2021年湖北省黄石市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 24页） 2021 年湖北省黄石市中考数学试卷年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每个小题给出的四个选项中，只在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）? ? ?的倒数是（ ） A2B? ? C? ? ? D? ? 2 （3 分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A梯形B等边三角形C平行四边形D矩形 3 （3 分）如图是由 6 个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（） ABCD 4 （3 分）计算（5x

2、3y）2正确的是（） A25x5y2B25x6y2C5x3y2D10 x6y2 5 （3 分）函数 y? ? ?t? t（x2）0的自变量 x 的取值范围是（） Ax1Bx2Cx1 且 x2Dx1 且 x2 6 （3 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展主题为党在我心中的绘画、书法、 摄影等艺术作品征集活动，从八年级 5 个班收集到的作品数量（单位：件）分别为 50、 45、42、46、50，则这组数据的众数是（） A46B45C50D42 7 （3 分）如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 A 点的坐标是（1，0） ， 现将ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 90，则

3、旋转后点 C 的坐标是（） 第 2页（共 24页） A （2，3）B （2，3）C （2，2）D （3，2） 8 （3 分）如图，A、B 是O 上的两点，AOB60，OFAB 交O 于点 F，则BAF 等于（） A20B22.5C15D12.5 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，按以下步骤作图：以 B 为圆心，任意 长为半径作弧，分别交 BA、BC 于 M、N 两点；分别以 M、N 为圆心，以大于? ?MN 的 长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP，交边 AC 于 D 点若 AB10，BC6， 则线段 CD 的长为（） A3B?t ? C? ? D? ? 10 （3

4、分）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部 分对应值如下表： x1012 ym22n 且当 x? ? ?时，对应的函数值 y0有以下结论： abc0；m+n? ?t ? ；关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在? ? ?和 0 之间； P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数 t ? ?时，y1y2 其中正确的结论是（） ABCD 二、填空题（二、填空题（11-14 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，15-18 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 28 分）分） 第 3页（共 24页）

5、 11 （3 分）计算： （? ?） 1| ? ?2| 12 （3 分）分解因式：a32a2+a 13 （3 分）2021 年 5 月 21 日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全 国 人 口 总 数 约 为 14.12 亿 人 用 科 学 记 数 法 表 示 14.12 亿 人 ， 可 以 表 示 为 人 14 （3 分）分式方程 ? ? t ? ? ?3 的解是 15 （4 分）如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别 是 BC、CD，测得 BC5 米，CD4 米，BCD150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的 仰角为 45，则电线杆 AB

6、 的高度约为米 （参考数据： ? ?1.414， ? ?1.732，结果按四舍五入保留一位小数） 16 （4 分）将直线 yx+1 向左平移 m（m0）个单位后，经过点（1，3） ，则 m 的值 为 17 （4 分）如图，A、B 两点在反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，AB 的延长线交 x 轴于 点 C，且 AB2BC，则AOC 的面积是 18 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAF45， AE 交 BD 于 M 点，AF 交 BD 于 N 点 （1）若正方形的边长为 2，则CEF 的周长是 第 4页（共 24页） （2）下列结论：BM2

7、+DN2MN2；若 F 是 CD 的中点，则 tanAEF2；连接 MF，则AMF 为等腰直角三角形其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的 都填上） 三三、解答题解答题 （本大题共本大题共 7 小题小题， 共共 62 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤证明过程或验算步骤） 19 （7 分）先化简，再求值： （1? ? ?） ? ? ，其中 a? ?1 20 （8 分）如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CFAB，DF 交 AC 于 E 点，DEEF （1）求证：ADECFE； （2）若 AB5，CF4，求 BD 的长 21 （8 分）已知关于 x

8、 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为 x1、x2，且 x12+x2212，求 m 的值 22 （8 分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名区域内矿冶 文化旅游点有：A铜绿山古铜矿遗址，B黄石国家矿山公园，C湖北水泥遗址博物 馆，D黄石园博园、矿博园我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅 游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有人，扇形统计图中 A 部分所对应的 扇形圆心角是； （2）补全条形统

9、计图； （3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入 A、 第 5页（共 24页） B 两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率 23 （9 分）我国传统数学名著九章算术记载： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九 十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有 35 个头， 从下面数有 94 只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是 94 只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40 只鸡每只 值 80 元，兔每只值 60 元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元

10、？ 24 （10 分）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，AC 是O 的直径，连接 OP，交 O 于点 D，交 AB 于点 E （1）求证：BCOP； （2）若 E 恰好是 OD 的中点，且四边形 OAPB 的面积是 16 ?，求阴影部分的面积； （3）若 sinBAC? ? ?，且 AD2 ?，求切线 PA 的长 25 （12 分）抛物线 yax22bx+b（a0）与 y 轴相交于点 C（0，3） ，且抛物线的对称 轴为 x3，D 为对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 E、F 两点，若DEF 是等腰

11、直角三角形，求DEF 的面积； 第 6页（共 24页） （3）若 P（3，t）是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求 PQ 的最小值（用含 t 的代数式表示） 第 7页（共 24页） 2021 年湖北省黄石市中考数学试卷年湖北省黄石市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每个小题给出的四个选项中，只在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）? ? ?的倒数是（ ） A2B? ? C? ? ? D? ? 【解答】解：?

12、? ?的倒数是：2 故选：A 2 （3 分）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A梯形B等边三角形C平行四边形D矩形 【解答】解：A梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 3 （3 分）如图是由 6 个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（） ABCD 【解答】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下， 故选：D 4 （3 分）计算（5x3y）2正确的是（

13、） A25x5y2B25x6y2C5x3y2D10 x6y2 【解答】解： （5x3y）225x6y2 第 8页（共 24页） 故选：B 5 （3 分）函数 y? ? ?t? t（x2）0的自变量 x 的取值范围是（） Ax1Bx2Cx1 且 x2Dx1 且 x2 【解答】解：由题意可得： ? t ?t ? ? ? ? t， 解得：x1 且 x2， 故选：C 6 （3 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展主题为党在我心中的绘画、书法、 摄影等艺术作品征集活动，从八年级 5 个班收集到的作品数量（单位：件）分别为 50、 45、42、46、50，则这组数据的众数是（） A46B45C

14、50D42 【解答】解：50 出现了 2 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 50 故选：C 7 （3 分）如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 A 点的坐标是（1，0） ， 现将ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 90，则旋转后点 C 的坐标是（） A （2，3）B （2，3）C （2，2）D （3，2） 【解答】解：观察图像，可知 C（2，3） ， 故选：B 8 （3 分）如图，A、B 是O 上的两点，AOB60，OFAB 交O 于点 F，则BAF 等于（） 第 9页（共 24页） A20B22.5C15D12.5 【解答】解：OFAB， ? ? ? ? ?， AOFBOF

15、? ? ?AOB? ? ? ?6030， BAF? ? ?BOF? ? ? ?3015 故选：C 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，按以下步骤作图：以 B 为圆心，任意 长为半径作弧，分别交 BA、BC 于 M、N 两点；分别以 M、N 为圆心，以大于? ?MN 的 长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP，交边 AC 于 D 点若 AB10，BC6， 则线段 CD 的长为（） A3B?t ? C? ? D? ? 【解答】解：由作法得 BD 平分ABC， 过 D 点作 DEAB 于 E，如图，则 DEDC， 在 RtABC 中，AC? ?t? ?8， SABD+SBCDS

16、ABC， ? ?DE10t ? ?CD6? ? ? ?68， 即 5CD+3CD24， CD3 故选：A 第 10页（共 24页） 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部 分对应值如下表： x1012 ym22n 且当 x? ? ?时，对应的函数值 y0有以下结论： abc0；m+n? ?t ? ；关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在? ? ?和 0 之间； P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数 t ? ?时，y1y2 其中正确的结论是（） ABCD 【解答】解：将（0，2）

17、 ， （1，2）代入 yax2+bx+c 得： ? ? ? ? ? ? t b t ?，解得 b ? ? ? ? ? ， 二次函数为：yax2ax+2， 当 x? ? ?时，对应的函数值 y0， ? ?a? ? ?a+20， a? ? ?， a ? ?，即 b ? ?， a0，b0，c0， abc0，故不正确； x1 时 ym，x2 时 yn， ma+a+22a+2，n4a2a+22a+2， m+n4a+4， a? ? ?， 第 11页（共 24页） m+n? ?t ? ，故正确； 抛物线过（0，2） ， （1，2） ， 抛物线对称轴为 x? ? ?， 又当 x? ? ?时，对应的函数值 y0

18、， 根据对称性：当 x? ? ?时，对应的函数值 y0， 而 x0 时 y20， 抛物线与 x 轴负半轴交点横坐标在? ? ?和 0 之间， 关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在? ? ?和 0 之间，故正确； P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上， y1a（t1）2a（t1）+2，y2a（t+1）2a（t+1）+2， 若 y1y2，则 a（t1）2a（t1）+2a（t+1）2a（t+1）+2， 即 a（t1）2a（t1）a（t+1）2a（t+1） ， a0， （t1）2（t1）（t+1）2（t+1） ， 解得 t ? ?，故不正确， 故选：B 二、填空

19、题（二、填空题（11-14 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，15-18 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 28 分）分） 11 （3 分）计算： （? ?） 1| ? ?2| ? 【解答】解：原式2（2?） 22t? ? 故答案为： ? 12 （3 分）分解因式：a32a2+aa（a1）2 【解答】解：a32a2+a a（a22a+1） a（a1）2 故答案为：a（a1）2 第 12页（共 24页） 13 （3 分）2021 年 5 月 21 日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全 国人口总数约为 14.12 亿人用科学记数法表示 14.12 亿人，可以表示为

20、1.412109 人 【解答】解：14.12 亿14120000001.412109， 故答案为：1.412109 14 （3 分）分式方程 ? ? t ? ? ?3 的解是x3 【解答】解：原方程可变为 ? ? t ? ? ?3， 所以 ? ? ?3， 两边都乘以（x2）得， x3（x2） ， 解得，x3， 检验：把 x3 代入（x2）0， 所以 x3 是原方程的根， 故答案为：x3 15 （4 分）如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别 是 BC、CD，测得 BC5 米，CD4 米，BCD150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的 仰角为 45，则电线杆 A

21、B 的高度约为10.5米 （参考数据： ? ?1.414， ? ?1.732，结果按四舍五入保留一位小数） 【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE 于 F， BCD150， DCF30，又 CD4 米， DF2 米，CF? ? ? ?（米） ， 由题意得E45， EFDF2 米， 第 13页（共 24页） BEBC+CF+EF5+2 ? t2（7+2 ?）米， ABBE7+2 ? ?10.5（米） ， 故答案为 10.5 16 （4 分）将直线 yx+1 向左平移 m（m0）个单位后，经过点（1，3） ，则 m 的值 为3 【解答】解：将直线 yx+1 向左平移 m（m

22、0）个单位后所得直线为：y（x+m） +1 将点（1，3）代入，得31+1m 解得 m3 故答案是：3 17 （4 分）如图，A、B 两点在反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，AB 的延长线交 x 轴于 点 C，且 AB2BC，则AOC 的面积是6 【解答】解：过 A 作 AHOC，过 B 作 BGOC， A、B 两点在反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上， 设 A（x，? ? ?） ，SAOH? ? ?， AB2BC， ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?， 第 14页（共 24页） BG? ? ?AH，HG2CG 点 B 的纵坐标为? ? ?，代反比例

23、函数中得点 B 的坐标为（3x，? ? ?） ， OG3x，HG2x，CGx，则 OC4x， SAOC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4x）（? ? ?）6 故答案为：6 18 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAF45， AE 交 BD 于 M 点，AF 交 BD 于 N 点 （1）若正方形的边长为 2，则CEF 的周长是4 （2）下列结论：BM2+DN2MN2；若 F 是 CD 的中点，则 tanAEF2；连接 MF，则AMF 为等腰直角三角形其中正确结论的序号是（把你认为所有 正确的都填上） 【解答】解： （1）过 A 作 AGAE

24、，交 CD 延长线于 G，如图： 第 15页（共 24页） 四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BADABCADC90， BAE90EADDAG，ABEADG90， 在ABE 和ADG 中， ?h ? ? ? ? ?h ? ? ， ABEADG（ASA） ， BEDG，AGAE， EAF45， EAFGAF45， 在EAF 和GAF 中， ? ? ?h ? ? ?h? ? ? ? ， EAFGAF（SAS） ， EFGF， CEF 的周长：EF+EC+CF GF+EC+CF （DG+DF）+EC+CF DG+（DF+EC）+CF BE+CD+CF CD+BC， 正方形的边长为 2， CEF

25、 的周长为 4； 故答案为：4； 第 16页（共 24页） （2）将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADH，连接 NH， EAF45， EAFHAF45， ABM 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADH， AHAM，BMDH，ABMADH45， 又 ANAN， AMNAHN（SAS） ， MNHN， 而NDHABM+ADH45+4590， RtHDN 中，HN2DH2+DN2， MN2BM2+DN2， 故正确； 过 A 作 AGAE，交 CD 延长线于 G，如图： 由（1）知：EFGFDF+DGDF+BE，AEFG， 设 DFx，BEDGy，则 CFx，CDBCAD2x，EFx+y，CEB

26、CBE2x y， RtEFC 中，CE2+CF2EF2， （2xy）2+x2（x+y）2， 第 17页（共 24页） 解得 x? ? ?y，即 ? ? ? ? ?， 设 x3m，则 y2m， AD2x6m，DG2m， RtADG 中，tanG? ? ? ? ? ? ?3， tanAEF3， 故不正确； MANNDF45，ANMDNF， AMNDFN， ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ?， 又ANDFNM， ADNMFN， MFNADN45， MAFMFA45， AMF 为等腰直角三角形，故正确， 故答案为： 三三、解答题解答题 （本大题共本大题共 7 小题小题， 共共 62 分分.解答

27、应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤证明过程或验算步骤） 19 （7 分）先化简，再求值： （1? ? ?） ? ? ，其中 a? ?1 【解答】解： （1? ? ?） ? ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ?t?， 当 a? ?1 时，原式? ? ?t? ? ? ? 20 （8 分）如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CFAB，DF 交 AC 于 E 点，DEEF （1）求证：ADECFE； （2）若 AB5，CF4，求 BD 的长 第 18页（共 24页） 【解答】 （1）证明：CFAB， ADFF，AECF 在ADE 和CFE 中， ? ?h? ?

28、h ? ? ?h ? h? ， ADECFE（AAS） （2）ADECFE， ADCF4 BDABAD541 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为 x1、x2，且 x12+x2212，求 m 的值 【解答】解： （1）根据题意得（2m）24（m2+m）0， 解得 m0 故 m 的取值范围是 m0； （2）根据题意得 x1+x22m，x1x2m2+m， x12+x22（x1+x2）22x1x212， （2m）22（m2+m）12，即 m2m60， 解得 m12，m23（舍去） 故 m 的值为

29、2 22 （8 分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名区域内矿冶 文化旅游点有：A铜绿山古铜矿遗址，B黄石国家矿山公园，C湖北水泥遗址博物 馆，D黄石园博园、矿博园我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅 游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： 第 19页（共 24页） （1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有50人，扇形统计图中 A 部分所对应的 扇形圆心角是108； （2）补全条形统计图； （3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入 A、 B 两个小组中，求两位老师在同一个小

30、组的概率 【解答】解： （1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：2040%50（人） ， 扇形统计图中 A 部分所对应的扇形圆心角是：360 ? ?t ?108； 故答案为：50，108； （2）C 景点的人数有：501520510（人） ，补全统计图如下： （3）根据题意有四种情形：AA，AB，BA，BB，其中两位老师在同一个小组的有 2 种情 况， 则两位老师在同一个小组的概率是? ? 23 （9 分）我国传统数学名著九章算术记载： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九 十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有 35 个头， 第 20页（共 24页） 从下面

31、数有 94 只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是 94 只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40 只鸡每只 值 80 元，兔每只值 60 元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【解答】解： （1）设笼中鸡有 x 只，兔有 y 只， 依题意得： ? t ? ? ? ?t ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ? ? 答：笼中鸡有 23 只，兔有 12 只 （2）设笼中鸡有 m 只，则兔有? ? 只， 依题意得： t ? ? ? ?t t ? ? ? ?t ， 解得：13m33 设这笼鸡兔共值 w 元，则 w

32、80m+60 ? ? ?50m+1410 500， w 随 m 的增大而增大， 当 m13 时，w 取得最小值，最小值5013+14102060； 当 m33 时，w 取得最大值，最大值5033+14103060 答：这笼鸡兔最多值 3060 元，最少值 2060 元 24 （10 分）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，AC 是O 的直径，连接 OP，交 O 于点 D，交 AB 于点 E （1）求证：BCOP； （2）若 E 恰好是 OD 的中点，且四边形 OAPB 的面积是 16 ?，求阴影部分的面积； （3）若 sinBAC? ? ?，且 AD2 ?，求切线 PA 的长 第

33、21页（共 24页） 【解答】 （1）证明：PA，PB 是O 的切线， PAPB， OAOB， OPAB， AC 是直径， ABC90， BCAB， BCOP. （2）解：OEDE，ABOD， AOAD， OAOD， ADOAOD， AOD 是等边三角形， AOD60， 设 OEm，则 AEBE?m，OA2m，OP4m， 四边形 OAPB 的面积是 16 ?， ? ?OPAB16 ?， ? ? ?4m2 ?m16 ?， m2 或2（舍弃） ， OE2，AB4 ?，OA2m4， ODAB， ? ? ? ? ?， AODBOD60， AOB2AOD120， S阴S扇形OABSAOB? ?t? ?t

34、 ? ? ? ?4 ? ?2? ? ? ?4 ? （3）解：在 RtAOE 中，sinCAB? ?h ? ? ? ?， 第 22页（共 24页） 可以假设 OEx， 则 OAOD3x， DE2x， AE? ?h? ?2 ?x， 在 RtADE 中，AD2AE2+DE2， （2 ?）2（2 ?x）2+（2x）2， x1 或1（舍弃） ， OE1，OA3，AE2 ?， PA 是切线， PAOA， OAP90， CAB+BAD90，APO+PAE90， CABAPO， sinAPEsinCAB? ? ? ? ?h ?， PA3AE6 ? 25 （12 分）抛物线 yax22bx+b（a0）与 y 轴

35、相交于点 C（0，3） ，且抛物线的对称 轴为 x3，D 为对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 E、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积； （3）若 P（3，t）是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求 PQ 的最小值（用含 t 的代数式表示） 第 23页（共 24页） 【解答】解： （1）由题意得： ? ? ?b ? ? ? b ? ? ，解得 ? ? ? b ? ?， 故抛物线的表达式为 yx2+6x3； （2）DEF 是等腰直角三角形， 故 DEDF 且EDF90， 故设 EF 和 x

36、轴之间的距离为 m，则 EF2m， 故点 F（3+m，m） ， 则DEF 的面积? ? ?EFm? ? ? ?2mmm2， 将点 F 的坐标代入抛物线表达式得：m（m+3）2+6（m+3）3， 解得 m3（舍去）或 2， 则DEF 的面积m24； （3）设点 Q 的坐标为（m，m2+6m3） ， 则 PQ2（m3）2+（m2+6m3t）2（m3）2+（m3）2+t62， 设 n（m3）2， 则 PQ2n+（n+t6）2n2+n（2t11）+（t6）2， 二次项系数为 10，故 PQ2有最小值， 当 t? ? ? 时，PQ2的最小值（t6）2? ? ?（112t） 2? ? ， PQ 的最小值为 ? ? ； 当 t ? ? 时，PQ2的最小值（t6）2， PQ 的最小值为|t6|； 第 24页（共 24页） 当 t6 时，PQt6，当? ? t6 时，PQ6t， 综上所述，PQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?