导数中的构造函数（最全精编）.pdf

1、1 1、利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x), f (x) ；这类形式是对u v, u 型 函 xv 数导数计算的推广及应用，我们对uv, u 的导函数观察可得知， uv型导函数中 v 体现的是“ ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当 v 导函数形式出现的是“ ”法形式时，优先考虑构造uv型，当导函数形式出现 的是“”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 v 例 1，例 2. 【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) xf (x) 0 ，且 f (4) 0，则不等式xf (x)

2、0的解集为 【解析】构造 F(x) xf (x) ， 则F (x) f (x) xf(x)， 当x 0 时，f (x) xf(x) 0 ， 可以推出 x 0 ，F (x) 0，F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为偶函数， x为奇函 数， 所以 F(x) 为奇函数， F(x) 在 (0,) 上也单调递减. 根据 f (4) 0 可得 F(4) 0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x) 0的解 集为(,4) (0,4) . 思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F(x) xf (x)，然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可. 导数小题中构造函数的技巧导

3、数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 （一）利用（一）利用 f (x) 进行抽象函数构造进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且f (1) 0 ， 当 x 0 时， 有 xf (x) f (x) 0 恒成立，则不等式 f (x) 0的解集为 2 xn 然 后 利 用 F (x) f (x) 思路点拨：满足“ xf (x) nf (x)”形式，优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合

4、求解即可. xf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的， x 不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例 3 题 【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0)的导函数为 f (x) ，且满足 f (1) 0，当x 0 xf (x) f (x) 0 ，可以推出 x 0 ，F(x) 0，F(x) 在(,0)上单调递增. f (x) 为 偶函数， x 为奇函数，所以 F(x) 为奇函数， F(x) 在(0,) 上也单调递减.根据 f (1) 0可得 F(1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图

5、像，根据图像可知 f (x) 0 的解集为(,1) (1,) . f (x)x f (x) ， 当 x 0 时 ， x2 ， 则 F (x) f (x) x 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用函数的单调 F (x) f (x) x 思路点拨：出现“”形式，优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可. xn 出现 xf (x) nf (x)形式，构造函数 F (x) f (x) . 结论： 出现nf (x) xf (x) 形式，构造函数 F (x) xnf (x) ； ； xf (x) nf (x) xn1 f (x) xn nxn1f (x) x2n ， F (x) f (x) xn F

6、 (x) F(x) xnf (x)，F (x) nxn1 f (x) xnf (x) xn1nf (x) f (x) ； 时，2f (x) xf (x)，则使得 f (x) 0成立的x的取值范围是 3 xn 思路点拨：满足“ xf (x) nf (x) ”形式，优先构造 F (x) xf (2x)，然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (2) 0 和F (x)的转化. xf (x)2 f (x) 0 ， 可以推出 x 0，F(x) 0，F(x)在(0,)上单调递减. f (x) 为 偶函数， x2为偶函数，所以 F(x) 为偶函数， F(x) 在 (,0) 上单调递增.根

7、据 f (1) 0可得 F(1) 0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x) 0 的解集为(1,0)(0,1) . 【 解 析 】 构 造 F (x) f (x) x2 ， 则 F (x) f (x)x2 f (x) ， 当 x 0 时 ， x3 【变式提升变式提升】设函数 f (x) 满足 x3f (x)3x2 f (x) 1 ln x ，且 f ( 则 x 0 时， f (x) （ ） A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值 C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值 e ) 1 ， 2e 思路点拨：满足“ xf (x) nf (x) ”形式，为n 3时

8、情况，优先构造 F(x) f (x) ， 【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在(,0)上有2xf (2x) f (2x) 0， 且 f (2) 0，则不等式xf (2x) 0的解集为. 然后利用积分、函数的性质求解即可. 【 解 析 】 构 造 F(x) xf (2x) ， 则 F (x) 2xf(x) f (2x) ， 当 x 0 时 ， F (x) 2xf(x) f (2x) 0，可以推出 x 0，F(x) 0，F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为奇函数， x为奇函数，所以 F(x)为偶函数， F(x)在(0,)上单调递增. 根据 f (2) 0可得 F(1)

9、0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像 可知 xf (2x) 0的解集为(1,0)(0,1). 4 （2）利用 f (x) 与ex构造； f (x) 与 ex构造， 一方面是对 u v, u v 函数形式的考察， 另外一方面是对 (ex) ex的考察.所以对于 f (x) f (x)类型，我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x 理，“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x)ex，“”法优先考虑构造 F(x) f (x) ex . e2 x 【例 5】已知 f (x) 是定义在(,) 上的函数，导函数 f (x) 满足 f(x) f (x) 对于xR恒成立，则（）

10、A 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)B 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) C 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)D 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) ex 见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？ 同样exf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与ex之间的函数关系式，如果碰 函数 f (x) 满足 f(x) f (x) ，则 F(x) 0 ，F (x) 在R 上单调递减，根据单调性可 知 选 D. ，导 f (x) f

11、(x) ex exf (x) exf (x) e2 x 形式，则 F (x) f (x) ex 【解析】构造 F(x) 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. ex 思路点拨：满足“ f (x) f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后利用 enx 2、出现 f (x) nf (x) 形式，构造函数 F(x) f (x) . 结论：1、出现 f (x) nf (x) 形式，构造函数 F(x) enx f (x) ； ； f (x)enx nenxf (x) f (x)nf (x) e2nxenx ， F (x) f (x) enx F (x) F(x) enx

12、f (x) ，F (x) nenx f (x)enxf (x) enx f(x)nf (x)； 我们根据得出的结论去解决例 6 题. 【例 6】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x) 0, f (0) 1 ，则不等式 f (x) e2x的解集为 思路点拨：满足“ f (x) 2f (x) 0”形式，优先构造 F(x) f (x) ，然后利用 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 【解析】构造 F(x) f (x) e2 x 形式，则 F (x) e2 xf (x) 2e2 xf (x) e4 x f (x)2f (x) e2 x ， 导函数 f (x)

13、 满足 f(x) 2 f (x) 0 ， 则 F(x) 0 ， F (x) 在 R 上单调递增. 又 f (0) 1，则 F(0) 1， f (x) e2x f (x) 1 F(x) F(0) ，根据单调性得 x 0. e2 x 思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x) f (x) 2 ex 【变式提升】【变式提升】若定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x)2f (x)4 0, f (0) 1， 则不等式 f (x) e2x2的解集为 【例 7】已知函数 fx在 R 上可导，其导函数为 f x，若 fx满足： (x1) f x fx 0，f (2 x) f

14、xe 22x ，则下列判断一定正确的是（） （A） f(1) f (0)（B） f (2) e2f (0) （C） f (3) e3f (0)（D） f (4) e4f (0) 5 e2xe2x 思路点拨：满足“ f (x) f (x)”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后利用函数 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 【解析】构造 F(x) f (x) ex 形式，则 F (x) exf (x) exf (x) e2 x f (x) f (x) ex ，导 函数 f (x) 满足(x 1) f(x) f (x) 0，则x 1时F(x) 0，F(x)在1,)上单调递 增 .

15、当x 1 时F (x) 0 ，F(x)在(,1上 单 调 递 减 . 又 由 f (2 x) f (x)e22x F(2 x) F(x) F(x) 关于 x 1对称，根据单调性和图像， 可知选 C. 6 根据得出的关系式，我们来看一下例 8 【 例 8 】 已 知 函 数 y fx 对 于 任 意 的 x ( 2 2 ,) 满 足 f xcosx fxsinx 0（其中 fx是函数 fx的导函数），则下列不等式 不成立的是（） A 、 2 f f ()( ) 34 B、 2 f ( f ( 3 ) 4 ) C、 f (0) 2 f ( ) 4 D、 f (0) 2 f ( 3 ) 化后可知选

16、B. 2 2 满足 f x cosx f x sinx 0 ， 则F (x) 0，F(x)在(,)上单调递增.把选项转 ，导函数 f (x) f (x)cosx f (x)sin x cos2x 形式，则 F (x) f (x) cosx 【解析】构造 F (x) 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. cos x 思路点拨：满足“ fxcosx fxsinx 0”形式，优先构造 F (x) f (x) . f (x)cosx f (x)sin x cos2x , F (x) f (x) cosx F (x) F(x) f (x)cosx,F (x) f(x)cosx f (

17、x)sin x ； ； f (x)sin x f (x)cos x sin 2x , F (x) f (x) sin x F (x) F(x) f (x)sin x,F (x) f(x)sin x f (x)cosx ； （3）利用 f (x) 与sin x,cosx 构造. sin x,cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一 起看看常考的几种形式. 【变式提升】【变式提升】定义在(0, ) 上的函数，函数 f 2 (x) 是它的导函数，且恒有 7 3 23 f (x) f (x)tan x成立，则（ ） A、f () 4 f () 3 B、 f (1) 2f

18、() sin1 6 C、f () 6 f () 4 D、f () 6 f () 3 （二）构造具体函数关系式构造构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题. 【例 9】, , ，且sinsin 0 ，则下列结论正确的是（ 2 2 ） A、B、22C、D、 0 【变式提升【变式提升】定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (1)1且对xR, f (x) 1 则 ， 2 不等式 f (log x) log2x1 的解集为. 2 2 【例10】等比数列an中，a1 2，a8 4，函数f (x) x(xa1)(xa2).(xa8)， 2

19、 f (x) 0，f (x) 单调递增；x,0)时导函数 f(x) 0，f (x) 单调递减.有 f (x) 2 为偶函数，根据单调性和图像可知选 B. 【解析】构造 f (x) xsin x形式，则 f (x) sin x xcosx ， x0,时导函数 思路点拨：构造函数 f (x) x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即 可. ，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可. 2 2 t 1 2 f (t) 思路点拨：构造函数 F (x) f (x) 1 x2，令t log x ，然后原不等式等价于 思路点拨：满足“ f (x)sin x f (x)cos x ”形式，优先构造

20、 F (x) f (x) ，然后 sin x 利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 则 f (0) （ ） 2 8 A、26B、29C、212D、215 9 ) 812 f (x) g(x) xg(x) ， f(0) g(0) a a . a (2 4)4 212，故选 C. 【 解 析 】 令 g(x) (x a1)(x a2).(xa8) 形 式 ， 则f (x) xg(x) ， 思路点拨：构造函数 f (x) xg(x) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解 即可. f (x) sin 2x ，且x R，有f (x) f (x) 2 sin 2x ，则以下大小关系一定

21、正确的是（） f (5 4 A、) f () 63 B、f () 4 f () 【例 11】已知实数a,b,c 满 足 a 2ea b 1 c d 1 1，其中e是自然对数的底数， 那么(ac)2(bd)2的最小值为() A、8B、10C、12D、18 【变式提升】【变式提升】已知实数a,b满足2a25lnab 0，cR ，则 (a c)2 (bc)2 的最小值为 【课后作业】【课后作业】设函数f (x)在R上的导函数f (x) ， 在(0,)上 8 11 |022 2 为(0,2) ，所以(a c)2 (b d )2的最小值为 d 1 1c 1 d 2c g(x) 2 x ；由 f (x) 1 2ex 1，得 x 0，所以切点坐标 xa 1b a2e进 而 f (x) x 2e； 又 由 b a 2ea 【 解 析 】 由 思路点拨：把(a c)2 (b d )2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及 点到直线的距离即可. 思路点拨：构造函数 f (x) 2x2 5 ln x ， g(x) x ，然后利用两点之间的距 离公式和数形结合思想求解即可. ) 10 )C、f ( 5 6 f ( 4 3 D、f ( 4 f () 11 构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力， 是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。