数学文化专项习题集 试题版.doc

1、数学文化专项习题集 110 题 一、数学文化与阅 读.2 二、数学文化与函 数.6 三、数学文化与数 列.8 四、数学文化与新定 义. 14 五、数学文化与三角函数. 17 六、数学文化与立体几何. 20 七、数学文化与概率统计. 27 八、数学文化与排列组合. 32 九、数学文化与解析几何. 33 第 1 页 共 34 页 一、数学文化与阅读 例 1.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中,用如图 1 所示的三角 形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后,法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所

2、以有些书上称这是“中国 三角形”(Chinese triangle).17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨 辉三角中相邻两行满足关系式:C + C+1= C+11,其中 n是行数,rN.请类比上式,在莱布尼茨 三角形中相邻两行满足的关系式是. 图 1图 2 例 2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切 三角函数等等，其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的.1715 年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并 适用于所有函数，这就是后来被人们所熟

3、知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式： e x xxxxxx n0123n ，其中xR， nN ，n!1234n， 例如： * 0n! 0!1!2!3!n! n 1 2 0!1，1!1，2!2，3!6.试用上述公式 估计 e 的近似值为（精确到 0.001）（） A1.601B1.642C1.648D1.647 例 3.“克拉茨猜想”又称“3n1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会 上公布的一个猜想:任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它 乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1.已知正整数n经过 7 次 运算后首

4、次得到 1，则n的所有不同取值的集合为_. 第 2 页 共 34 页 例 4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n， 如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必 然是 1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明.例如取n13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数是 （） A9B10C11D12 例 5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵

5、横两种形式（如图所示），表示一个 多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵 横相间，其中个位、百位、方位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则 56846 可用算筹表示为（） AB CD 例 6.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1 所示. 金元时期的数学家李冶在测圆海镜中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程 中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即 “设 x为某某”.如图 2 所示的天元式表示方程 1 ，其中 a xna xnaxa 0110 nn01

6、10 a，a， ， 01 ，a表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记 a n1n 一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂. 第 3 页 共 34 页 试根据上述数学史料，判断图 3 天元式表示的方程是（） A x2286x17430 B x427x284x163 0 C1743x2286x10D 163x84x27x10 43 例 7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在 20 世纪 70 年代创立的一门数学新分支，其中的 “谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边 的中点为顶点的三角形)，

7、然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述 方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)， 按上述操作 7 次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（） A3B3C3D3 5678 例 8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十 二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪 年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉，甲戌、乙亥、丙子癸未，甲申、乙酉、 第 4 页 共

8、 34 页 丙戌癸巳，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019 年是“干支纪 年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支纪年法”中的 A甲辰年B乙巳年C丙午年D丁未年 例 9.周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴 素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近 代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数 表示如下： 卦名符号表示的二进制数表示的十进制数 坤0000 艮0011 坎0102 巽0113 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是

9、() A33B34C36D35 例 10. 中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数， 由图可知，这位古人共捕鱼（） A89 条B113 条C324 条D445 条 第 5 页 共 34 页 二、数学文化与函数 例 11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太 极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称 统一的形式美、和谐美定义：图象能够将圆 O 的周长和面积同时等分 成两部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，给出下列命题： 对于任意一个

10、圆 O，其“太极函数”有无数个； 函数 f(x)ln(x2x21)可以是某个圆的“太极函数”； 正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”； 函数 yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数 yf(x)的图象是中心对称图形 其中正确的命题为() ABCD 例 12.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparchus ，又名依 巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值 越大，它的光就越暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普 森( M.R.Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮

11、度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮 度来描述.两颗星的星等与亮度满足mmEE.其中 星等为 122.5 lg 2 lg 1 m的星的亮度为 i Ei1, 2.已知“心宿二”的星等是 1.00.“天津四”的星等是 1.25.“心宿二”的亮度是“天津四” i 的r 倍，则与r 最接近的是(当x较小时， 10 x12.3x2.7x2) A1.24B1.25C1.26D1.27 例 13.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但 实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长 边时，便不能继续对折了，一张长边为 w ，厚度为 x的

12、矩形纸张沿两个方向不断对折，则经 过两次对折，长边变为 1 2 w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系： n 2w log（注：lg20.3 ），根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm的纸 最多 2 3x 能对折_次. 例 14.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主要由 九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的 第 6页 共 34页 另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游戏按某种规则 将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为 fn（n9

13、且nN*），已知f11，f21，且通过该规则可得 fnfn12fn21，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（） A7 B16C19D21 例 15. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法 是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使 在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶算 法计算当x0.6时函数 fxxxx的值时，需要进行加法运算的次数及函数值 42 3 3 2 4 分别为（） A3，5.6426B4，5.6426 C3，5.6416D4，5.6416 第 7 页 共 3

14、4 页 三、数学文化与数列 例 16. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日， 长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1 天长高 3 尺，莞草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2 倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲 草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771，lg2 0.3010) 例 17. 腾讯公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度，设等级为n级需要的天数为 anN， (*) n 等级等级图标需要天数等级等级图

15、标需要天数 15777 212896 32112192 43216320 545321152 660482496 则等级为50级需要的天数a _ 50 例 18. 我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩 二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就 是：求正整数N，使N除以 3 余 2，除以 5 余 2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所 有正整数数列a、b，a满足被 3 除余 2，a，b满足被 5 除余 2，b，把 1212 nnnn 数列a与b相同的项从小到大组成一个新数列，记为c，则下列说法正确的是（） nnn

16、AcabBca bCcaD abc 2116231046 12 2 4 第 8 页 共 34 页 例 19. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一 个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走 了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（） A96 里B72 里C48 里D24 里 例 20. 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春

17、、春分日影之 和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A一尺五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸 例 21. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正 三角形的数，如 1，3，6，10，15，.我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴中所记载 的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上 一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球，）.若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该 堆垛总共球的个数为（） A55B220C285D385 例 22. 造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规

18、格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成 一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、A10；B0、B1、B10等 标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规 格为：A0规格的纸张的幅宽（以 x表示）和长度（以 y 表示）的比例关系为 x: y1:2 ； 将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1 规格.A1 纸张沿长度方向对开成两等分， 第 9 页 共 34 页 便成为A2 规格，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、A8纸各一张.若A4 纸的 面积为624cm2，则这 9 张纸的面积之和等于_cm . 2 例 23. 周髀算经中有这样一

19、个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、 立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为_ 例 24. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤 有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若 记堤与枝的个数分别为m,n，现有一个等差数列a，其前n项和 为 n S， 且 n am，S n， 26 则a（） 4 A84B159C234D243 例 25. 在进行123100的求和运算时，德国大数学

20、家高斯提出了倒序相加法的原理， 该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法. 已知数列 a n n 2m 4034 ，则a1 a2.am 2016 （） mm A504B504 24 Cm504D2m504 例 26. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二 人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙 两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人 各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为_. 例 27. “中国剩余定理”又称“孙

21、子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之 剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数 中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各 项之和为（） A56383B57171C59189D61242 第 10 页 共 34 页 例 28. 张邱建算经是我国古代内容极其丰富的数学名著书中有如下问题：“今有马行 转迟，次日减半，疾七日，行七百里问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度 逐渐变慢

22、，每天走的里程是前一天的一半，连续行走 7 天，共走 700 里路，问每天走的里数 为多少？”则该马第 4 天走的里数为() 128 127 A 700 127 B 5 600 127 C 44 800 127 D 例 29. 在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷 吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样马吃了牛 的一半，羊吃了马的一半”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、 羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗=10 升），三畜的 主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的

23、青苗是牛的一半，羊吃的青苗是 马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A 25,50,100 777 B 25,25,50 1477 C100,200,400 777 D 50,100, 200 777 例 30. 张丘建算经是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个 女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按 30 天计)共织布 9 匹 3 丈.问：前半个月(按 15 天计)共织多少布？”已知 1 匹4 丈，1 丈10 尺，可估算出前半个

24、月一共织的布约有（） A195 尺B133 尺C130 尺D135 尺 例 31. 张丘建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾 （注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共织 390 尺布”，则第 30 天织布（） A7 尺B14 尺C21 尺D28 尺 例 32. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有 如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人” 其大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派

25、出 的人数比前一天多 7 人”该段话中的 1 864 人全部派遣到位需要的天数为() A9B16C18D20 例 33. 我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气 第 11 页 共 34 页 晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四个 节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈三 尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑) 晷长是() A五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸 例 34. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数

26、字常被人 们称之为神奇数具体数列为 1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个 数字等于前两个相邻数字之和已知数列a为“斐波那契”数列，S为数列a的前 项和， nnn 若 a=M则 2020 S_(用 M 表 示) 2018=S _(用 M 表示) 例 35. “斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的数列中的一系列数字常 被人们称为神奇数具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，即从该数列的第三项开始，每个数字 都等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数列an的前 n 项和， 若 a2021m，则 S2019() 2m1 A2mB 2 Cm1D

27、m1 例 36. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传 统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数 量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列的第 20 项为() A220B200C180D162 例 37. 九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊 食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊 吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半

28、” 第 12 页 共 34 页 马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿 多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿() 5010 A.斗粟B斗粟 77 1520 C.斗粟D斗粟 77 例 38. 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿, 大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老 鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每 天减半,问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,Sn为前 n 天两只 老鼠打洞长度之

29、和,则 Sn=尺. 例 39. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形 边上再连接正方形,如此继续,若共得到 4 095 个正方形,设初始正方形的边长 为 2 ,则最小正方 2 形的边长为. 第 13 页 共 34 页 四、数学文化与新定义 例 40. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f(x)= 1,为有理数, 0,为无理数 称为狄利克雷函数,则关于函数 f(x)有以下四个命题: f(f(x)=1; 函数 f(x)是偶函数; 任意一个非零有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意 xR 恒成立; 存在三个点 A(x1,f(x1),

30、B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是() A.4B.3C.2D.1 例 41. 规定记号“”表示一种运算，即 ababab，a，bR.若 1k3，则函数 f(x) kx 的值域是_ 例 42. 定义一种运算“”，对于任意 nN*均满足以下运算性质：(1)220171；(2)(2n 2)2017(2n)20173.则 20182017_. 例 43. 定义：若数列an对任意的正整数 n，都有|an1|an|d(d 为常数)，则称an为“绝对 和数列”，d 叫作“绝对公和”在“绝对和数列”an中，a12，“绝对公和”为 3，则其前 2 019

31、项的和 S2019的最小值为() A3022B3022C3025D3035 例 44. 设集合 A1,0,1，集合 B0,1,2,3，定义 A*B(x，y)|xAB，yAB， 则 A*B 中元素的个数是() A7B10C25D52 例 45. 中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示 为 a2b2c2a,b,cN*，我们把 a，b，c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5， 12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是_. 例 46. 设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P Qz|zab，aP，bQ，若

32、 P 1,0,1，Q2,2，则集合 P Q 中元素的个数是() 第 14 页 共 34 页 A2B3C4D5 例 47. 设向量 a 与 b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab| |a|b|sin ，若 a( 3，1)，b(1， 3)，则|ab|() A 3B2C2 3D4 例 48. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中 任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为_ 例 49. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法 号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法一

33、二次插值算法（又称一行算法， 牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数 yf (x) 在 x x， 1 x x， 2 xxxxx处的函数值分别为yfx，yfx，yfx则在区间x x 上 , 3123112233i3 yy f x 可以用二次函数来近似代替： k ( ) f (x)ykxxkxxxx， 其 中 21 111212 1 xx 21 ， k yy 32 xx 32 kk ，k1 2 xx 31 ，若令x ， 10 x ， 22 x，请依据上述算法，估算 sin 3 2 是 5 （） A 3 5 B16 25 C17 25 D 24 25 例 50. 设函数 f(x)xx，

34、其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.22，1.21，1 x 1.将函数 f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m，函数 f(x)与 g(x) 的图象的交点个数记 3 为 n，则定积分错误!g(x)dx_. 例 51. 若计算由曲线 y x 及直线 x1 和 x 轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间0,1 等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为 xix(i 1,2,3，)当区间0,1被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面 积，且面积 S错误!xdx.类比曲边三角形面积的求法，计算曲线 y x 及直线 x1 和 x 轴 所围成的曲边三角形绕 x

35、 轴旋转 360所成旋转体的体积，则体积 V 可以表示为() A.错误! xdxB.错误!( x)2dxC.错误!x xdxD.错误!9( x)2dx 例 52. 已知 x 为实数，x表示不超过实数 x 的最大整数，则函数 f(x)xx在 R 上为() 第 15 页 共 34 页 A奇函数B偶函数C增函数D周期函数 例 53. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用 求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A(2,3)且法向量为 n(4，1)的直线(点法式)方程 为 4(x2)(1)(y3)0，化简得 4xy110.类比以上方法，在空间直角坐标系中， 经过点 B

36、(1,2,3)且法向量为 m(1，2,1)的平面(点法式)方程为_ 第 16 页 共 34 页 五、数学文化与三角函数 例 54. 第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如 图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的 面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 tan 4 _. 例 55. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积 的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约 之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式

37、就是 2 1acb 222 Sa c 22 42 ，其中a,b,c是ABC的内角A,B,C的对边为. 若 sinC2sin Acos B，且b2c22 ，则ABC面积S的最大值为_. 例 56. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 5 8 例 57.九章算术是我国古代著名数学经典 其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其 中有这样一个问题：“今有圆材

38、埋在壁中，不知大小 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺 问径 几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 第 17 页 共 34 页 一寸，锯道长一尺 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙 体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 AB1 尺，弓形高CD1 5 sin22.5 13 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1 丈10尺100寸，3.14，) A600 立方寸B610 立方寸C620 立方寸D633 立方寸 例 58. 赵爽是我国古代数学家大约在公元 222 年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“

39、勾 股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中 间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角 形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ADABAC ，若 DFAF ，则可以推出_. 2 例 59. 干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并 存黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法干支是天干和地支的总称，把干支 顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、 癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥

40、十二个符号叫地支受 此周期律的启发，可以求得函数( )sin 2cos3 x f xx 的最小正周期为（） 3 A15B12C6D3 例 60. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公 式：设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则ABC 的面积 S 第 18 页 共 34 页 1 4 c2a2 c2a2b2 2 2 .若 a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求 得 ABC 的面积为() A. 3B2C3D. 6 例 61. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发 现了

41、“黄金分割”“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一， 它表现了恰到好处的和谐，其比值为 51 0.618，这一比值也可以表示为 m2sin 18. 若 2 m n m2n4，则() 2cos2271 A1B2C4D8 例 62. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积 时所用的经验公式，即弧田面积1 (弦矢矢 2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公 2 式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)， 2 现有圆心角为，半径为 6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_平方 3 米(结果

42、保留根号) 第 19 页 共 34 页 六、数学文化与立体几何 例 63. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九 寸,则平地降雨量是() (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式 1 V=上下+S (S上+ 3 下)h) A.2 寸B.3 寸C.4 寸D.5 寸 例 64. 足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表 面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图 1 所示的正二十面体，从每个 顶

43、点的棱边的 1 3 处将其顶角截去，截去 20 个顶角后剩下的如图 2 所示的结构就是足球的表 面结构.已知正二十面体是由 20 个边长为 3 的正三角形围成的封闭几何体，则如图 2 所示的 几何体中所有棱边数为_. 例 65. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正 方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1) 半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一 个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长 为 1则该半正多面体共有个面，其棱长为 例

44、 66. 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 第 20 页 共 34 页 ABCDABC D，挖去四棱锥OEFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心， E ， 1111 F ，G ， H ，分别为所在棱的中点， ABBC 6cm ， AAcm，3D 打印所用原料密 度 14 为0.9g /cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g 例 67. 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的 有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六 1 成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L

45、与高h，计算其体积V 的近似公式 VL2h ， 36 2 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将 75 圆锥体积公式中的近似取为（） A 22 7 B 25 8 157 50 C D 355 113 例 68. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广 三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈， 长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛问该粮仓的高是多少？已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈 为 10 尺，则该粮仓的外接球的表面积是（） 121 A 4 127 平方丈B 4

46、 133 平方丈C 4 139 平方丈D 4 平方丈 例 69. 如图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形此图由正方形 ABCD 、半径为r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶 点与 AD 的中点 N 重合，斜边在直线 BC 上已知 S 为 BC 的中点，现将该图形绕直线 NS 旋 转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（） 第 21 页 共 34 页 210 Ar3Br3C2r3Dr3 33 例 70. 古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使 该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的

47、体积之比为（） A 2 3B 4 3C 2 3或 3 2D 3 2 例 71. 在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现 有一个羡除如图所示，面 ABCD、面 ABFE、面 CDEF 均为等腰梯形，ABCDEF，AB 6，CD8，EF10，EF 到面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的 体积是（） A110B116C118D120 例 72. 刘徽在他的九章算术注中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出 球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积刘徽通过计算，“牟合方盖”的 41 体积与球的体积之比应为 .

48、后人导出了“牟合方盖”的 体积计算公式，即 8 1 8 V牟r3V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为 2r，从而计算出 V 4 球 r3.记所有棱长都为 r 的正四棱 3 锥的体积为 V 正，棱长为 2r 的正方形的方盖差为 V V方盖差 方盖差，则 等于（） V正 1 2 A. B. 2 2 C. 2D. 3 第 22 页 共 34 页 例 73. 我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可 见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱如图为一个“堑堵”， 即三棱柱 ABCA1B1C1，其中 ACBC，已知该“堑堵”的高为 6，体积为

49、 48，则该“堑堵”的 外接球体积的最小值为_ 例 74. 长方堑堵阳马鳖臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功，其中阳马 和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体ABCDA B C D，按平面 1111 ABC D斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶 11 点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱 锥DABCD称为阳马，余下的三棱锥 1 DBCC是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖 11 臑，已知长方体ABCDA B C D中 AB2 ，BC 3， 1111 AA，按以上操作得到阳马， 则 14

50、 阳马的最长棱长为（） A2 5B5C29D4 2 例 75. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且有 BDCD，ABBD2，CD1，点 P 是 AC 上的一个动点，则 三角形 PBD 的面积的最小值为_ 例 76. 九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面 为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABCA B C，其 111 第 23 页 共 34 页 中ACBC AAAC，当“阳马”即四棱 锥 ,1 1 BA ACC体积为 11 1 3 时，则“堑堵”即三棱柱 ABCA