1、曼哈顿距离曼哈顿距离 x x1 1- -x x2 2 + + y y1 1- -y y2 2 两种简单的处理策略两种简单的处理策略 2021年5月28日11： 22 题题01.01. 【星空数学群的群题】 点 P x1,y1是单位圆 x2+ y2=1上的动点， 点 Q x2,y2是直线 2x+y-6 =0上的动点， 记LPQ= x1-x2 + y1-y2,则LPQ的最小值为. 【方法一： 参数方程【方法一： 参数方程+ +主元思想主元思想+ +尖底锅模型】尖底锅模型】 因为点P x1,y1在椭圆x2+y2=1上， 故可设Pcos ,sin 因为点Q x2,y2在直线2x+y-6=0上， 故可设
2、Q x2,6-2x2 LPQ= x1-x2 + y1-y2=cos-x2+sin-6+2x2 将其看成关于x2的函数 其取最小值时，sin-6+2x2=0， 即x2=3- 1 2 sin 故x1-x2 + y1-y2min=cos-3+ 1 2 sin = 5 2 +-3sin 3- 5 2 ,3+ 5 2 所以LPQ的最小值为3- 5 2 . 【方法二： 数形结合】【方法二： 数形结合】 设设P x1,y1， 所以圆在点P x1,y1的切线方程为： x1x+y1y=1 当切线与已知直线平行时， 则有x1=2y1 因为P x1,y1在圆上， 则有x1 2+y 1 2=1 解得x1= 2 5 5
3、 ,y1= 5 5 ,故P 2 5 5 , 5 5 由图可知Q 3- 5 10 , 5 5 故x1-x2 + y1-y2min= PQ=xQ-xP=3- 5 2 . 题题02.02. 【宁波市2021届高三上学期期末考试T10】 设点P x1,y1在椭圆 x2 8 + y2 2 =1上， 点Q x2,y2 在 直线x+2y-8=0上， 则 x2-x1 + y2-y1的最小值为. 【方法一： 参数方程【方法一： 参数方程+ +主元思想主元思想+ +尖底锅模型】尖底锅模型】 因为点P x1,y1在椭圆 x2 8 + y2 2 =1上， 故可设P 2 2 cos , 2sin 因为点Q x2,y2在
4、直线x+2y-8=0上， 故可设Q 8-2y2,y2 x2-x1 + y2-y1= 8-2y2-2 2cos+ y2-2sin 将其看成关于y2的函数 其取最小值时， 8-2y2-2 2cos=0， 即y2=4-2cos 故x2-x1 + y2-y1min= 4-2cos-2sin= 4-2+ 4 sin 2,6 所以 x2-x1 + y2-y1的最小值为2. x y P Q 【方法二： 数形结合】【方法二： 数形结合】 设P x1,y1， 所以椭圆在点P x1,y1的切线方程为：x1x 8 + y1y 2 =1 当切线与已知直线平行时， 则有x1=2y1 因为P x1,y1在椭圆上， 则有
5、x1 2 8 + y1 2 2 =1 解得x1=2,y1=1,故P 2,1 由图可知Q 2,3 故x1-x2 + y1-y2min= PQ=yQ-yP=2. 题03.题03. 【2020 学年第二学期浙江北斗星盟 5 月阶段性联考 T17】 设点 P x1,y1在椭圆 x2 2 + y2= 1 上， 点Q x2,y2在直线x+4y-4=0上， 则 x1-x2 + y1-2y2的最小值为. 【方法一： 参数方程+主元思想+尖底锅模型】【方法一： 参数方程+主元思想+尖底锅模型】 因为点P x1,y1在椭圆 x2 2 +y2=1上， 故可设P 2cos ,sin 因为点Q x2,y2在直线x+4y
6、-4=0上， 故可设Q 4-4y2,y2 x1-x2 + y1-2y2=2cos-4+4y2+sin-2y2 将其看成关于y2的函数 其取最小值时， 2cos-4+4y2=0， 即y2=1- 2 4 cos 故x1-x2 + y1-2y2min=sin-2 1- 2 4 cos = 6 2 +-2sin 2- 6 2 ,2+ 6 2 所以 x1-x2 + y1-2y2的最小值为2- 6 2 . 【方法二： 数形结合】【方法二： 数形结合】 原题等价于设点 Px1,y1在椭圆 x2 2 + y2= 1 上， 点 Q x2,y2 在直线 x + 2y - 4 = 0 上， 则 x1-x2+ y1-y2 的最小值为. 设P x1,y1， 所以椭圆在点P x1,y1的切线方程为：x1x 2 +y1y=1 当切线与已知直线平行时， 则有x1=y1 因为P x1,y1在椭圆上， 则有 x1 2 2 +y12=1 解得x1=y1= 6 3 ,故P 6 3 , 6 3 由图可知Q 6 3 ,2- 6 6 故x1-x2 + y1-y2min= PQ=yQ-yP=2- 6 2 . x y P Q x y P Q
