（高中数学优秀教学设计word版）青海-两角和与差的余弦（赵永利）.doc

1、课例：两角和与差的余弦课例：两角和与差的余弦 青海省西宁市第十中学赵永利 教材：人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第六 节，共需 3 课时，本节课是第一课时。P34-36 一、教材分析：一、教材分析： 、地位和作用、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、 余弦线和诱导公式等知识的延伸， 是后继内容二倍角公式、 和差化积、 积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角 函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主 要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公 式。 、教学目标：、教学目标： 1

2、1、知识目标：、知识目标： 、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； 、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； 、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2 2、能力目标：、能力目标： 、培养学生逆向思维的意识和习惯； 、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； 、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3 3、情感目标：、情感目标： 、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； 、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而 应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设

3、计三 方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。 ） 、教学重、难点：、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点， 也是本节的一个难点。 （设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是两角和余 弦公式推导的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以 是本节的一个重点。由于 两角和与差的余弦公式的推导和应 用对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒 等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因 此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的 复杂性，所以也

4、是一个难点。） 二、教学方法：二、教学方法： 1、创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了 引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意 义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。 给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够 提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统 一。 ） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中平面内两点间距离公式虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说 仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观 性，

5、减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助 学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动 画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。 ） 三、学法指导：三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别 是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体 现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程：四、教学过程： 教学程 序 设

6、计 意 图 课 题 引 入 引言：同学们，前面我们学习了任意 角的三角函数，我们知道它也是一种 运算。在以前的运算中有乘法对加法 的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos （+）=cos+cos是否也成立 呢？如果成立为什么？如果不成立， 它又等于什么呢？这正是我们今天要 研究的内容。 揭示课题：两角和与差的余弦。 通过创设问 题情境，自 然流畅地 提出问题， 揭示课题， 引发学生 思考。使学 生 目 标 明 确、迅速进 入角色。 复 习 提 问 1、 画出一个锐角、 一个钝角的正弦线、 余弦线。 2、 如果角的终边与单位圆相交于点 P， 点 P 的坐标能否用角的三角函数 值表示？怎样

7、表示？ 3、写出同一坐标轴上两点间距离公 式。 通过复习使 学生熟悉基 础知识、特 别是用角的 正、余弦表 示特殊点的 坐标，为新 课的推进做 准备。 引 入 新 课 1、回答“cos（+）=cos+cos 是否成立”这个问题之前，让学生先 讨论“cos（45 0+300）=cos450+cos300 是否成立？” 。（学生可能通过计算器、 量余弦线的长度、特殊角三角函数值 和余弦函数的值域三种途径解决问 学生通过独 立思考和分 组讨论，可 以用特殊值 法证明猜想 不成立，三 题） 。得出 cos（45 0+300）cos450 +cos30 0 。进而得出 cos（+） cos+cos这个结

8、论。 此时再次提 出那么 cos（+）又等于什么呢？ 2、在解决上面的问题之前，我们先来 解决“平面内两点间距离的求法”这 一问题。通过上面的复习，我们已经 熟悉了同一坐标轴上两点间距离公 式。那么，平面内两点间距离与坐标 有什么样的关系呢？（通过动画演示 让学生体会平面内两点间距离和同一 坐标轴上两点间距离的关系。 种方法的出 现，培养学 生多角度考 虑问题的发 散 思 维 能 力，合作学 习的习惯。 随后的提问 会激发学生 想要解决问 题的主观需 要，提高思 维 的 主 动 性。 教 学 过 程 1、分析：设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） 则有：M1（x1，0） ，M2（x2，

9、0）,N1（0， y1） ，N2（0，y2） 。 通过演示课件提出问题：P1P2 的长度与什么有关？（请 设计出算法） 根据右图写出 M1M2和 N1N2。 P1Q= M1M2=x2-x1 QP2= N1N2=y2-y1 根据勾股定理写出 P1P2 2=P 1Q 2+QP 2 2=(x 2-x1) 2+(y 2-y1) 2 由此得平面内 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） 两点间的距离公式: P1P2=(x2-x1) 2+(y 2-y1) 2 2、在直角坐标系内做单位圆，并做出 任意角,+和-。 它们的终边分 1、通过几何 画板动态演 示，给学生 以 直 观 感 受，让他们 认识到：平

10、面内两点间 距离和同一 坐标轴上两 点间距离总 能构成一个 直 角 三 角 形，利用勾 股定理即可 解决。 2、两角和余 别交单位圆于 P2、P3和 P4点，单位圆 与 X 轴交于 P1。 则：P1(1,0)、P2 （cos，sin） 、 P3（ cos （ + ）， sin （+） ） 、 弦公式的证 明中存在两 个困难： 三角函数表 示单位圆上 点的坐标， 它虽然算理 简单，但学 生由于陌生 而 很 不 习 惯，通过前 面习环节应 该 有 所 熟 悉。在用 到：cos 2 （ + ） +sin 2 （+）=1 时，需要教 师 特 别 指 出，公式中 只 要 求 是 “同角” ，并 不在乎角

11、的 具体度数和 形式。 3、两角和的 余弦学完之 后，要强调 其中两角均 为任意角， 这样一来， 例 2、已知 sin =，（， ） ，cos=-, （，） ， 求 cos（-） 、cos（+） 。 公式提示： cos （- ） = cos cos+ sin sin cos （+）= cos cos- sin sin 6、例 2 的目的 在于熟悉公式， 同时对同角三 角函数关系有 复习的作用， 其 难度不是很大， 在提供了公式 之后， 学生应当 能够完成. 由 P1P3=P2P 4（同圆 相等的 圆心角 所对弦 相等） 及两点 间距离 公式， 得： cos （+ ） -1 2+s in （+

12、） -0 2 =cos( -)-c os 2+ sin （-） -sin 2 展开整 理合并 得： 求 证 : （ 1 ） cos （- ） = sin （ 2） sin （- ） = cos 证明： （ 1 ） cos （- ） =cos cos +sin sin = sin （ 2 ） sin （- ） =cos - （ -） = cos = 两角差的余 弦只是两角 和的余弦的 特殊形式。 4、两个诱导 公式学生在 初中就学习 过，但今天 应 通 过 证 明，并将以 前的锐角拓 展 到 任 意 角。 （2）式 的证明实际 上是（1）式 的逆应用， 体现了代数 思想，也实 践了学以制 用的原

13、则。 5、例 1 的作 用一方面让 学生熟练两 角和与差的 余弦公式， 另一方面也 向学生展示 了公式的一 种实际应用 价值，即： 将非特殊角 转化为特殊 角 的 和 与 差。 小 结 本节课我们学习了下面两组公 式，在公式的记忆上，我们应注 意函数和符号的变化。 1、平面内两点间距离公式：P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2 2、两角和与差的余弦： （同名之积相加减，运算符号左同名之积相加减，运算符号左 右反。右反。） cos（+ +）= cos cos- - sin sin cos（- -）= cos cos+ + sin sin 7、小节以十 四字口诀概 括两角和与 差的三角函

14、 数关系式， 既体现了公 式的本质特 征，又朗朗 上口，便于 记忆。有助 于学生对本 节课的内容 更 好 地 掌 握。 练 习 巩 固 1、课堂练习（P38） 、第 2 题（3） 、 （4） 。 、第 3 题（2） 、 （3） 。 2、课后作业 P40 习题 4.6 第 2 、 3、(2)、(3) 3、思考题： 试运用今天所学知识和方法证明： sin （ + + ） =sin cos+ +cos sin sin （ - - ） =sin cos- -cos sin 8、课堂练习 有助于学生 进一步熟悉 公式，加深 学生对公式 的理解和认 识。回馈教 学效果。思 考题对学生 本节课所学 知识方法

15、的 考察要求较 高，但能力 较强学生能 够完成，也 是为下一节 课的内容做 准备。体现 问题必须略 高于学生现 有知识水平 的原则。 设计说明 本节课授课内容为人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四 章三角函数第六节，共需 3 课时，本节课是第一课时。本节课的教学对正弦线、 余弦线定义；用角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；同圆上相等的圆心角 所对的弦长相等这些知识有较强的依耐性，因此在复习环节做了必要的准备。 本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问 题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完 整体现。在教学手段上使用多媒体技术，使重点得

16、到突出，抽象变得直观，有 效增加课堂容量。 在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学 生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角和的 余弦公式得到后，利用代数思想推出两角差的余弦公式和诱导公式，使学生进 一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的 印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中， 突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也 为下一节内容的学习做准备。 您 想 拥 有 邮 箱 吗 ？ 创 纪 录 16G 超 大 容 量（送 6G 免 费 网 盘） ，最 高 性 价 比 的 电 子 邮 件 解 决 之 道