高等代数综合题-9189.doc

1、高 等 代 数 综 合 题 ( 共 11 页 ) -本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可- -内页可以根据需求调整合适字体及大小- 111 1. 求 1220 d的末尾的零的个数 . = 1919 1220 11111 11111 2. 求 11111 d的展开式的正项总数 . = 11111 11111 12n+1 1 n+11n+2 1 3. 计算 n+2n+1n+3n d=1的值（n2），其中是=1 x的任一 123 1 根. 4. 设 a, b, p , p , p 均为实数，且ab. 令 12n f xpxpxpx . 12n paaa 1 bpaa 2 bbpa 3 bf aa

2、f b ba 证明：. bbbp n 2n 1x1x1x 111 5. 计算d= 2n 1x1x1x 222 . 2n 1x1x1x nnn 6. 用矩阵给出平面上 n个点 Pixi, yi, i1,2, n共线的充要条件 . 7. 证明：中国象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才能跳回原处. 8. （李政道问题）一堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了把苹果分成5 堆，还多一个，扔了，自己拿走一堆；第二只猴子来了，又把苹果分成5 堆，又多一个，扔了，自己拿走一堆.以后每只猴子来了都如此操作.问原来 至少有多少苹果，最后至少有多少个苹果 2 9. 设A是一个秩为 r 的 m n 矩阵.任

3、取A的 r 个线性无关的行向量，再取A的 r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为零如果是，证明之. 10.设A, B是两个 m n 矩阵，且齐次线性方程组AX0与BX0同解.问A, B 的列向量组是否等价，行向量组是否等价 11.设 n n AaR.证明 ij （1）若 aa , i1, 2, n，则 det A0； iiij j i （2）若 aa , i1,2, n，则 det A0. iiij ji 12.设 n n AaR，其每列恰有两个非零元素，且所有对角线元素都大于1， ij 所有非对角线元素都0, 1 .问A是否可逆 13.设数域F上的 n 阶方阵Aaij满足 1

4、a1, a,i, j1, 2, n, ij. iiij n 1 证明A可逆. 14.设 n n AaR满足 aii0, aij0,i, j1,2, n, ij, ij n a0,i1, ij j 1 2, n.证明： rank An 1. 15.证明：对任意方阵A，必存在正整数 m，使 mm 1 rankArankA. n mn sm ts t 16.设F是一个数域， AF, BF, CF, DF, 满足 rank Bs, ACBD0.证明： C rankt D 的充要条件是 rank Ct. 17.设A为一个 n 阶方阵.证明：对任何满足 rank Akn的k，存在 n 阶方阵 B，使 ra

5、nk Arank Brank ABk. s nn m 18.设F是一个数域， AF, BF.证明 Sylverster 公式： rank Arank Bnrank AB . 19.设A, B, C是使ABC有意义的三个矩阵 .证明： rank ABrank BCrank Brank ABC . 3 20.设 x 为n 1矩阵，y为1 n矩阵， a 为实数. 证明： det Eaxy =1 ayx，其 中E为单位矩阵 . 0 xxx 12n xaaa 111121n 21.求二次型fx ,x , xxaaa 12n221222n 的矩阵. xaaa nn1n2nn 22.设实二次型 222 fx

6、1x2x32 x1x22 x2x32x1x3经正交变换XPY化成 22 fy22y3，求,. 23.设实二次型 f2x1x22x2x32x1x3.求f在 222 x1x2x31 时的最大值与最小 值. 24.如果 T fX AX 是一个实二次型， 1,2,n是A的特征值，且 12 n，则 n xR，有 TTTX XX AXX X 1n 及 1 inf X 0 n X R T X AX T X X ， T X AX sup nT X X X0 XR n . 25.设 nn 2 faxbxx，其中a, b为实数.问a, b满足什么条件时，f正 iin i 1 i 1i 1 定. 26.设A是一个

7、n 阶实可逆方阵 .证明：存在正定矩阵S和正交矩阵Q，使 AQS. 27.设Aaij为一个 n阶正定矩阵 .证明： （1）ij, aijaiiajj, i, j1, 2, n； （2）A的绝对值最大的元素必在其主对角线上. 4 28.设n2， fixi=1,2,n均为次数不超过n2的多项式， ai= 1,2, n为任意数.证明： i fafafa 1121n1 fafafa 1222n2 = 0， fafafa 1n2nnn 并举例说明 fixi=1,2,n均为次数不超过n2的多项式的条件不可 缺少. 29.设a, b为自然数，p为不小于3的素数， 22 cosisin pp 为p次单位根 .

8、 证明： 2p 1pp ababababab. 30.设 510215320425 fxxfxx fxx fxx fx被 01234 4321 xxxx整除. 证明： fx 被x1整除，i 0, 1, 4. i 31.设 f x 为整系数多项式，且f 0 , f 1 都是奇数.证明： fx 无整数根. 32.设 f x 是有理数域Q上的一个 m m0 次多项式， n 是大于 m 的正整数. 证 n不是 fx 的实根. 明：2 33.设 a1, a2, an是 n n2 个互不相同的整数 . 证明： f xxa1xan1 不能表示成两个次数大于0的整系数多项式之积 . 34.求以23为根的有理系

9、数的不可约多项式. 35.设 f x 是有理数域Q上的一个 n n2 次不可约多项式 .若 fx 有一根的 倒数也是 f x 的根，证明： fx 每一根的倒数也是fx 的根. 36.设 x1, x2, x3为 36 2 0 xxaxa的三个根.求使 333 x11x22+x33 0的所有 a，并对每个这样的 a，求相应的xxx . 1,2, 3 5 37.求证：实系数三次方程 320 xaxbxc的三个根的实部均为负数的充要 条件是a0, c0, abc0. 38.设 f x , g x 是数域F上两个不全为零的多项式 .记 Mfx s xg x t x |s x , t xF x. 证明：M

10、中次数最低的首一多项式是fx 与 g x 的最大公因式 fx , g x. 39.设 2 P yAyByC，且 P yy0有互异的根a, b.证明： （1）a, b是P P yy0的根，并求它的另外两个根所满足的方程； （2）应用以上结果求方程 2 232323220 yyyyy的所有根 . 40.证明：若对整系数多项式fx ，存在整数k，使 k | f 1 , k | f 2 , k | f k ，则 fx 无整数根. 41.试确定所有的有理数a, b, c，使a, b, c是 320 xaxbxc的根. 42.设 f x 为一多项式，ab.将 fx 除以 2 xaxb，求其余项 . 43.

11、设有理系数多项式fx 存在无理根 ab c （a, b, c为有理数，b, c0）. 证明 ab c 也是 fx 的根. 44.证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一 1 个有理系数多项式fx ，使=f. n 45.设k是正整数. 求一切实系数多项式fx =a0+a1xa x ，使 n k ffxfx. 46.设有 n 个常数 b1, b2, bn， n 个互异常数 a1, a2, an及由 6 1 n 1 xxP x 1 n 1 aab 111 1 n 1 aab 222 0 1 n 1 aab nnn 确定的多项式 P x .对任一多项式x ，定义另一多项式 Q

12、x ，它为上面 恒等式中将 P x , b, b , b 代之以 12n Q x ,b ,b,b所得 12n 恒等式确定 .证明：xaxaxa除P x所得余式为 Q x . 12n 47.设A, B, C, D为四个 n阶方阵，且ACCA.证明： AB CD ADCB. 48.设A, B为两个 n 阶方阵.证明： * ABB A. 49.设F是一个数域 .证明： n F的任一子空间 V1必至少是一个 n 元齐次线性方程 组的解空间 . 50. 50.设 n n C是 nn 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空 间， 000a n 100a n 1 F010an. 2 001a 1

13、 a 11 a 12 a 1n （1） 假设A a 21 a 22 a 2n . 若AFFA，证明： a n1 a n2 a nn A n 1n 2 a1FaFa Fa E. nn 112111 （2）求 n nn n的维数. C的子空间 C(F)XC|FXXF 51.设 f x 为 x 的复系数多项式，且n 阶复方阵A的特征值都不是fx 的零点. 证明 fA 可逆，且 fA 的逆可表为A的多项式. 7 52.设 A1, A2, Ak是k个 n 阶实对称方阵，1kn，且 A1A2AkE （E为单位矩阵） .证明下述二条件等价： （1） A1, A2, Ak都是幂等矩阵； （2）rank A1r

14、ank A2rank Akn. 53.证明数域F上的 n 阶方阵A满足 2 AA的充要条件是 rank Arank EAn（其中E为单位矩阵） . E1 1 54.设D E 22，其中 1,2,k为互异的数， Ek k E i1,2, k 为适当阶的单位矩阵 .证明：凡与D相乘可交换的矩阵必 i C 1 为且仅为X C 2的形状，其中 C 为与 Ei同阶的矩阵， i C k i1, 2, k.并进一步证明：当且仅当两个实对称矩阵A, B可交换时，可 找到同一个正交矩阵Q，使 1 Q AQ 和 1 Q BQ 同时为对角形 . 55.设A是一个 n 阶实可逆方阵 .证明：存在 n 阶正交矩阵P,

15、Q，使 a 1 PAQ a 2，其中每个 a0，且 i 222 a1, a2, an为 T A A的全部 a n 特征值. 56.设A是一个 n 阶方阵.证明：A可分解为ADM，其中D相似于对角形， m M为幂零矩阵，即存在正整数m使M0，且DMMD. 8 57.设A是一个秩为 r 的 m n 矩阵.证明：存在 m阶正定矩阵P和 n 阶正交矩阵 Q，使 D0 T APQ ，其中D为一个秩为 r 且对角线元素都大于零的对角 00 形矩阵. 58.设V是数域F上的一个 n 维线性空间 . 证明：V的任意一个线性变换必可表 为一个可逆线性变换与一个幂等变换的乘积. 59.设A, B为两个 n 阶正定

16、矩阵 .证明： ABAB . 60.设是数域F上的 n 维线性空间V的一个线性变换 . 证明：秩秩 2的充 要条件是V V. 1 0 1 0 61.设是数域F上的 n 维线性空间V的一个线性变换，f x , g xF x ， h xf x g x .证明：若fx , g x1,则 kerhker fkerg. 62.设是数域F上的线性空间V的一个线性变换， 1,2,k是的互不相 同的特征值， 1,2,k是相对应的特征向量 .如果W是V的一个子 空间，且12kW，求证dimWk. 63.设f是从 n 阶复方阵所成线性空间到复数域的一个线性映射，且对一切n阶 复方阵A, B有 fABf BA .证

17、明：存在复数 a，使对任何 n 阶复方阵 n Gg，有 ij f Gaga tr G . jj j 1 123n n12n1 64.求矩阵Bnnn的特征值. 112 2341 9 2 a1aa1aa1 1121n 65.已知 n a0.求 i A 2 a a1a1a a1 2122n 的特征值. i 1 2 a a1a a1a1 n1n2n 66.设A, B是两个 n n 矩阵，CABBA，且C与A, B可交换.证明：存在正 m整数 m使C0. 2 axaaa a 1121n 67.设 a1, a2, an均为实数.证明： 2 a aaxa a 2122n 被 n 1 x整除，并 2 a aa

18、 aax n1n2n 求其它因子 . 68.设A, B分别为 m阶和 n 阶方阵， fB=EB .证明： fBA 可逆的充要 条件是A, B无相同的特征值 . 69.设A, B分别为 m阶和 n 阶方阵，且A, B无相同的特征值 .证明：AXXB只 有唯一解X0. 70.设A, B是两个 n n 矩阵，且ABBA. 证明：若A, B均可对角化，则必存在 可逆矩阵T，使 1 TAT与 1 TBT同时为对角形 . 71.证明：任何方阵都可分解为两个对称矩阵的乘积. 72.设S为无穷多个 n 阶方阵所成的集合，且S中每个矩阵可对角化，任意两个 矩阵可交换 .证明：必存在可逆矩阵P，使AS， 1 P

19、AP为对角形. 73.设A是一个秩为 r 的 n 阶方阵.证明： （1） 2 AA的充要条件是存在秩为r 的 nr 矩阵B及 rn矩阵C，使 ABC, CBEr； （2）当 2r AA时，证明： 2EA2nr, AE2 . 74.设A是一个秩为 r 的 n 阶方阵，且 2 AA，A0, E.证明： s: 1snr，存在矩阵B，使ABBA0，且 s 1ss 1 ABABAB. 10 75.设数域F上的 n维线性空间V的线性变换的最小多项式与特征多项式相同. 证明：存在V，使 , n 1为V的一组基. 76.设f是数域F上的一个二次多项式，在F内有互异根 x1, x2，是F上的线 性空间V的线性变

20、换，且x1E,x2E（E为单位变换），f0. 证 明： x1, x2是的特征值，且V可分解为的属于 x1, x2的特征子空间的直和 . 77.设m( )是n阶方阵A的最小多项式，( )是次数大于零的一个多项式 .证 明：(A)可逆的充分必要条件是( ), m( )1. 78.设A为 n 阶实对称正定矩阵，S为 n 阶实反对称矩阵 . 证明： det A S0. 79.设A为秩为2的三阶实对称矩阵，满足 220 AA. （1）求A的全部特征值； （2）当k为何值时，AkE（E为单位矩阵）为正定矩阵 80.设A为 n 阶实对称矩阵 .证明：A半正定的充要条件是0, BEA正 定，这里E为单位矩阵

21、. 81.证明：实矩阵A的特征值全为实数的充要条件是存在正交矩阵Q，使 1 Q AQ 为三角阵 . 001 82.设Axy有三个线性无关的特征向量.证明：xy0. 1 100 n 82.设n阶方阵Aaij满足 a0,a1 (i1,2, n). ijij j 1 （1）证明：1是A的一个特征值； m （2）当n2时，求lim. A m 83.设是n维线性空间V的线性变换，的核记为ker，的象记为Im.证 明： （1）0kerker2kerm，ImmIm2ImV； 11 （2）存在正整数k，使得 kk，并且对一切正整数t有 1 kerker k k t ； kerker kk （3）对（2）中的正

22、整数k有，VkerIm. 84.假设V是复数域C上 n 维线性空间(n0)，,是V的线性变换，如果 ，证明：的特征值都是 0，且,有公共特征向量 . （2） 85. 86.设V是复数域C上的n维线性空间，fj:VC(j1, 2)是非零的线性函数 , 且线性无关 .证明:任意V都可表为 1 2,使得 f1( )f1(2)， f2( )f2( 1). 87.设A, B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n1rank An.证明: 存在实 可逆矩阵P使得 T P AP和 T P BP均为对角阵 . 01030 88.设B002010 .证明： 000 2 XB无解，这里X为三阶未知复方阵 . 89.设A

23、为 n n 实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量 1,2, , n ， T A0 （这里 T 表示的转置），且存在 n 维实向量， 使 TT A0，同时对任意 n 维实向量 x和y，当 xAy0 时有 TTT xAyyAx0.证明：对任意 n 维实向量 v，都有 vA0. 90.设 AMnC （即 n n C），定义线性变换 A:Mn CMnC ， A XAXXA. 证明：当A可对角化时， A也可对角化 . 这里 Mn C 是 复数域C上 n 阶方阵组成的线性空间 . 91.设:MnRR是非零线性映射，满足XYYX ， X, YMnR ，这里 MnR 是实数域R上 n 阶方阵组成的线性空间.

24、 在 MR 上定义双线性型 ,： MnRMnRR 为X, YXY . n 12 （1）证明,是非退化的，即若X, Y0，YMnR ，则X0； （2）设 A1, A2, A 是 Mn R 的一组基， 2 n B1, B2, B 是相应的对偶 2 n 基，即 A, B ijij 1,ij, 0,ij. 证明 i n 2 1 AB 是数量矩阵 . ii 92.设 n F是数域F的 n 维列空间，: nn FF 是一个线性变换，若对F上的任 意 n 阶矩阵A，都有AA,Fn，证明：id，其中 n F F， id为 n F n F上的恒等变换 . 93.设A是数域F上的 n 阶非零矩阵 .求证：A相似于 B 0 0 C ，其中B为可逆矩 m 阵，C为幂零矩阵，即存在正整数数m使得 C0. 804 94.设A，B分别是3 2和2 3实矩阵，且 3 AB96 ，求BA. 2 201 95.Ai,Bi是数域F上两个矩阵集合，称它们在F上相似：如果存在F i Ii I 上与iI无关的可逆矩阵P使得1 P APB ，iI.证明：有理数域Q上 ii 两个矩阵集合i,i AB，如果它们在实数域R上相似，则它们在有理 i Ii I 数域Q上也相似 . 13