广东省广州市重点高中2021-2022学年高三上学期第一次月考 数学试卷.doc

1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2022 届高三第一次检测考试届高三第一次检测考试 数学试卷数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为页，满分为 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线 内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上不能答

2、在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目 指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后 再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第一部分 选择题（共 60 分） 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1设集合 2

3、 0Ax xx， 2 0Bx xx，则AB （） A0B 0 CD1,0,1 2若不等式| 1|xa 成立的充分条件为04x，则实数 a 的取值范围是（） A3a aB1a a C3a aD1a a 3若复数 3 i 1 3i z （i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内的对应点落在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 4在下列函数中，最小值为 2 的是（） A 1 yx x B 1 lg(110) lg yxx x C 2 22 (1) 1 xx yx x D 1 sin0 sin2 yxx x 5已知函数 2 2 11 fxx xx ，则 3 2 f （） A17 4 B4C 7

4、 2 D 13 4 6函数 1 lnf xxx的图象大致为（） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） AB CD 7已知函数( )tan3sinf xxx，若对任意 , 6 6 x ，( ) f xa 恒成立，则a的取值范 围是（） A 5 3 , 6 B 5 3 , 6 C 3 , 2 D 3 , 2 8在中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 22 96cos11bbcAc，则角 B 的最大值为（） A 6 B 4 C 3 D 3 4 二、多选题：二、多选题：本题共本题共 4 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的选项中

5、，全部选对得在每小题给出的选项中，全部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对得分，部分选对得 2 分分. 9下列函数既是偶函数，在(0, )上又是增函数的是（ ） A 2 1yxB2yxC|yxD 1 yx x 10下列说法错误错误 的是（） A若a b b c ，则ac B若/ a b ，则存在唯一实数使得a b C若/ a b ，/ b c ，则/a c D与非零向量a 共线的单位向量为 a a 11已知双曲线 22 :1 21 xy W mm ,以下说法正确是的（） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） A B若W的顶点坐标为 0,2 ，则3m

6、CW的焦点坐标为 1,0 D若0m ，则W的渐近线方程为20 xy 12已知函数 20 lg0 xx f x xx ，方程 2 10fxmf x 有 4 个不同的实数根，则下列 选项正确的为（） A函数 fx的零点的个数为 2 B实数m的取值范围为 3 , 2 C函数 fx无最值 D函数 fx在0, 上单调递增 第二部分 非选择题（90 分） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13函数 2 (1)yx 的递增区间是_ 14已知 10 sin 45 ，则sin2_ 15已知函数 3 2 ,0 ,0 xx f x xx ，若对于

7、任意的xR， fxax ，则a _ 16已知等差数列 n a 的前 n 项和 0 n S ，且满足 222 2323nn SSSn atatat ， （2n 且 * nN） ，若 1 2 n n a （ * nN） ，则实数 t 的取值范围是_ 四、解答题四、解答题:本大题共本大题共 6 个小题个小题,共共 70 分分. 17 （本小题 10 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 8S ， 94 11Sa （1）求 n a； （2）设数列 1 n S 的前n项和为 n T，求证： 3 4 n T 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 18 （本小题 12

8、分）的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c.的面积为 S， 已知 222 4(2)tancSacacbC . （1）求角B； （2）若3ac，ab，外接圆的半径为 2 3 3 ，求cos2A. 19 （本小题 12 分）红队队员甲乙丙与蓝队队员 A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 0.6，0.5，0.5，假设各盘比 赛结果相互独立. （1）求红队至少两名队员获胜的概率； （2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列. 20 （本小题 12 分）已知四边形ABCD满足/AD BC， 1 2 BAADDCBCa，E是BC 的中点，将沿着

9、AE翻折成 1 B AE ，使平面 1 B AE 平面AECD，F为 1 B D的中点 （1）求四棱锥 1 BAECD 的体积； （2）求平面 1 ADB与平面 1 ECB所成角的正弦值 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 21 （本小题 12 分）已知椭圆 C 的中心为坐标原点，且以直线20 xmy（mR）所过 的定点为一个焦点，过右焦点 F2且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2. （1）求椭圆 C 的标准方程；. （1）设点 A，B 分别是椭圆 C 的左右顶点，P，Q 分别是椭圆 C 和圆 O 22 2xy上的 动点（P，Q 位于 y 轴两侧） ，且

10、直线 PQ 与 x 轴平行，直线 AP，BP 分别与 y 轴交于不同的 两点 M，N，求证QM 与 QN 所在的直线互相垂直. 22 （本小题 12 分）已知函数 2cos x f xex，xR. （1）求函数 fx在0 x 处的切线方程； （2）是否存在正数a，使得 1f xa x对任意 0,x恒成立？证明你的结论. （3）求 fx在,上零点的个数. 2022 届高三第一次检测考试届高三第一次检测考试 数学试卷数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为页，满分为 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。 注意事项：注意事项：

11、3、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线 内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上填涂在答题卡上。 4、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上不能答在试卷上。 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目 指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后 再写上新的答案；不准使用

12、铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第一部分 选择题（共 60 分） 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1设集合 2 0Ax xx ， 2 0Bx xx ，则AB （） A0B 0 CD1,0,1 【答案】B 2若不等式| 1|xa 成立的充分条件为04x，则实数 a 的取值范围是（） A3a aB1a a C3a aD1a a 【答案】A 3若复数 3 i

13、 1 3i z （i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内的对应点落在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【答案】C 4在下列函数中，最小值为 2 的是（） A 1 yx x B 1 lg(110) lg yxx x C 2 22 (1) 1 xx yx x D 1 sin0 sin2 yxx x 【答案】C 5已知函数 2 2 11 fxx xx ，则 3 2 f （） A17 4 B4C 7 2 D 13 4 【答案】A 6函数 1 lnf xxx的图象大致为（） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） AB CD 【答案】A 7已知函数( )tan3sinf

14、 xxx，若对任意 , 6 6 x ，( ) f xa 恒成立，则a的取值范 围是（） A 5 3 , 6 B 5 3 , 6 C 3 , 2 D 3 , 2 【答案】A 8在中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 22 96cos11bbcAc，则角 B 的最大值为（） A 6 B 4 C 3 D 3 4 【答案】C 二、多选题：二、多选题：本题共本题共 4 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的选项中，全部选对得在每小题给出的选项中，全部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对得分，部分选对得 2 分分. 9下列函数既是偶函

15、数，在(0, )上又是增函数的是（ ） A 2 1yxB2yxC|yxD 1 yx x 【答案】AC 10下列说法错误错误 的是（） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） A若a b b c ，则ac B若/ a b ，则存在唯一实数使得a b C若/ a b ，/ b c ，则/a c D与非零向量a 共线的单位向量为 a a 【答案】ABC 11已知双曲线 22 :1 21 xy W mm ,以下说法正确是的（） A B若W的顶点坐标为 0,2 ，则3m CW的焦点坐标为 1,0 D若0m ，则W的渐近线方程为20 xy 【答案】BD 12已知函数 20 lg0 xx

16、 f x xx ，方程 2 10fxmf x 有 4 个不同的实数根，则下列 选项正确的为（） A函数 fx的零点的个数为 2 B实数m的取值范围为 3 , 2 C函数 fx无最值 D函数 fx在0, 上单调递增 【答案】ABC 第二部分 非选择题（90 分） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13函数 2 (1)yx 的递增区间是_ 【答案】(, 1) 14已知 10 sin 45 ，则sin2_ 【答案】 1 5 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 15已知函数 3 2 ,0 ,0 xx f x

17、xx ，若对于任意的xR， fxax ，则a _ 【答案】0 16已知等差数列 n a 的前 n 项和 0 n S ，且满足 222 2323nn SSSn atatat ， （2n 且 * nN） ，若 1 2 n n a （ * nN） ，则实数 t 的取值范围是_ 【答案】 0,1 四、解答题四、解答题:本大题共本大题共 6 个小题个小题,共共 70 分分. 17 （本小题 10 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 8S ， 94 11Sa （1）求 n a； （2）设数列 1 n S 的前n项和为 n T，求证： 3 4 n T 【答案】 （1） 21 n an;（2

18、）证明见解析. 【详解】 （1）设公差为d，由题 1 11 28 9361133 ad adad ， 解得 1 3a ，2d 所以 21 n an.5 分 （2）由（1） ， 21 n an，则有 2 3212 2 n n Snnn 则 111 11 222 n Sn nnn 所以 111111111111113 11 23243511222124 n T nnnnnn .10 分 18 （本小题 12 分）的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c.的面积为 S， 已知 222 4(2)tancSacacbC . （1）求角B； 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） （2

19、）若3ac，ab，外接圆的半径为 2 3 3 ，求cos2A. 【答案】 （1） 3 B ； （2） 3 21 1 16 . 【详解】 （1）由 222 4(2)tancSacacbC 可得 222 1sin 4sin(2) 2cos C cabCacacb C ， 因为 (0,)C ，所以sin0C ，所以 222 cos(2) 2 acb bCac ac ， 由余弦定理可得 cos(2)cosbCacB ， 由正弦定理可得sin cos(2sinsin)cosBCACB ， 所以sincoscossin2sincosBCBCAB，即sin( )2sincosBCAB .5 分 因为sin(

20、 )sin()sinBCAA ，且sin0A，所以 1 cos 2 B .因为0B，所以 3 B . （2）因为ABC外接圆的半径为 2 3 3 ， 3 B ，由正弦定理得 4 3 sin 3 aA， 4 3 sin 3 cC， 所以由3ac，得 4 32 sinsin3 33 AA ， 整理可得 3 sin 64 A .又ab， 3 B ，所以0 3 A ，故 662 A ，所以 2 37 cos1 644 A ，所以 sinsinsincoscossin 666666 AAAA 33713 37 42428 ，故 2 3 21 1 cos21 2sin 16 AA .12 分 19 （本小

21、题 12 分）红队队员甲乙丙与蓝队队员 A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 0.6，0.5，0.5，假设各盘比 赛结果相互独立. （1）求红队至少两名队员获胜的概率； （2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列. 【答案】 （1）0.55； （2）答案见解析. 【详解】解： （1）设甲胜 A 的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 则D，E，F分别表示甲不胜 A，乙不胜B，丙不胜C的事件. 0.6P D ， 0.5P E ， 0.5P F ， 0.4P D ， 0

22、.5P E ， 0.5P F . 红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF， 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 PP DEFP DEFP DEFP DEF 0.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55；.5 分 （2）由题意知可能取值为 0，1，2，3. 因此00.4 0.5 0.50.1PP DEF， 1PP DEFP DEFP DEF0.4 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.35， 30.6 0.5 0.50.15PP DEF， 由对立事件的概率公式得

23、210130.4PPPP . 所以的分布列为： 0123 P0.10.350.40.15 .12 分 20 （本小题 12 分）已知四边形ABCD满足/AD BC， 1 2 BAADDCBCa，E是BC 的中点，将沿着AE翻折成 1 B AE ，使平面 1 B AE 平面AECD，F为 1 B D的中点 （1）求四棱锥 1 BAECD 的体积； （2）求平面 1 ADB与平面 1 ECB所成角的正弦值 【答案】 （1） 3 4 a ； （2） 4 5 . 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 【详解】 （1）取AE的中点M，连接 1 BM，易知BAADDCAEBEa， 则

24、ABE为等边三角形，则 1 3 2 B Ma，又因为平面 1 B AE 平面AECD，所以 1 B M 平面 AECD，所以 1 3 1 113 sin 33234 BAECDAECD a VB M Saaa ；.4 分 （2）连接MD，以M为原点，分别以ME，MD， 1 MB所在直线为x，y，z轴建立空间直 角坐标系，则 3 ,0 2 a C a ， ,0,0 2 a E ， ,0,0 2 a A ， 3 0,0 2 a D ， 1 3 0,0, 2 a B ， 则 3 ,0 22 aa AD ， 1 3 ,0, 22 aa AB ， 3 ,0 22 aa EC ， 1 3 ,0, 22 a

25、a EB ， 设平面 1 ADB的法向量为, ,x y z ，则 1 0 0 AD AB ，即 3 0 22 3 0 22 a xay a xaz ， 令1x ，则 33 1, 33 ，设平面 1 ECB的法向量为,vx y z ， 则 1 0 0 v EC v EB ，即 3 0 22 3 0 22 a xay a xaz ，令1x ，则 33 1, 33 v ， 则 11 1 3 33 cos, 51111 11 3333 v v v ，又两平面的夹角范围为0， 所以平面 1 ADB与平面 1 ECB所成角的正弦值为 2 4 1cos, 5 v .12 分 21 （本小题 12 分）已知椭

26、圆 C 的中心为坐标原点，且以直线20 xmy（mR）所过 的定点为一个焦点，过右焦点 F2且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2. （1）求椭圆 C 的标准方程；. （1）设点 A，B 分别是椭圆 C 的左右顶点，P，Q 分别是椭圆 C 和圆 O 22 2xy上的 动点（P，Q 位于 y 轴两侧） ，且直线 PQ 与 x 轴平行，直线 AP，BP 分别与 y 轴交于不同的 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 两点 M，N，求证QM 与 QN 所在的直线互相垂直. 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2）证明见解析. 【详解】 （1）由题意，直线

27、20 xmy过定点( 2,0)，即椭圆 C 的一个焦点为( 2,0)， 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，则 22 2ab， 因为过右焦点 F2且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2，可得 2 2 2 b a ，即 2 ba， 联立方程组，可得2,2ab， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 42 xy .5 分 （2）由（1）知 22 1 42 xy ，可得 ( 2,0),(2,0)AB ， 设 0010 (,),(,)P xyQ x y ，则 22 00 1 42 xy ， 22 10 2xy，且 0 0y ， 则直线 AP 的方程为 0 0 (2) 2 y

28、 yx x ，则 0 0 2 (0,) 2 y M x ， 直线 BP 的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，则 0 0 2 (0,) 2 y N x ， 所以 000 101 00 2 (,)(,) 22 yx y QMxyx xx ， 000 101 00 2 (,)(,) 22 yx y QNxyx xx ， 所以QM QN 22 22 00 22 00 10 22 00 42 20 42 yy x y xy xy ， 所以QMQN ，即 QM 与 QN 所在的直线互相垂直. .12 分 22 （本小题 12 分）已知函数 2cos x f xex，xR. （1）求函数 fx在0

29、 x 处的切线方程； （2）是否存在正数a，使得 1f xa x对任意 0,x恒成立？证明你的结论. （3）求 fx在,上零点的个数. 【答案】 （1） 10 xy ； （2）存在正数a，使得 1f xa x对任意 0,x恒成立； 证明见解析； （3）2个. 【详解】 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） （1） 2sin x fxex ， 01f，又 0121f ， f x在0 x 处的切线方程为：110yx ，即10 xy ；.3 分 （2）令 1 x g xex ，0 x ，则 1 x gxe， 当 0,x时， 1 x e ， 0gx在0,上恒成立， g x在0,上

30、单调递增，即1 x ex在 0,上恒成立； 若 1f xa x，即 2cos1 x exa x ，只需 12cos1xxa x ， 又cos1x，2cos2x ，12cos121xxxx ， 则当1a 时， 1f xa x成立； 存在正数a，使得 1f xa x 对任意 0,x恒成立；.7 分 （3）当 2 x 时， 2 2cos20 x f xexe ， f x在 , 2 上无零点； 当 22 x 时， 2sin x exfx， 2cos0 x fxex ， fx 在 , 2 2 上单调递增， 2 20 2 fe ， 2 20 2 fe ， 1 , 2 2 x ，使得 1 0fx ， 当 1

31、 , 2 xx 时， fx单调递减；当 1, 2 xx 时， fx单调递增； 又 2 0 2 fe ， 010f ， 2 0 2 fe ， f x在,0 2 和0, 2 上各有一个零点； 当 2 x 时， 2cos x fxex在, 2 上单调递增， 20fe ， 2 0 2 fe ， 2 , 2 x ，使得 2 0fx ， 当 2 ,xx 时， 0fx ；当 2, 2 xx 时， 0fx ； fx 在 2 ,x 上单调递减，在 2, 2 x 上单调递增； 0fe ， 2 20 2 fe ， 2 0fx ， 32 ,xx ，使得 3 0fx， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 当 3 ,xx 时， 0fx ；当 3, 2 xx 时， 0fx ； f x在 3 ,x 上单调递增，在 3, 2 x 上单调递减， 20fe ， 2 0 2 fe ， f x在 , 2 上无零点； 综上所述： fx在,上的零点个数为2个. .12 分