若cab ， 即：即：c1 16 26213(, )( , )(,)(,) 即：即： 61 23 解之得：解之得： 2 1 2 ，则：，则：4 a b a2b B O A C y x 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 6 6 页页 例例 4 4 向量向量A 11( ,) ，B 3

16、0( , )，C 2 1( , )，若平面区，若平面区 域域D由 所 有 满 足由 所 有 满 足APABAC （12 ，01 ） 的点） 的点P组成， 则组成， 则D的的 面积为面积为（ ） 解析解析：画向量图画向量图. . 由于由于AB 的区域是从的区域是从B点到点到F 点，点，AC 的区域是从的区域是从A点到点到C点点，即从，即从B点点 到到E点点. .D区域等于区域等于由向量由向量BF 和向量和向量BE 所构成的区域所构成的区域. . 当当 和和 都取最小值时，即都取最小值时，即1 、0 时，时，APAB ，P点在点在B点点； 当当 取最小值、取最小值、 取最大值时，即取最大值时，即1

17、 、1 时，时，APAE ，P点在点在E点点； 当当 取最大值、取最大值、 取最小值时，即取最小值时，即2 、0 时，时，APAF ，P点在点在F点点； 当当 和和 都取最大值时，即都取最大值时，即2 、1 时，时，APAG ，P点在点在G点点. . 好了，好了，D区域就是由区域就是由BEGF、 、 、这这 4 4 个顶点所围的四边形区域个顶点所围的四边形区域. . 其面积为其面积为： BEFBUVWBUEEVFBFW 13 SSSSS411 22 则：则： EFGEBEF S2S3 例例 5 5 在四边形在四边形ABCD中，中，AC1 2( , ) ，BD4 2(, ) ，则，则 该四边形的

18、面积为（该四边形的面积为（ ） A.A.5 B.B.2 5 C.C.5 D.D.10 解析解析：画图画图 因为因为AC1 2( , ) ，所以，所以取取( , )A 0 0，( , )C 1 2； 因为因为BD4 2(, ) ，所以取，所以取( ,)B 21 ，(, )D2 1 那么那么四边形四边形ABCD的面积的面积： EFBGECDCFBEGB 33 SSSSS1245 22 . . 答案答案 C C O A B C F E G U V W O A B C F E G U V W A C D B E F G 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenoug

19、h 第第 7 7 页页 例例 6 6 已知点已知点A1 1(, ) 、B 1 2( , )、C21(,)、D 3 4( , )， 则向量， 则向量AB 在在CD 方向上的投影为 （方向上的投影为 （ ） A. A. 3 2 2 B.B. 3 15 2 C.C. 3 2 2 D.D. 3 15 2 解析解析：向量向量AB2 1( , ) ，向量，向量CD5 5( , ) 设设AB 与与CD 间的夹角间的夹角为为 ： 向量向量AB 在在CD 方向上的投影方向上的投影AB cos 为：为： cos AB CDAB CD ABAB AB CDCD 251 53 2 25 2 . . 答案答案 A A

20、另：另：直线直线AB的斜率为：的斜率为： AB 1 k 2 ，直线，直线CD的斜率为：的斜率为： CD k1 故：故：tan CDAB CDAB 1 1 kk1 2 1 1kk3 11 2 则：则：cos tan 2 2 119 1 110 1 9 ，故：，故：cos 3 10 而：而： 22 AB215 ，故：，故：cos 33 2 AB5 210 . . 答案答案 A A 例例 7 7 已知已知a b, 是单位向量，是单位向量，a b0 . .若向量若向量c 满足满足 cab1 ，则，则c 的取值范围是（的取值范围是（ ） A A212+1, B B212+2, C C12+1, D D1

21、2+2, 解析解析：由由a b, 是单位向量，且是单位向量，且a b0 可知，可知，ab . . 采用特值法采用特值法： 设：设：a1 0( , ) ，b0 1( , ) ，cx y( , ) ； A B C D 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 8 8 页页 则：则：cabx1 y1(,) 由由cab1 得：得： 22 x1y11()() 即：即：c 是起点在原点，终点在以是起点在原点，终点在以1 1( , )为圆心、半径为为圆心、半径为1的圆周上的圆周上. . 如图所示，如图所示，故故c 的最小值是的最小值是21 ，最大值是，最大值

22、是21 即：即：c2121, . . 另：另：此题等价于：此题等价于：已知已知： 22 x1y11()()，求：，求： 22 xy 的最小值和最大值的最小值和最大值. . 解解析析：用：用三角换元法三角换元法，令：，令：x1cos ，y1sin 则：则：x1cos ，y1sin 那么：那么： 2222 xy11(cos )(sin ) 22 1212coscossinsin o 3232 245(cossin )sin() 故：故：, 22 cxy32 232 2 ，即：，即： 22 xy2121, 答案：答案：A A 例例 8 8 已知已知a b, 是单位向量，是单位向量，a b0 . .若

23、向量若向量c 满足满足cab1 ，则则c 的最大值为的最大值为： A.A.21 B.B.2 C.C.21 D.D.22 解析解析：参见参见 例例 7 7 ，答案：答案：C C 例例 9 9 设设DE、分别是分别是ABC 的边的边AB， ，BC上的点， 上的点， 1 ADAB 2 ， 2 BEBC 3 ， 若若 12 DEABAC （ 12 , 为实数） ，则为实数） ，则 12 的值为（的值为（ ） 解析解析：画图，由图可见：画图，由图可见： 12 DEDBBEABBC 23 而而BCBAACABAC 代入代入式得：式得： A B C D E 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -tot

24、obeenoughbeenough 第第 9 9 页页 1212 DEABABACABAC 2363 () 故：故： 12 121 632 . . 答案答案 1 2 . . 例例 1010 设设 1 e ， 2 e 为单位向量为单位向量. . 且且 1 e ， 2 e 的夹角为的夹角为 3 ，若，若 12 ae3e ， 1 b2e ，则向量，则向量a 在在b 方向上的射影为（方向上的射影为（ ） 解析解析：因为因为 12 e e, 为单位向量为单位向量. . 且且 12 e e, 的夹角为的夹角为 3 . . 所以所以 12 1 ee 32 cos . . 向量向量a 在在b 方向上的射影为：

25、方向上的射影为： a b aa b b cos, 121 a be3e2e() () 1121 1 2ee6ee265 2 ，b2 代入代入式得：式得： a b5 aa b 2b cos, . . 答案答案 5 2 另：另：由图由图，a 在在b 方向分量为：方向分量为： cos,cos 35 aa bb3 bbb 322 . . 答案答案 5 2 例例 1111 已知点已知点A 1 3( , )，B 41( ,) ，则与向量，则与向量AB 同方向的单位向量为（同方向的单位向量为（ ） （A A） 34 55 , （B B） 43 55 , （C C） 3 4 5 5 , （D D） 4 3 5

26、 5 , 解析解析：向量向量AB411334(,)( ,) ，故，故：答案答案 A A 例例 1212 已知向量已知向量AB 与与AC 的夹角为的夹角为 o 120，且，且AB3 ，AC2 ，若若APABAC 且且 APBC , ,则实数则实数 的值为的值为（ ） 解析解析：画图，画图，过过C点作点作AB的平行线的平行线( (红色线红色线) )， 过过A作作BC的垂直线，交红色线于的垂直线，交红色线于P. . 则：则：CPAB 因为因为ACABBC ，所以，所以BCACAB a b 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1010 页页 因为

27、因为APBC ，所以，所以AP BC0 ，即，即：APACAB0() 以以A为原点，为原点，以以AB 为为x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系. . 则：则：A 0 0( , )，B 3 0( , )，C13(,) ； AB3 0( , ) ，AC13(,) ，ACAB43(,) . . 设：设：P x3( ,)，则：，则：APx3( ,) . . 代入代入式得：式得：x3430( ,) (,) ，即：，即：4x30，即：，即： 3 x 4 故：故： 3 P3 4 (,)， 3 AP3 4 (,) 由由APABAC 得：得： 3 33 013313 4 (,)( , )(,)(,) 即：

28、即： 3 31 4 ，即：，即： 7 12 或者由或者由CPAB 得：得： 3 1 CP 7 4 312 AB . . 答案答案： 7 12 例例 1313 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知OA1 t(, ) ，OB2 2( , ) ，若，若 o ABO90，则实数，则实数t 的值为（的值为（ ） 解析解析：因为因为 o ABO90，即，即ABOB ，所以，所以AB OB0 由由ABOBOA3 2t( ,) ，故，故AB OB3 2t2 22 32t( ,) ( , )() 代入代入式得：式得：t5 . . 答案答案 5 5 例例 1414 设设a b, 为向量为向量,

29、, 则则“a ba b ”是“是“ab/ / ”的（”的（ ） (A) (A) 充分不必要条件充分不必要条件 (B) (B) 必要不充分条件必要不充分条件 (C) (C) 充分必要条件充分必要条件 (D) (D) 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：由定义由定义：平行向量指：平行向量指方向相同或相反的非方向相同或相反的非 0 0 向量向量. . 首先要保证首先要保证非非 0 0 向量向量，若若,a b 为非为非 0 0 向量向量, ,则则cos,a ba ba b A B C P AB 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第

30、 1111 页页 若若a ba b ，则，则cos, a b1 ，即，即/ /ab ； 若若/ /ab ，则，则cos, a b1 ，于是，于是cosa ba ba ba b . . 故故若若,a b 为非为非 0 0 向量向量，答案是答案是 C C. . 如果如果,a b 中有中有 0 0 向量，向量，因为因为 0 0 向量的方向是任意的，向量的方向是任意的， 我们规定：我们规定：零向量与任一零向量与任一向量向量平行平行. . 答案是答案是 C C 例例 1515 已知向量已知向量 ( ,)a1 m ，(, )bm 2 ，若，若/ /ab , , 则实数则实数m等于等于（ ） (A) (A)

31、 2 (B) (B) 2 (C) (C) 2 或或2 (D) (D) 0 解析：解析：平行向量可以用平行向量可以用ab 表示，即：表示，即： 1m m2 ，故：，故：m2 . . 答案答案 C C 例例 1616 在边长为在边长为1的正六边形的正六边形ABCDE中，记以中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为为起点，其余顶点为终点的向量分别为 , 12345 a a a a a ；以；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为为起点，其余顶点为终点的向量分别为, 12345 d d d d d . .若若,m M分分 别为别为() () ijkrst aaaddd 的最小值、最大值，其中的最小

32、值、最大值，其中 , , , , , , i j k1 2 3 4 5 , , , , , , , , r s t1 2 3 4 5 , ,则则,m M满足（满足（ ）. . (A) (A) ,m0 M0 (B) (B) ,m0 M0 (C) (C) ,m0 M0 (D) (D) ,m0 M0 解析：解析：画图画图. . 设设() () ijkrst Naaaddd 采用特值法采用特值法： 先求最小值先求最小值m 取取 ijk aaa 方 向 尽 可 能 靠 近方 向 尽 可 能 靠 近 AD 的方向，的方向， 则：则： ijk aaaACADAE AD 取取 rst ddd 方向尽可能靠近方

33、向尽可能靠近DA 的方向，的方向， 则：则： rst dddDFDADBDA （, 00） 于是：于是：() () ijkrst Naaaddd () () 2 ADDAAD0 ，即：，即：m0 A B C D E F A B C D E F O O 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1212 页页 再求最小值再求最小值M 取取 ijk aaa 方向尽可能靠近方向尽可能靠近AB 的方向，的方向， 则：则： ijk aaaABACAD ABABBC2BC2AB3BC 取取 rst ddd 方向尽可能靠近方向尽可能靠近AB 的方向，的方向，

34、 则：则： rst dddDADBDC DCDCCB2CB2DC3CB 于是：于是：() ()N2AB3BC2DC3CB 4AB DC6AB CB6BC DC9BC CB cos o 1 AB DC60 2 ，cos o 1 AB CB120 2 ， cos o 1 BC DC120 2 ，BC CB1 代入上式得：代入上式得：()()() 111 N46691130 222 ，即：，即：M0 结合结合，答案答案 D D 例例 1717 在平行四边形在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD交于点交于点O， ABADAO ，则，则 （ ） 解析：解析：由图可知：由图可知：ABADAC

35、2AO ，故：，故：2 例例 1818 在平行四边形在平行四边形ABCD中中, , AD1 , , BAD60 , , E为为CD的中点的中点. . 若若AC BE1 , , 则则 AB的长为（的长为（ ） 解析：解析：画画图，图，采用特值法采用特值法： 设：设：( , )A 0 0，( , )B x 0，因，因AD1 则：则：(cos,sin) oo D6060，即：，即：(,) 13 D 22 故：故：(,) 1x3 E 222 ，(,) 13 Cx 22 于是：于是：(,) 13 ACx 22 ，(),) 1x3 BEx 222 ，即：，即：(,) 1x3 BE 222 代入代入AC B

36、E1 得：得：(,) (,) 131x3 x1 22222 O C A B D A B C D E 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1313 页页 即：即：()()12x 1x34，即：，即： 2 1x2x2x1，即：，即：()x 12x0 故：故：x0 （舍）或（舍）或 1 x 2 . . 则：则：AB的长为的长为 1 2 另：另：采用向量法采用向量法： 设：设：( , )A 0 0，( , )B x 0，则：，则：ACADAB ， 1 BEADAB 2 于是：于是：() () 1 AC BEADABADAB 2 () 22 11

37、ADADABABAB 22 22 11 ADAD ABAB 22 将将AD1 ，ABx ，cos o x AD ABAD AB60 2 代入代入AC BE1 得：得： 2 xx 0 42 ，即：，即：x0 （舍）或（舍）或 1 x 2 . . 则：则：AB的长为的长为 1 2 例例 1919 设设 1 e ， 2 e 为单位向量为单位向量，非零向量，非零向量 12 bxeye ，, x yR 若若, 12 e e 的夹角为的夹角为 6 ，则，则 x b 的最大值的最大值等于（等于（ ） 解析：解析：由由, 12 e e 的夹角为的夹角为 6 得：得： 12 3 ee 2 ， 则：则：() ()

38、 2 2222 121212 bb bxeyexeyexy2xyeexy3xy 设：设： y t x ，则：，则：() 2 2 222 xx1 bxy3xy1t3t ()() 22 1 33 t1 22 由上式可知：当由上式可知：当 3 t 2 时，时，()2 x b 达到最大值，即：达到最大值，即： x b 达到最大值达到最大值. . 最大值为：最大值为： ()2 1 42 3 1 2 . . 答案答案 2 2 例例 2020 在平面上，在平面上， 12 ABAB ， 12 OBOB1 , , 12 APABAB . .若若 1 OP 2 ，则，则OA 的取的取 值范围是（值范围是（ ） 2

39、323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1414 页页 A A、, 5 0 2 B B、 , 57 22 C C、 , 5 2 2 D D、, 7 2 2 解析：解析：画图，画图，以以A为原点，则为原点，则( , )A 0 0. . 设：设：(, ) 11 B b 0，( ,) 22 B 0 b，( , )O x y 则：则：(,) 12 P b b，(,y) 12 OPbx b 由由 12 OBOB1 得：得： ()2 2 1 xby1 和和 () 22 2 xyb1 即即： 22 1 xb1y() 和和 22 2 yb1x() 由由 1 O

40、P 2 ，即以，即以P点为圆心，半径为点为圆心，半径为 1 2 的圆内部分的圆内部分. . 即：即： 222 12 1 xbyb 2 ()()( ) 由由+ +得：得：()() 2222 12 xbyb2xy，代入代入式得：式得： 22 1 2xy 4 即：即： 22 17 xy2 44 ，即：，即： 22 7 xy 2 由由得：得： 222 11 x2b xb1y， 即：即： 22222 111 xyb12b x1bx，即：即： 2 y1 由由得：得： 222 22 y2b yb1x， 即：即： 22222 222 xyb12b y1by 即：即： 2 x1 由由和和得：得： 22 xy2

41、由于由于()() 22 77 2 24 ，所以，所以由由和和得：得： 22 7 xy2 2 , . . 答案答案 D D A B1 B2 O P A B1 B2 P 2323 个个向量基础向量基础专题专题- -totobeenoughbeenough 第第 1515 页页 另：另：下面用特值法求解下面用特值法求解： 先看特值图：先看特值图： 由由 12 OBOB1及及 1 OP 2 得：得： 222 12 AOPBOB 222 12 OBOPOB( )2 17 11 24 故：故： 7 AO 2 例例 2121 以以OA为 边 ，为 边 ，OB为 对 角 线 的 矩 形 中 ，为 对 角 线

42、的 矩 形 中 ， (, )OA3 1 ，(, )OB2 k ，则实数，则实数()k 解析：解析：画向量图画向量图，如右，如右. . 因为因为OB 是对角线，是对角线， 则：则：( ,)AB=OBOA1 k1 由由ABOA 得：得：AB OA0 即：即：( ,) (, )1 k13 10 即：即：3k10 ， 即：即：k4 . . 答案答案k4 例例 2222 已知两个单位向量已知两个单位向量,a b 的夹角为的夹角为 o 60，()cta1t b . .若若b c=0 ，则，则t ( )( ) 解析：解析：因为因为, o a b60 ，所以，所以cos o 1 a b60 2 则：则：() tt b ctb a1t b b1t1 22 代入代入b c0 得：得：t2 . . 答案答案t2 例例 2323 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为2，E为为CD的中点，则的中点，则AE BD （ ） 解析：解析：画向量图，建系画向量图，建系 则：则：( , )A 0 0，( , )B 2 0，( , )C 2 2，( , )D 0 2，( , )E 1 2 于是：于是：( , )AE1 2 ，(, )BD2 2 ( , ) (, )AE BD1 22 2242 . . 答案答案AE BD2 O A B A B C D E