高等代数综合题.doc

1、-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可 -内页可以根据需求调整合适字体及大小- 高等代数综合题（共11页） 2 2.求d = xn n xn 的展开式的正项总数? 2 Xn 7. 证明： 中国象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才能跳回原处 8.（李政道问题）一堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了把苹果分成5 堆，还多一个，扔了，自己拿走一堆；第二只猴子来了，又把苹果分成5 堆，又多一个，扔了，自己拿走一堆.以后每只猴子来了都如此操作.问原来 至少 有多少苹果，最后至少有多少个苹果 1.求d = 1 20 的末尾的零的个数. 21 9 19 20 1 12 n+1 n +1 1 1

2、n+2 n+2n +1 1 - n+3 - . 亠 123 1 3.计算d = 1 1 1 1 1 1 1 1 的值（n 2），其中是xn=1的任 4.设 a, b, Pi, P2, ，Pn均为实数，且a b.令 f X P1XP2X pnX 证明: P 1 b b 5. 计算d = P2 b Xi P3 2 X 2 X 2 Pn bf a b a af b n X1 n X2 6.用矩阵给出平面上n 个点 R Xi, y, i 1, 2,，n 共线的充要条件. 3 9. 设A是一个秩为 r 的 m n 矩阵.任取A的 r 个线性无关的行向量，再取A的 r 个线 性无关的列向量，组成的 r 阶

3、子式是否一定不为零如果是，证明之. 10. 设代B是两个 m n 矩阵，且齐次线性方程组AX 0与BX 0同解问A, B 的列向量组是否等价，行向量组是否等价 11.设A ajR n n.证明 （1）若 |aH j i aj ,i 1, 2,n，则 det A0 ； （2）若 a j i aj i 1, 2,n，则 det A0. 12.设A aij R n n 其每列恰有两个非零元素， 且所有对角线兀素都大于1， 所有非对角线元素都0, 1 问A是否可逆 25. 设数域F上的 n 阶方阵A aj满足 1 aii1, aj -, i, j 1, 2,，n, i j.证明A可逆. n 1 n 2

4、6. 设A ajRnn满足 ai0, aj0, i, j 1, 2,，n, i j,aj0,i 1, j 1 2,，n.证明：rank A n 1. 27. 证明：对任意方阵A，必存在正整数 m，使rank Amrank Am 1. 28. 设F是一个数域，A Fn m, B Fns, C Fmt, D Fst,满足 ran k B s, C AC BD 0.证明：rank t 的充要条件是 rank C t. D 29. 设A为一个 n 阶方阵.证明：对任何满足 rank A k n 的k，存在 n 阶方阵 B，使 rank A rank B rank A B k. 30. 设F是一个数域，

5、A Fs n, B F n m .证明 Sylverster 公式： rank A rank B n rank AB . 31. 设代B, C是使ABC有意义的三个矩阵.证明： 4 rank AB rank BC rank B rank ABC . 5 21.求二次型f X1, X2,，Xn 22.设实二次型 f xf X1X2 311 a12 a21 a22 an1an2 2X2X3 Xn a1n a2n ann 的矩阵. 2X1X3经正交变换X PY化成 23.设实二次型 f 2x22X2X32X3.求f在 2 X1 X；X31 时的最大值与最小 24.如果XTAX是一个实二次型, n是A

6、的特征值，且 有 7 X X 则 X n X 1 A X Xuuon s X X X X 32. 设 x 为n 1矩阵，y为1 n矩阵，a 为实数.证明：det E axy =1 ayx，其 中E为单位矩阵. y；2y；,求, nn 32. 设f a x2b xn i 1，其中a, b为实数.问a, b满足什么条件时，f正 i 1i 1 疋. 33. 设A是一个 n 阶实可逆方阵.证明：存在正定矩阵S和正交矩阵Q，使 A QS. 34. 设Aaj为一个 n 阶正定矩阵.证明： 50.i j,aj|Jag , i,j 1,2,，n； X2 Xn n 6 51.A的绝对值最大的元素必在其主对角线上

7、. 7 ai i = 1, 2,n 为任意数.证明: 并举例说明 fix i = 1, 2,，n 均为次数不超过n 2的多项式的条件不可 31.设 f x 为整系数多项式，且0 , f 1 都是奇数.证明:x 无整数根. 35. 设n 2， fi x i = 1, 2,，n 均为次数不超过n 2的多项式, f1a1f2务 f 1 n a1 f1a2f2a2 f na 2 1anf2an fnan 缺少. 29.设a, b为自然数，P为不小于3的素数， 22、cosi si n ? PP 为P次单位根. 证明： aba b a 2b a P1b aP bP. 、r510215320 30.设f0

8、 xxf1xx f2xx f3x 42543 X f4X被XXX2X 1整除 证明： x被x 1整除，i 0, 1,，4. (1) 设 fx 是有理数域Q上的一个 mm 0 次多项式，n 是大于 m 的正整数.证 明：n2 不是 f x 的实根. (2) 设 a1, a?,，an是 n n 2 个互不相同的整数.证明： f x x 印x an1 不能表示成两个次数大于0的整系数多项式之积 (3) 求以 2为根的有理系数的不可约多项式. (4) 设 f x 是有理数域Q上的一个 n n 2 次不可约多项式.若 f x 有一根的 倒数也是 f X 的根，证明：f X 每一根的倒数也是 f X 的根

9、. (5) 设 x1, x2, x3为x36x2ax a 0的三个根.求使 333 X11X22 + X33 0的所有 a，并对每个这样的 a，求相应的 X1, X, X3. (6) 求证：实系数三次方程x3ax2bx c 0的三个根的实部均为负数的充要 条件是a 0, c 8 0, ab c 0. (7) 设 f x , g x 是数域F上两个不全为零的多项式.记 M fxsx gxtx|sx,tx F x. 证明：M中次数最低的首一多项式是 f x 与 g x 的最大公因式 f x , g x . (8) 设 P y Ay2By C，且 P y y 0 有互异的根a, b.证明： (1)a

10、, b是P P y y 0的根，并求它的另外两个根所满足的方程； (2)应用以上结果求方程y23y 2 $ 3 y23y 2 2 y 0的所有根. (9) 证明：若对整系数多项式 f x，存在整数k，使 k | f 1 , k-( f 2 , , k f f k，则 f x 无整数根. (10)试确定所有的有理数a, b, c，使a, b, c是x3ax2bx c 0的根. 2 (11)设 f x 为一多项式，a b.将 f x 除以x a x b，求其余项. (12)设有理系数多项式 f x 存在无理根 a b-、c (a, b, c为有理数，b, c 0) 证明 a b c 也是 f x

11、的根. (13)证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一 个有理 系数多项式 f x，使 1二 f. (14)设k是正整数.求一切实系数多项式 f x =a0+a1anxn，使 k f f x f x. (15)设有 n 个常数 d, b2,，b， n 个互异常数 a“ a?,a.及由 9 确定的多项式 P x .对任一多项式x，定义另一多项式 Q x，它为上面 恒等式中将 P x , bp b2，bn代之以 Q x ,b,b2,，bn所得 恒等式确定.证明：x a1x a2x an除 P x 所得余式为 Q x . A B (16)设A, B, C, D为四个 n 阶

12、方阵，且AC CA.证明：AD CB . C D (17)设代B为两个 n 阶方阵.证明：AB*B*A*. (18)设F是一个数域.证明：Fn的任一子空间V必至少是一个 n 元齐次线性方程 组的 解空间. 50. (1) 设Cn n是 n n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空 间， 000an 100 an 1 F 010 an 2 . 001 a1 a11a12a1 n (1)假设 A a21a22a2n .若AFFA，证明: an1an2ann Aan1F n 1 an11F n 2 a21Fa11E. (2)求Cnn的子空间 C(F) X Cnn|FX XF的维数. (

13、2) 设 f x 为 x 的复系数多项式，且 n 阶复方阵A的特征值都不是 f x 的零点. 1 X n 1 x P X 1 n 1 abi 1a2 n 1 a2 1an n 1 anbn 0 10 证明 f A 可逆，且 f A 的逆可表为A的多项式. 11 rank A rank E An （其中E为单位矩阵）. 1E1 54.设D 2E2 ，其中 1,2,，k为互异的数, Eii 为且仅为X C1 C2 的形状，其中 Ci为与 E 同阶的矩阵, (3) 设 A,A2,，Ak是k个 n 阶实对称方阵，1 k n，且AA? AkE （E 为单位矩阵）.证明下述二条件等价: （1） A, A2

14、,A 都是幂等矩阵; (2) rankArank A2- rank Akn. (4)证明数域F上的 n 阶方阵A满足A2A 的充要条件是 kEk 1, 2, , k 为适当阶的单位矩阵.证明：凡与D相乘可交换的矩阵必 Ck i 1, 2,，k.并进一步证明：当且仅当两个实对称矩阵代B可交换时，可 找到同一个正交矩阵Q,使 Q 1AQ 和 Q1BQ 同时为对角形. 12 55.设A是个 n 阶实可逆方阵.证明：存在n 阶正交矩阵P, Q，使 a1 PAQ a2 ，其中每个 a 0，且 a2, a；,，a；为ATA的全部 an 特征值. 56.设A是个 n 阶方阵.证明：A可分解为A D M，其中

15、D相似于对角形, M为幕零矩阵，即存在正整数 m 使Mm0，且DM MD. 设A是一个秩为 r 的 m n 矩阵.证明： 存在 m 阶正定矩阵P和 n 阶正交矩阵Q， 使 A P D 0QT，其中D为一个秩为 r 且对角线元素都大于零的对角 0 0 形矩阵. 设V是数域F上的一个 n 维线性空间.证明：V的任意一个线性变换必可表 为一个可逆线性变换与一个幕等变换的乘积. 设代B为两个 n 阶正定矩阵.证明：A B A |B . 设 是数域F上的 n 维线性空间V的一个线性变换.证明：秩 秩 2的充 要条件是 VV 1 0 . 设 是数域F上的 n 维线性空间V的一个线性变换，f x , g x

16、 F x， h x f x g x .证明：若 f x , g x1,贝 U ker hker f ker g . 设 是数域F上的线性空间V的一个线性变换，1,2,，k是 的互不相 同的特征值，1,2,，k是相对应的特征向量.如果W是V的一个 子 空间，且1 13 2kW，求证dimW k. 设f是从 n 阶复方阵所成线性空间到复数域的一个线性映射，且对一切n 阶 复方阵A, B有 f AB f BA .证明：存在复数 a，使对任何 n 阶复方阵 G gj， 有 fG n agjj j 1 a trG . 12 3 n n 1 2 n 1 64.求矩阵Bn 1n1 n 2的特征值 23 4

17、1 14 n 已知ai0.求A i 1 a：1 a2a1 a-ia21 af1 ana1 1 ana21 T 1 a2an1的特征值. a；1 设代B是两个 n n 矩阵，CAB BA，且C与A, B可交换.证明：存在正 整数 m 使Cm0. 设 a1, a?,，an均为实数.证明: 2 a1x 玄2 aa2 a|x a1an a2an被xn 1整除，并 ana1ana2 2 anx 设代B分别为 m 阶和 n 阶方阵，fBE B .证明：fBA 可逆的充要 求其它因子. 条件是A, B无相同的特征值. 设代B分别为 m 阶和 n 阶方阵，且代B无相同的特征值.证明：AX XB只 有唯一 解X

18、 0. 设代B是两个 n n 矩阵，且AB BA.证明：若代B均可对角化，则必存在 可逆矩 阵T，使T 1AT 与T 1BT 同时为对角形. 证明：任何方阵都可分解为两个对称矩阵的乘积 . 设S为无穷多个 n 阶方阵所成的集合，且S中每个矩阵可对角化，任意两个 矩 阵可交换.证明：必存在可逆矩阵P，使A S，P 1AP 为对角形. 设A是一个秩为 r 的 n 阶方阵.证明： A2A的充要条件是存在秩为 r 的 n r 矩阵B及 r n 矩阵C，使 A BC, CB Er; 当A2A时，证明：2E A 2n r, A E 2r. 设A是一个秩为 r 的 n 阶方阵，且A2A，A 0, E.证明：

19、 s: 1 s n r，存在矩阵B，使AB BA 0，且 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 15 s 1ss 1 16 设数域F上的 n 维线性空间V的线性变换的最小多项式与特征多项式相同 证明：存在V，使，n1为V的一组基. 设f是数域F上的一个二次多项式，在F内有互异根 X1, X2，是F上的线 性空间V的线性变换，且X1E,X2E (E为单位变换)，f 0.证 明：X1, X2是 的特征值，且V可分解为 的属于 X1, X2的特征子空间的直和. 设m()是n阶方阵A的最小多项式，()是次数大于零的一个多项式.证 明：(A)可逆的充分必要条件是

20、()，m( ) 1. 设A为 n 阶实对称正定矩阵，S为 n 阶实反对称矩阵.证明：det A S 0. 设A为秩为2的三阶实对称矩阵，满足A22A 0. 求A的全部特征值； 当k为何值时，A kE(E为单位矩阵)为正定矩阵 设A为 n 阶实对称矩阵.证明：A半正定的充要条件是0, B E A正 定，这里E为单位矩阵. 证明：实矩阵A的特征值全为实数的充要条件是存在正交矩阵Q，使 Q 1AQ 为三角阵. 0 0 1 设A x 1 y有三个线性无关的特征向量.证明：x y 0. 1 0 0 n 设n阶方阵A aij满足a 0,aij1 (i 1,2,，n). j 1 证明：1是A的一个特征值；

21、当n 2时，求lim Am. m 设是n维线性空间V的线性变换， 的核记为ker，的象记为Im.证 明： 17 (1)0 ker ker 2 ker m ，Im m Im 2 ImV； 18 （2）存在正整数k，使得kerker，并且对一切正整数t有 ker 1, 2, ker （3）对（2）中的正整数k有，V ker k Im k. 假设V是复数域C上 n 维线性空间（n 0），,是V的线性变换，如果 ，证明：的特征值都是 0,且，有公共特征向量. （2）85. 设V是复数域C上的n维线性空间，fj:V C（j 1, 2）是非零的线性函数, 且线性无关.证明:任意V都可表为12,使得 f1（

22、） f1（2）， f2（） f2（1）. 设代B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n 1 rank A n.证明：存在实 可逆矩阵P使得PTAP和PTBP均为对角阵. 0 1030 2 设B 002010 .证明：X B无解，这里X为三阶未知复方阵 0 0 0 设A为 n n 实矩阵（未必对称），对任一 n 维实向量 A T 0 （这里 T表示 的转置），且存在 n 维实向量，使 A T 0，同时对任意 n 维实向量 x 和y，当 xAyT0 时有 xAyTyAxT0.证明：对任意 n 维实向量 v，都有 vA T 0 . 设 A MnC （即 Cn n），定义线性变换 A:MnC MnC， A

23、X AX XA.证明：当A可对角化时，A也可对角化.这里 MnC 是 复数域C上 n 阶方阵组成的线性空间. 19 设：MnRR 是非零线性映射，满足XY YX， X, Y MnR，这里 MnR 是实数域R上 n 阶方阵组成的线性空间. 在 MnR 上定义双线性 型，：MnRMnRR 为 X, Y XY 20 (1)证明 94.设A，B分别是3 2和2 3实矩阵，且 AB 80 4 3 9 6，求BA 2 201 95 Ai| Bii |是数域F上两个矩阵集合，称它们在F上相似：如果存在F i I.证明：有理数域Q上 是非退化的，即若 X, Y 0， Y MnR，则X 0； (2)设 A,阳，

24、馆是 MnR 的一组基，B1, B2,Bn2是相应的对偶 基，即卩 1 i in2 A, Bj ij ,.j,证明 ABi是数量矩阵. 0,i j. i 1 设Fn是数域F的 n 维列空间，：FnFn是一个线性变换，若对F上的任 意 n 阶矩阵A，都有 A A ,Fn，证明：idFn，其中 F，idFn为Fn上的恒等变换. B 0 设A是数域F上的 n 阶非零矩阵.求证：A相似于，其中B为可逆矩 0 C 阵，C为幕零矩阵，即存在正整数数 m 使得 Cm0. 上与i I无关的可逆矩阵P使得 P 1AiP Bi， 两个矩阵集合 AjBi i I，如果它们在实数域R上相似，则它们在有理 数域Q上也相似.