2020年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练.docx

1、1 福利：本教程由捡漏优惠券（）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包， 一般都是 5-10 元 支付的时候把选择余额宝就行呢每天都可以领取早餐钱 哟！ 2020 年高考理科数学立体几何题型归纳与训练年高考理科数学立体几何题型归纳与训练 【题型归纳】【题型归纳】 题型一线面平行的证明题型一线面平行的证明 例例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AMCD1 3AB1.现将AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD 平面 MBCD，连接 AB，AC. 试判断：在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC?并说明理由 【答

2、案】【答案】当 AP1 3AB 时，有 AD平面 MPC. 理由如下： 连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP. 在梯形 MBCD 中，DCMB，DN NB DC MB 1 2， 在ADB 中，AP PB 1 2，ADPN. AD平面 MPC，PN平面 MPC， AD平面 MPC. 【解析【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线， 证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。 【易错点】【易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。 【思维点拨】【思维点拨】此类题有两大类方法： 1.构造

3、线线平行，然后推出线面平行。 此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。 在 此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此 为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行 2 于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面 平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC 相交于线 PN。 最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。 即

4、先证 AD 平行于 PN，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。 2.构造面面平行，然后推出线面平行。 此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。 我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图 例例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC2， G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 求证：求证：GF平面 ADE； 【答案】【答案】解法一：(1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 3 又 G 是 BE 的中点， 所以 GH

5、AB，且 GH1 2AB. 又 F 是 CD 的中点， 所以 DF1 2CD. 由四边形 ABCD 是矩形得， ABCD，ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH. 又 DH平面 ADE，GF平面 ADE， 所以 GF平面 ADE. 解法 2：(1)证明：如下图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF. 又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE. 又 AE平面 ADE，GM平面 ADE， 所以 GM平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MF AD. 又 AD平面 ADE，MF平面 ADE， 所以 MF

6、平面 ADE. 又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF， 所以平面 GMF平面 ADE. 因为 GF平面 GMF，所以 GF平面 ADE. 【解析】【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。 【易错点】【易错点】线段比例关系 【思维点拨】【思维点拨】同例一 题型二题型二 线线垂直、面面垂直的证明线线垂直、面面垂直的证明 例例 1 如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAAB=BC=2，D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 (1)求证：PABD； (2)求证：平面 BDE平面 PAC 4 【答案】【答案】(1)证明：因为 PAAB

7、，PABC，ABBCB， 所以 PA平面 ABC. 又因为 BD平面 ABC， 所以 PABD. (2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 的中点， 所以 BDAC. 由(1)知，PABD，又 ACPAA， 所以 BD平面 PAC. 因为 BD平面 BDE， 所以平面 BDE平面 PAC. 【解析】【解析】(一)找突破口 第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直； 第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件 可证； (二)寻关键点 有什么想到什么注意什么 信息：PAAB，PABC 线面垂直的判定定理，可证 PA平面 ABC

8、 (1)证明线面平行的条件：一 直线在平面外， 一直线在平面 内 (2)证明线面垂直时的条件： 直线垂直于平面内两条相交 直线 (3)求点到面的距离时要想到 借助锥体的“等体积性” 信息：ABBC，D 为 AC 的中点 等腰三角形中线与高线合一， 可得 BDAC 信息：PABD 证明线线垂直， 可转化到证明 一直线垂直于另一直线所在 平面， 再由线面垂直的定义可 得 信息： 平面 BDE平面 PAC 面面垂直的判定定理， 线线垂 直线面垂直面面垂直 信息：PA平面 BDE 线面平行的性质定理， 线面平 行，则线线平行，可得 PA DE 【易错点】【易错点】规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程

9、。 【思维点拨】【思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在 证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条 件直接应用 5 (2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面 平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行 (3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为 证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解 决 (4)证明的核心是转化，空间向平面的

10、转化，面面线面线线 题型三题型三 空间向量空间向量 例例 1 如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD ，AB=BD. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值 【答案】【答案】(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而 ADDC. 又ACD 是直角三角形，所以ADC90. 取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO. 又因为ABC 是正三角形，所以 BOAC. 所以DOB 为二面角 DACB 的平面角 在

11、 RtAOB 中，BO2AO2AB2. 又 ABBD， 所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2， 故DOB90. 所以平面 ACD平面 ABC. (2)由题设及(1)知，OA，OB，OD 两两垂直以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向，| OA|为单 6 位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1) 由题设知， 四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的1 2， 从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的1 2，即 E 为 DB 的中点，得 E 0， 3 2 ，1 2

12、.故 AD (1，0,1)，AC(2,0,0)，AE1， 3 2 ，1 2 . 设 n(x1，y1，z1)是平面 DAE 的法向量， 则 n AD 0， n AE 0， 即 x1z10， x1 3 2 y11 2z 10. 可取 n 1， 3 3 ，1 . 设 m(x2，y2，z2)是平面 AEC 的法向量， 则 m AC 0， m AE 0， 即 2x20， x2 3 2 y21 2z 20， 可取 m(0，1， 3) 则 cosn，m nm |n|m| 3 3 3 21 3 2 7 7 . 由图知二面角 DAEC 为锐角， 所以二面角 DAEC 的余弦值为 7 7 . 【解析】【解析】(一

13、)找突破口 第(1)问：欲证面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其 大小为 90； 第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所 对应法向量来解决问题 (二)寻关键点 有什么想到什么注意什么 信息：ABC 为正三角形， ACD 是直角三角形 特殊三角形中的特殊的边角： ABC 中三边相等， ACD 中 的直角 (1)建系时要证明哪三条线两 两垂直，进而可作为坐标轴 (2)两平面法向量的夹角不一 定是所求的二面角， 也有可能 是两法向量夹角的补角， 因此 必须说明角的范围 信息：ABDCBD， ABBD 边角相

14、等关系可证两三角形 全等， 进而可证 ADDC， ADC90 7 信息：证明：平面 ACD 平面 ABC 面面垂直的证明方法： 几何法 或定义法 信息：体积相等 由体积的大小关系转化到点 到面的距离的大小关系， 进而 知点 E 为 DB 的中点 【易错点】【易错点】正确建立空间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。 【思维点拨】【思维点拨】1利用空间向量求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标； (3)结合公式进行论证、计算； (4)转化为几何结论 2求空间角应注意的 3 个问题 (1)两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹

15、角，即 cos |cos |. (2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名 称的变化 (3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角 【巩固训练】【巩固训练】 题型一线面平行的证明题型一线面平行的证明 1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，S 是 B1D1的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求 证： (1)直线 EG平面 BDD1B1； (2)平面 EFG平面 BDD1B1. 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】(1)如图，连接 SB， E、G 分别是 BC、SC 的中点， EG

16、SB. 8 又SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，直线 EG平面 BDD1B1. (2)连接 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD. 又SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1， 又 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1. 2.如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA2，E 是侧棱 PA 上的中点 求证：PC平面 BDE； 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，如图： 四边形 ABCD 是正方形

17、， O 是 AC 的中点 又 E 是 PA 的中点，PCOE. PC平面 BDE，OE平面 BDE， PC平面 BDE. 3.如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M 是线段 AB 的中点 9 求证：C1M平面 A1ADD1； 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】证明：因为四边形 ABCD 是等腰梯形， 且 AB2CD，所以 ABDC.又由 M 是 AB 的中点，因此 CD MA 且 CDMA.连接 AD1，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 因为 CDC1D1，CDC1D1， 可得 C1D1MA，C1D1MA， 所以四边形

18、 AMC1D1为平行四边形 因此 C1MD1A，又 C1M平面 A1ADD1，D1A平面 A1ADD1， 所以 C1M平面 A1ADD1. 题型二题型二 线线垂直、面面垂直的证明线线垂直、面面垂直的证明 1.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAAB BC，E 是 PC 的中点 (1)证明：CDAE； (2)证明：PD平面 ABE； 【答案】【答案】详见解析 【解析【解析】 (1)在四棱锥 PABCD 中， 因为 PA底面 ABCD， CD平面 ABCD， 故 PACD， ACCD， PAAC A， CD平面 PAC，而 AE平面 PAC， C

19、DAE， (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA， E 是 PC 的中点，AEPC， 10 由(1)知，AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD，而 PD平面 PCD， AEPD， PA底面 ABCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD， ABAD，ABPD， 又ABAEA， 综上可得 PD平面 ABE. 2.如图，在三棱锥 PABC 中，PAPBPCAC4，ABBC2 2. 求证：平面 ABC平面 APC； 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】(1)证明：如图所示，取 AC 中点 O，连接 OP，OB. PAPCAC4， OPAC，且 PO4sin602 3.

20、 BABC2 2， BA2BC216AC2，且 BOAC， BO AB2AO22. PB4， OP2OB212416PB2， OPOB. ACOBO，OP平面 ABC. OP平面 PAC， 平面 ABC平面 APC. 3.如图所示， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， AB2AD2， BD 3， PD底面 ABCD. 证明：平面 PBC平面 PBD； 【答案】【答案】详见解析 11 【解析】【解析】(1)证明： 1,2,3CBCDBD CD2BC2BD2， BCBD. 又PD底面 ABCD，PDBC. 又PDBDD，BC平面 PBD. 而 BC平面 PBC， 平面 PBC

21、平面 PBD. 题型三空间向量题型三空间向量 1.已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14， D 是棱 AA1的中点如图所示 (1)求证：DC1平面 BCD； (2)求二面角 ABDC 的大小 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系 由题意， 可得点 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B(0,2,0)， D(2,0,2)， A1(2,0,4)， C1(0,0,4) 于是， 1 DC (2,0,2)，DC (2,0，2)，DB (2，2，2) 可算得 1 DC DC 0， 1 DC DB 0. 因此，DC1DC，DC1

22、DB. 又 DCDBD，所以 DC1平面 BDC. (2)设 n(x，y，z)是平面 ABD 的法向量， 又AB (2,2,0)，AD (0,0,2)， 所以 2x2y0， 2z0. 取 y1，可得 x1， y1， z0， 即平面 ABD 的一个法向量是 n(1,1,0) 由(1)知， 1 DC 是平面 DBC 的一个法向量， 记 n 与 1 DC 的夹角为， 则 cos1 2， 2 3 . 结合三棱柱可知，二面角 ABDC 是锐角， 故所求二面角 ABDC 的大小是 3. 2.如图 1，在 RtABC 中，ACB30，ABC90，D 为 AC 中点，AEBD 于点 E，延长 AE 交 BC

23、于点 F，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，如图 2 所示 12 (1)求证：AE平面 BCD； (2)求二面角 ADCB 的余弦值； (3)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM平面 ADC？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在，请说明 理由 【答案】【答案】详见解析 【解析【解析】 (1)证明： 因为平面 ABD平面 BCD， 交线为 BD， 又在ABD 中，AEBD 于点 E，AE平面 ABD， 所以 AE平面 BCD. (2)由(1)中 AE平面 BCD 可得 AEEF. 由题意可知 EFBD，又 AEBD， 如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF，ED，EA

24、 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz，不妨设 AB BDDCAD2，则 BEED1. 由图 1 条件计算得 AE 3，BC2 3，BF 2 3 3 ，则 E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，A(0,0， 3)， F 3 3 ，0，0 ，C( 3，2,0)，DC ( 3，1,0)，AD (0,1， 3)由 AE平面 BCD 可知平面 DCB 的法 向量为EA ，EA (0,0， 3)， 设平面 ADC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 3xy0， y 3z0. 令 z1，则 y 3，x1，所以 n(1，3，1) 因为平面 DCB 的法向量为EA

25、， 所以 cosn，EA 5 5 . 所以二面角 ADCB 的余弦值为 5 5 . (3)设AM AF ，其中0,1 由于AF 3 3 ，0， 3 ， 所以AM AF 3 3 ，0， 3 ，其中0,1 13 所以EMEAAM 3 ,0,(1) 3 3 . 由EM n0， 即 3 3 (1) 30， 解得3 40,1 所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM平面 ADC， 且AM AF 3 4. 3.在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB1，AA1 2，D 为 AA1的中点，BD 与 AB1交 于点 O，CO侧面 ABB1A1. (1)证明：BCAB1； (2)若 OCO

26、A，求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值 【答案】【答案】详见解析 【解析】【解析】(1)证明：由题意 tanABDAD AB 2 2 ，tanAB1B AB BB1 2 2 ， 注意到 0ABD，AB1B 2， 所以ABDAB1B. 所以ABDBAB1AB1BBAB1 2.所以 AB 1BD. 又 CO侧面 ABB1A1，所以 AB1CO. 又 BD 与 CO 交于点 O，所以 AB1面 CBD. 又因为 BC面 CBD，所以 BCAB1. (2)如图，分别以 OD，OB1，OC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，以 O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 A 0， 3 3 ，0 ，B 6 3 ，0，0 ，C 0，0， 3 3 ， B1 0，2 3 3 ，0 ， D 6 6 ，0，0 . 又 因 为 CC1 2 AD ， 所 以 C1 6 3 ，2 3 3 ， 3 3.所以AB 6 3 ， 3 3 ，0 ，AC 0， 3 3 ， 3 3， 1 DC 6 6 ，2 3 3 ， 3 3 . 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)， 则根据AB n0，AC n0 可得 n(1，2， 2)是平面 ABC 的一个法向量， 设直线 C1D 与平面 ABC 14 所成角为.则 sin3 55 55 .