（高中数学优秀教学设计word版）云南-点到直线的距离（李刘祥）.doc

1、教教案案 授课教师：云南省昆明市第三中学授课教师：云南省昆明市第三中学李刘祥李刘祥 课题：点到直线的距离课题：点到直线的距离 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修） 数学第二册（上）第数学第二册（上）第 七章第七章第 3 节节 教学目标：教学目标： (1) 至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法， 能用公式来求点到直能用公式来求点到直 线距离。线距离。 (2) 培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。 (3) 认识事物认识事物（知识知识）之间相互联系

2、之间相互联系、互相转化的辩证法思想互相转化的辩证法思想，培养学生培养学生 转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。 (4) 培养学生团队合作精神培养学生团队合作精神， 培养学生个性品质培养学生个性品质， 培养学生勇于探究的科培养学生勇于探究的科 学精神。学精神。 教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习学习方法：任务驱动下的研究性学

3、习 教学时间：教学时间：45 分钟分钟 教学过程：教学过程： 1 .教师提出问题，引发认知冲突（约教师提出问题，引发认知冲突（约 5 分钟）分钟） 问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点 P（x0,y0）和一条定直线）和一条定直线 l： Ax+By+C=0，那么如何求点，那么如何求点 P 到直线到直线 l 的距离的距离 d？请学生思考并回答。？请学生思考并回答。 学生学生 1：先过点先过点 P 作直线作直线 l 的垂线的垂线，垂足为垂足为 Q，则则| |PQ| |就是点就是点 P 到直线到直线 l 的的 距离距离 d；然后用点斜式写出垂线方程然后用点斜式写

4、出垂线方程，并与原直线方程联立方程组并与原直线方程联立方程组，此方程组的此方程组的 解就是点解就是点 Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出的坐标；最后利用两点间距离公式求出| |PQ| |。 接着接着， 教师用投影出示下列教师用投影出示下列 5 5 道道题题( (尝试性题组尝试性题组)， 请请 5 5 位学生上黑板练习位学生上黑板练习 （第第 （4 4）题请一位运算能力强的同学，）题请一位运算能力强的同学，其余学生其余学生在在下面自己练习下面自己练习，每做完一题立即，每做完一题立即 讲评讲评） ： (1)(1)求求 P（1,2）到直线）到直线 l：x=3 的距离的距离 d;（答案：（答案：d

5、=2） (2)(2)求求 P（x0,y0）到直线）到直线 l：By+C=0（B0）的距离）的距离 d； （答案：（答案： 0 C dy B ） (3)(3) 求求 P（x0,y0）到直线）到直线 l：Ax+C=0（A0）的距离）的距离 d； （答案：（答案： 0 C dx A ） (4)(4) 求求 P（6,7）到直线）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离的距离 d； （答案：（答案：d=1） (5)(5) 求求 P（x0,y0）到直线）到直线 l：Ax+By+C=0（AB0）的距离）的距离 d。 第第（1）容易容易、 （2）和和（3）题虽然含有字母参数题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比

6、较特但由于直线的位置比较特 殊，学生不难得出正确结论；第（殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生）题虽然运算量较大，但按照刚才学生 1 回回 答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字）题虽然思路清晰，但由于字 母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。 2教师启发引导，学生走出困境（约教师启发引导，学生走出困境（约 8 分钟）分钟） 教师：根据以上教师：根据以上 5 位学生的运算结果，你能得到什么启示？位学生的运算结果，你能得到什么启示？ 学

7、生学生 2：当直线的位置比较特殊当直线的位置比较特殊（水平或竖直水平或竖直）时时，点到直线的距离容易求点到直线的距离容易求 得得，而当直线是倾斜位置时则较难而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但但 具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。 教师：那么，练习（教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根 据刚才的第据刚才的第（2） 、 （3）的启示的启示，借助水平借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜竖直情形和平面几何知识来

8、解决倾斜 即一般情况呢？请同学们思考。即一般情况呢？请同学们思考。 学生学生 3：能！如图：能！如图 1，过点，过点 P 作作 x、y 轴的垂线分别交轴的垂线分别交 直线直线 l 于于 S、R，则由三角形面积公式可得，则由三角形面积公式可得 | |PQ|=|=（|PR|PR|PS|PS|）/|RS|/|RS| 教师：教师：|PR|PR|怎么求？怎么求？|PS|PS|又怎么求？又怎么求？ 学生学生 3 3：设：设 R R（x1,y0） ，则由，则由 Ax1+By0+C=0， 得得 x1= （By0+C）A， |PR|=|PR|=| x0- x1|=|=|Ax0+By0+C| | |A| |； 同

9、理：同理：|PS|=|PS|=|Ax0+By0+C| | |B| |。 教师：教师：|RS|RS|怎么求？怎么求？ 学生学生 3 3：|RS|=|RS|= 22 PSPR= =（ 22 BA / / |AB|AB|）| |Ax0+By0+C| |。 教师：教师：| |PQ| |结果是什么？结果是什么？ 学生学生 3 3：| |PQ|=|= 22 00 BA CByAx 。 教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？ 学生学生 4：当当 A=0 或或 B=0 时时，PRS 不存在不存在，故应说明公式当故应说明公式当 A=0 或或 B=0 时时 是否适

10、用？是否适用？ 由（由（2） 、 （3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。 3 .教师提出问题，学生分组讨论（约教师提出问题，学生分组讨论（约 10 分钟）分钟） 教师教师： 推导点到直线的距离公式的方法不少推导点到直线的距离公式的方法不少。 前面我们学了函数前面我们学了函数、 三角函数三角函数、 向量向量、不等式等数学知识不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推采用不同方法来推 导这个公式吗？请同学们先独立思考导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流然后在小组上进

11、行讨论交流， 由组长负责由组长负责 记录。记录。10 分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物 投影进行投影进行“成果成果”交流。交流。 学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问 4.学生交流学生交流“成果成果” ，教师点评小结（约，教师点评小结（约 16 分钟）分钟） 经过约十分钟的研讨经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法各小组都找到了新的推导方法。于是教师请于是教师请 4 名代表名代表 依次上讲台依次上讲台（让准备成熟的先讲让准备成熟的先讲）

12、 ，借助实物投影介绍本组的借助实物投影介绍本组的“成果成果” 。由于时间由于时间 关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过 4 分钟，且各组的方法不能重复。分钟，且各组的方法不能重复。 学生学生 5：我们用的是：我们用的是“设而不求，整体代换设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏幕的数学思想。请看投影屏幕： P(x0,y0) Ox y l S R d Q 图 1 设设 Q 的坐标为（的坐标为（x1,y1） ，则直线，则直线 PQ 的斜率的斜率 k1= 10 10 yy xx ，又直线，又直线 l 的斜的斜 率率 k= - B A ，于是由，于是由 PQ

13、l 得得,k1k= -1 即即 B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 又因为又因为 Ax1+By1+C=0， 即即 Ax1+By1=-C 两边同减两边同减 Ax0+By0得得A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) 于是于是2+2得得,(A2+B2)(x1-x0)2+(y1-y0)2= (Ax0+By0+C)2, 即即(A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2 所以所以d= = 22 00 BA CByAx 。 教师教师： “设而不求设而不求，整体代换整体代换” ，真是奥妙无穷真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的这是解析几何减少运算量的 有效途径，同时也体

14、现了数学的内在美，妙不可言。有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。 学生学生 6：我们小组向大家介绍一种独特的方法我们小组向大家介绍一种独特的方法向量法向量法，请看投影屏幕请看投影屏幕： 如图如图 2，设，设 T（x1,y1）为直线）为直线 l 上的任意一点，上的任意一点，则则 Ax1+By1+C=0，PT=（x1-x0，y1-y0） PQ直线直线 l ， PQ平行于直线平行于直线 l 的法向量的法向量n=（A，B） 另设另设n与与PT的夹角为的夹角为，则，则nPT=PTncos 即即| |A(x1-x0)+B(y1-y0)|=|= 22 BA | |PT| cos| | 即即| |A

15、x0+By0+C|=|= 22 BA d d= = 22 00 BA CByAx 。 教师教师：向量是数量与图形的有机结合向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问解析几何是用代数的方法解决几何问 题题，两者都体现了数形结合的思想两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点第三小组的推导方法证明了这一点，也再次也再次 说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效。 学生学生 7： ：我们小组向大家介绍向量的另一种：我们小组向大家介绍向量的另一种 方法，妙用向量数量积的性质

16、请看投影屏幕方法，妙用向量数量积的性质请看投影屏幕： 如图如图 3，设垂足是点，设垂足是点 H(m,n)， 00 HMxm,yn 与 直线直线 l 的法向量的法向量nA,B 共线，共线， T(x1,y1) O x y l d P(x0,y0) Q 图 2 00 0000 HMnHMnxm,ynA,B AXByAmBnAXByC 00 22 HMn AXByC dHM. nAB 这是相当简单的方法了。这是相当简单的方法了。 教师：教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工巧夺天工” ，与其他与其他 方法相比，这种方法相比，这种方法有绝对优势，

17、我们必须重视对向量工具性的研究和应用方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。 学生学生 8 8： 刚才三个小组的证明方法确实精彩刚才三个小组的证明方法确实精彩， 我们我们也也发现了一种发现了一种巧妙巧妙的的方法方法， 把它把它称称为为“柯西不等式法柯西不等式法”，请看，请看投影屏幕：投影屏幕： 我们知道我们知道， P 点到直线点到直线 l 的距离的距离,实质上是点实质上是点 P 与直线与直线 l 上任意一点上任意一点 T 的距离的距离 的最小值的最小值， 于是我们设于是我们设 T （x1,y1） 为直线为直线 l 上的任一点上的任一点 （如图如图 2） ， 则则 Ax1+By1+

18、C=0， 而而 d=|PT|=|PT|min min，于是 ，于是|PT|=|PT|= 2 10 2 10 )()(yyxx = = 22 2 10 2 10 )()( BA yyxx 22 BA ， 利用柯西不等式，便有利用柯西不等式，便有|PT|PT| 22 2 1010 )()( BA yyBxxA = = 22 00 BA CByAx ， 所以所以 d= = 22 00 BA CByAx ，此时，此时 0101 ()()B xxA yy，即，即 PT 垂直于直线垂直于直线 l。 教师教师：这一证法果然十分巧妙这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富包含的数学思想十分丰富。由由点到直

19、线的距点到直线的距 想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化转化”中问题得到圆满解决中问题得到圆满解决。 同时也体现了不等式的工具作用。同时也体现了不等式的工具作用。 5.公式应用（学生练习，约公式应用（学生练习，约 3 分钟）分钟） （1） 求求 P（6,7）到直线）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离的距离 d. （直接代公式得答案：（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（，检验尝试性题组第（4）的答案）的答案） （2）求求 P（-1,1）到直线）到直线 l：21yx的距离的距离 d. （先化直线方程为一般式再代公式得答案：（先化直

20、线方程为一般式再代公式得答案： 4 5 5 d ） 6.教师小结并布置作业（约教师小结并布置作业（约 1 分钟）分钟） 这节课我们学习了点到直线的距离公式这节课我们学习了点到直线的距离公式， 在公式的推导中学到了许多重要的在公式的推导中学到了许多重要的 数学思想和方法数学思想和方法，感受到了数学的奥妙感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦也感受到了成功的喜悦。其实这个公式其实这个公式 的推导方法不下十种的推导方法不下十种，由于课堂上时间紧由于课堂上时间紧，许多同学有创造性的推导方法不能进许多同学有创造性的推导方法不能进 行展示行展示、交流交流，请同学们撰写一篇题为请同学们撰写一篇题为点到直线

21、距离公式的多种推导方法点到直线距离公式的多种推导方法的的 数学小论文，作为本节课的作业，允许三到四人合作完成。数学小论文，作为本节课的作业，允许三到四人合作完成。 设计说明：设计说明： 数学公式的教学应包含两个部分数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用公式的推导和公式的运用。由于受应试教由于受应试教 育的影响育的影响，前者往往被前者往往被“轻描淡写轻描淡写” ，而后者却搞得而后者却搞得“轰轰烈烈轰轰烈烈” ，这显然与这显然与“重重 结论结论，但更重过程但更重过程”的现代教育理念相违背的现代教育理念相违背。其实数学公式的推导都蕴含着丰富其实数学公式的推导都蕴含着丰富 的数学思想和数

22、学方法的数学思想和数学方法， 谁忽视了这个谁忽视了这个 “产生过程产生过程” ， 谁就忽视了数学的谁就忽视了数学的 “精髓精髓” ， 谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。 这节课把研究性学习引入公式的教学这节课把研究性学习引入公式的教学，让学生真正成为课堂的主人让学生真正成为课堂的主人。在推导在推导 公式的过程中，学生通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼了意志公式的过程中，学生通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼了意志， 增强了信心。其实所有公式的教学、定理的教学都应向这个方向努力。增强了信心。其实所有公式的教学、定理的教学都应向这个方向努力

23、。 数学教学数学教学，从根本上讲就是提高学生的数学素质从根本上讲就是提高学生的数学素质，提高学生的数学素质的有提高学生的数学素质的有 效途径有二效途径有二：其一其一，使学生善于总结使学生善于总结，使零乱的知识系统化使零乱的知识系统化、综合化综合化；其二其二，使使 学生善于联想学生善于联想，培养发散性思维培养发散性思维。本节课使学会从不同的角度思考问题本节课使学会从不同的角度思考问题，加强知加强知 识间的联系识间的联系，正是锻练正是锻练、提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力，从而提从而提 高数学素质。高数学素质。 通过公式求点到直线的距离并不困难通过公

24、式求点到直线的距离并不困难，但这个公式的推导方法不下十种但这个公式的推导方法不下十种，且且 各种推导都蕴含着重要的数学思想各种推导都蕴含着重要的数学思想、方法方法，由于课堂上时间紧由于课堂上时间紧，许多同学的有创许多同学的有创 造性的推导方法不能进行展示造性的推导方法不能进行展示、交流交流，故课外请同学们撰写一篇题为故课外请同学们撰写一篇题为点到直线点到直线 距离公式的多种推导方法距离公式的多种推导方法的数学小论文作为本节课的作业的数学小论文作为本节课的作业。考虑到同学的个体考虑到同学的个体 差异差异，故允许三到四人合作完成故允许三到四人合作完成。同时通过学生小论文的完成情况对这节课的教同时通过学生小论文的完成情况对这节课的教 学效果作出评价。学效果作出评价。 本课设计有一定的弹性本课设计有一定的弹性，实际教学中实际教学中，学生想到的推导方法不一定是上述几学生想到的推导方法不一定是上述几 种种， 我将针对每一种方法的特点进行适当的点评我将针对每一种方法的特点进行适当的点评。 进行交流的学生不一定是四人进行交流的学生不一定是四人， 若时间不够，公式应用留到下节课，本节课只完成公式推导。若时间不够，公式应用留到下节课，本节课只完成公式推导。