（高中数学优秀教学设计word版）湖南-等比数列前n项和（钟辅君）.doc

1、说课题目：等比数列的前说课题目：等比数列的前 n n 项和（第一课时）项和（第一课时） 长沙市六中钟辅君 （选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节） 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现 实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公 式推导过程中所渗透的类比、 化归、 分类讨论、 整体变换和方程等思想方法， 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养 2.从学生认知角度看 从学生的思维特点看， 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的 形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是

2、：本 节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同， 这对学生的 思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤 其是在后面使用的过程中容易出错 3.学情分析 教学对象是刚进入高中的学生， 虽然具有一定的分析问题和解决问题的 能力， 逻辑思维能力也初步形成， 但由于年龄的原因， 思维尽管活跃、 敏捷， 却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨 4. 重点、难点 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用 公式推导所使用的 “错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的 方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重

3、点也是难点 二、目标分析 知识与技能目标： 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点， 在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标： 通过对公式推导方法的探索与发现， 向学生渗透特殊到一般、 类比与转 化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能 力和逆向思维的能力 情感与态度价值观： 通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点 三、过程分析 学生是认知的主体， 设计教学过程必须遵循学生的认知规律， 尽可能地 让学生去经历知识的形成与发展过程， 结合本节课的特点， 我设计了

4、如下的 教学过程： 1.创设情境，提出问题 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大 为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个 方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都 是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国 王大吃一惊为什么呢？ 设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生 的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点 此时我问： 同学们， 你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出 麦粒总数 带着这样的问题， 学生会动手算了起 来，他们想到用计算器依次算出

5、各项的值，然后再求和这时我对他们的这 种思路给予肯定 设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不 得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位 相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是 合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整 个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难 的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方 法，为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动，探究问题 在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，2 2，263是什么数列？有何 特征？应归结为什么数学问

6、题呢？ 探讨 1：，记为（1）式，注意观察每一项 的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍） 探讨 2： 如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两 边同乘以 2 则有，记为（2）式比较（1） (2）两式，你有什么发现？ 设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的 公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义” 的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿 做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机 经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把 两式相减，相同的项就消去了，得到：老师指出：这就是

7、错位 2363 1+2+2 +2 +2 2363 1+2+2 +2 +2 2363 64 设s=1+2+2 +2 +2 s 236364 64 2=2+2 +2 +2+2 64 64 21s 相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？ 设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不 禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功 的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心 3.类比联想，解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化， 这里， 让学生自主完成， 并喊一名学生上黑板， 然后对个别学生进行指导 设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊

8、到一般，从已知到 未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快 和成就感 对不对？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是 什么数列？此时 sn=？（这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时 为后面的例题教学打下基础） 再次追问：结合等比数列的通项公式 an=a1q n-1,如何把 s n用 a1、an、q 表 示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识， 完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知 识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力这一 环节非常重要，尽管时间有时

9、比较少，甚至仅仅几句话，然而却 有画龙点睛之妙用 4.讨论交流，延伸拓展 在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？ 我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出 sn呢？根据等比数列的定义又有 234n 123n-1 aaaa = q aaaa ，能否联想到等比定理从而求出 sn呢？ 设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学 生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 11 nn qsas, 这其实就是关于 n s的一个递推式，递推数列有非 常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源 于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用

10、. 5.变式训练,深化认识 公比为 ，q q n 如何求前n项和s ？ 2n-1n-2 n11111111 s =a +aq+aq +aq=a +q(a +aq+aq) 1 1 1 1 例1: 求等比数列 , , , 前8项和； 2 4 8 16 63 1 1 1 1 1、 等比数列 , , , 前多少项的和是? 2 4 8 16 64 ,510 1 1 1 1 2、 等比数列 , , ,求第 项到第项的和. 2 4 8 16 1 1 1 1 3、 等比数列 , , , 求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16 n1设等比数列 a,首项为a , n 11 n n11n a - a q (

11、1- q)s = a - a q s = 1- q 在学生推导完成后,我再问:由得 首先， 学生独立思考， 自主解题， 再请学生上台来幻灯演示他们的解答， 其它同学进行评价，然后师生共同进行总结 设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识 和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三 个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以 上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞 争意识 6.例题讲解，形成技能 设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨， 该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想 7.总结归纳，加深理解 以问题的形式

12、出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回 答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结 设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力 8.故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.8410 19粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑 现不了他的承诺 设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服 疲倦、继续积极思维 9.课后作业，分层练习 必做： P129 练习 1、2、3、4 选作： （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

13、灯三百八十一，请 问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？ 设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让 学有余力的学生有思考的空间 四、教法分析 对公式的教学， 要使学生掌握与理解公式的来龙去脉， 掌握公式的推导 方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系在教学中，我采用 “问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结 规律、应用规律四个阶段 利用多媒体辅助教学， 直观地反映了教学内容， 使学生思维活动得以充 分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率 23n-1 1+a+a +a +a. 例2：求和 . 23n x+2x +3x +nx 思考题(1):求和 五、评价分析 本节课通过三种推导方法的研究， 使学生从不同的思维角度掌握了等比 数列前 n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系， 揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过 程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判 性同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形 成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、 合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质