1、第四讲第四讲 二次函数二次函数 二次函数 2 (0)yaxbxc a是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家 已经知道二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况. 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题. 一、一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图像和性质的图像和性质 （1）当0a 时，函数 2 yaxbxc图象开口向上，顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ，对称轴为直 线 2 b x a .在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 2 b x a 时，函数取最小值 2 4 4
2、 acb y a （2）当0a 时，函数 2 yaxbxc图象开口向下，顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ，对称轴为直 线 2 b x a .在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当 2 b x a 时，函数取最大值y 2 4 4 acb a 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题 【例【例 1 1】 请您求出二次函数 2 361yxx 的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值 （或最小值） ，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小） ，并画出该函数的图象 解：解： 22 3613(1)4y
3、xxx . 函数图象的开口向下， 对称轴方程x1，顶点坐标为(1，4)， 当1x 时， max 4y. 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 (如图) . x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa x1 二、二、二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 1 1一般式：一般式： 2 (0)yaxbxc a. 2 2顶点式：顶点式：)0()( 2 akhxay，顶点坐标是),(kh 3 3交点式：交点式： 12 ()() (0)ya xxxxa，其中 1 x，
4、 2 x是二次函数图象与x轴交点的横坐标 【例【例 2 2】已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式 解：解：设该二次函数为 2 (0)yaxbxc a 由条件得 222 812 4288 abca cb abcc .所求的二次函数为 2 2128yxx 【例【例 3 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线1yx上，并且图象经过点（3，1）， 求此二次函数的解析式 解：解：由条件易知顶点坐标是（1，2）， 设该二次函数的解析式为 2 (2)1(0)ya xa， 图像经过点（3，1）， 2 1(32)12aa 二次函数的解析式为 2 2(2)1
5、yx ，即 2 287yxx 【例【例 4 4】已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于 2，求此二次函数的 表达式 解：解：法一 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 可设二次函数为(3)(1) (0)ya xxa，即 2 23yaxaxa. 顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a ， 二次函数图象的顶点到x轴的距离为 2， 1 | 4 | 2 2 aa 二次函数的表达式为 2 13 22 yxx或 2 13 22 yxx 解：解：法二 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 对称轴为直线1x 又顶点到x轴的距离为 2，顶点的纵坐标为 2 或
6、2 可设二次函数为 2 (1)2ya x或 2 (1)2ya x. 函数图象过点(1，0)， 1 2 a 二次函数的表达式为 2 13 22 yxx或 2 13 22 yxx 说明：说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式 来求二次函数的表达式？ 三、二次函数的最值问题三、二次函数的最值问题 【例【例 5 5】当22x 时，求函数 2 23yxx的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象当1x 时， min 4y ，当2x 时， max 5y 【例【例 6 6】当12x时，求函数 2 1yxx 的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象当1x 时， max 1y ，当2x 时， min 5y 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：
