（高中数学 一师一优课系列）高一数学（人教B版)两角和与差的正弦、正切（第二课时）-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题两角和与差的正弦、正切（第二课时）学科数学学段：2019-2020 第二学期年级高一教材书名： 数学 （B 版） 必修 第三册出版社： 人民教育出版社出版日期：2019年4 月姓名单位设计者胡春玉房山区良乡中学实施者胡春玉指导者刘雪明房山区教师进修学校课件制作者胡春玉其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课主要知识要素是两角和与差的正切公式的推导及应用。 其核心教学环节是通过特殊角的正切值求一般角的正切值，探究两角和与差的正切公式，并能灵活应用公式。教学过程中重点关注学生由特殊到一般的逻辑推理能力。共设计两道例题。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入今

2、天我们来学习两角和与差的正弦、正切（第二课时） 。先来复习两角和与差的余弦、正弦公式。通过向量的数量积推导出了两角差的余弦公式C，在两角差的余弦公式中，把变为，就得到了两角和的余弦公式C。 利用诱导公式和两角差的余弦公式推导出了两角和的正弦公式S，在这个公式中，将换成就得出两角差的正弦公式S 。 今天， 我们来探究： 利用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式。复习两角和与差的余弦、 正弦公式， 及公式的推导过程， 为两角和与差的正切公式的推导作铺垫。新课（一）怎样借助30 45，的三角函数值求出tan75 tan15，的值？为了便于大家理解，我们先从特殊角进行分析。同学们都知道3

3、0 45，的三角函数值，那么怎样借助30 45，的三角函数值求出tan75 tan15，的 值 ？ 不 难 看 出 几 个 角 之 间 的 关 系 ：754530 154530，再根据同角三角函数关系中商的关系得sin75sin15tan75tan15cos75cos15，在这两个式子中，把75 15，分别换成45 +30 4530， 就可以利用两角和与差的正弦公式、余弦公式求出tan75 tan15，的值。解 ： 利 用 同 角 三 角 函 数 关 系 中 商 的 关 系 ，sin75sin(4530 )tan75cos75cos(4530 )， 利用两角和的正弦、 余弦公式展开，等于sin

4、45 cos30cos45 sin30cos45 cos30sin45 sin30。现在，我们有多种方法求得最后结果。解法一，代入45 30，的三角函数值，得到2321+222223212222，整理化简得出结果23。同学们思考一下，这个展开式，能化成有关tan45 tan30，的式子吗？请看解法二。根据这个分式的结构特点，分子分母可以同时 除 以cos45 cos30， 分 子 上sin45 cos30tan45cos45 cos30，cos45 sin30tan30cos45 cos30， 分 母 上cos45 cos301cos45 cos30，sin45 sin30tan45 tan3

5、0cos45 cos30，因此展开式等于tan45tan301tan45 tan30，再代入tan45 tan30，值，等于31+331 13 ，化简整理，等于23。比较两种方法，可以看出解法二计算更简便一些。再 看tan15。 解 根 据 同 角 三 角 函 数 关 系 中 商 的 关 系 ，sin15sin(4530 )tan15cos15cos(4530 )，再用两角差的正弦、余弦公式展开，根据分式结构特点，分子分母同时除以cos45 cos30，分子上sin45 cos30tan45cos45 cos30，cos45 sin30tan30cos45 cos30，分母上cos45 cos

6、301cos45 cos30，sin45 sin30tan45 tan30cos45 cos30，因此展开式 等 于tan45tan301tan45 tan30， 再 代 入tan45 tan30，值 ， 等 于通过30 45，的三角函数值求tan75 tan15，的值。 在求值的过程中学生体会如何用两个单角的三角函数值求出两个角和与差的正切值， 进而猜想两角和与差的正切公式。 培养学生的推理能力与运算能力。31331+13，化简整理得23。（ 二 ） 一 般 的 ， 由tantan，的 值 能 求 出tan() tan()，的值吗？现在我们用tan30 tan45，求出了tan75 tan1

7、5，的值， 也就是用tan30 tan45，求出了tan(4530tan(4530 )，的值。如果45 30，换 成 一 般 角， 那 么 我 们 能 用tantan，求tan() tan()，的值吗？根据刚才的结果，先猜想两角和与差的正切公式，再证明。我们先证明两角和的正切公式。根据同角三角函数关系中商的关系，sin()tan()cos()，利用两角和的正弦、余弦公式展开，等于sincoscossincoscossinsin，根据式子结构特点，分子分母同 时 除 以coscos， 分 子 上sincostancoscos，cossintancoscos，分母上coscos1coscos，si

8、nsintantancoscos，因此展开式等于tantan1tantan。所以tantantan( + )=1tantan 。这就是两角和的正切公式。如何证明tan()？方法一，我们可以用类似的方法。sin()tan()cos()，利用两角差的正弦、余弦公式展开，等于sincoscossincoscossinsin，分子分母同时除以coscos，约分化简得到tantan1tantan，所以tan()=tantan1tantan如何证明tan()？方法二，利用刚刚推导出的两角和的正证明两角和的正切公式， 通过由特殊到一般的推导过程， 培养学生的逻辑推理能力。证明两角差的正切公式。 方法一， 通

9、过由特殊到一般的推导过程， 培养学生的逻辑推理能力。证明两角差的切公式，可以将tan( + ) 中的换成。因为tan()等于tan() ， 利用两角和的正切公式得到tantan()1tantan()， 根据诱导公式tan()tan ，可以得到tantantan()1tantan，所以，tantantan().1tantan现在我们已经推导出了两角和与差的正切公式。两角和的正切公式：tantan:tan()1tantanT，；两角差的正切公式：tantan:tan().1tantanT 为了使公式中每一项都有意义，其中， ，均不等于,2kk Z.下面，我们分析这两个式子的结构特点。先看分子，分子

10、是tantan，的和或差，在两角和的正切公式中，分子是和，在两角差的正切公式中，分子是差；再看分母，分母是 1 与tantan，乘积的和或差，在两角和的正切公式中，分母是 1 减去乘积，在两角差的正切公式中，分母是 1 加上乘积。再看加减符号，在两角和的正切公式中，分子上的与左面两角之间的相同，分母上的与两角之间的+相反；在两角差的正切公式中，分子上的与左面两角之间的相同，分母上的与两角之间的相反。因此加减符号可以这样记：分子同，分母异。正切公式。 方法二， 借鉴两角和与差的正弦、 余弦公式中变为的方法， 利用两角和的正切公式推导两角差的正切公式。 在推导过程中培养学生的逻辑推理能力。进一步理

11、解两角和与差的正切公式， 分析公式的结构特点，方便学生记忆。例题下面，我们看两角和与差的正切公式的应用。例 1.求下列各式的值. 1 tan75； tan17tan4321tan17 tan43； 1tan153.1tan15先看第（1）小题，求tan75值。容易看出，754530，结合两角和的正切公式， 从左到右正向使用两角和的正切公式即可。解：31tan45tan303tan75tan(4530 )231tan45 tan30313.通过三道小题，分别正向使用公式、 逆向使用公式、 变形使用公式。 在求值过程中， 加深同学们对两角和与差的正切公式的理解与记忆。看第（2）小题，求tan17t

12、an431tan17 tan43的值。观察式子结构，分子上是，分母上是，容易想到两角和的正切公式，这个式子的结构与两角和的正切公式右边的结构tantan1tantan相同，因此，我们从右到左，逆向使用两角和的正切公式可以求解。解：tan17tan43tan(1743 )tan6031tan17 tan43.再看第 （3） 题， 求1tan151tan15的值。 观察式子结构， 分子上是，分母上是,容易想到两角差的正切公式。 这个式子的结构与两角差的正切公式右边结构不全相同，不能直接使用公式。方法一，因为整个分式中只有tan15未知，而tan15tan(4530 )，因此通过正向使用公式可求出t

13、an15的值，再代入，问题就解决了。解：31tan45tan303tan15tan(4530 )231tan45 tan30313，1tan151 (23)1331tan1531(23)33 .从表面上看，这个式子与两角差的正切公式右边结构不同，通过变形，能变成右边的结构吗？方法二，大家知道tan451，所以在这个式子1tan151tan15中，分子上的 1 可以换成tan45，分母中的tan15可以换成1 tan15，进而换成tan45 tan15，这样1tan151tan15就 变 形 成tan45tan151tan45 tan15了 。 而 变 形 后 的 式 子tan45tan151t

14、an45 tan15与两角差的正切公式右边结构相同，因此从右向左逆向使用两角差的正切公式即可。解：例 3，一方面巩固两角差的正切公式， 一方面引导学生体会灵活变形， 再使用公式， 培养学生思维的灵活性。1tan15tan45tan153tan(4515 )tan301tan151tan45 tan153.比较上面两种方法，同学们会发现灵活变形后，计算更简便。在本题中,通过三道小题分别正向使用公式,逆向使用公式,变形使用公式,加深了同学们对两角和与差的正切公式的理解与记忆。我们再看一道例题。例 2，求tan20tan25tan20 tan25的值.分析这个式子的结构特点， 发现tan20tan2

15、5与两角和的正切公式右边的分子tantan形式相同，tan20 tan25与分母中 1 减掉的部分tantan形式相同，而且202545,tan451，即tan()可求。因此把两角和的正切公式变形成整式：tantantan()(1tantan)，利用变形后的式子可以求出tan20tan25tan45 (1tan20 tan25 )1tan20 tan25 ，代入原式求值即可。解：因为202545，tan20tan25tan(2025 )tan4511tan20 tan25，变形得tan20tan251tan20 tan25 ，代入原式，所以tan20tan25tan20 tan25(1tan2

16、0 tan25 )tan20 tan251.小结：在本题中，需要同学们观察角之间的联系，合理灵活的选用公式。现在，我们再看一看两角和与差的正切公式的变形。tantantan()1tantan可以变形成tantan=tan()(1tantan)；通过例 2，引导学生观察角之间的联系， 合理灵活的选用公式， 理解两角和与差的正切公式的变形， 进一步掌握公式的结构特点、 使用方法， 培养学生的思维灵活性和数学运算能力。tantantan()1tantan可以变形成tantantan()(1tantan).请同学们做一道练习。练习.求值tan70tan103tan70 tan10.下面我们一起来分析，

17、容易看出701060，根据两角差的正切公式可得tan70tan10tan(7010 )=tan6031tan70 tan10，变形后可得tan70tan103(1tan70 tan10 )，代入原式，整理，得到答案3。通过练习， 学生体会两角和与差的公式变形，加深对公式的理解。总结这节课重点推导了两角和与差的正切公式，并对公式应用中常见的问题进行了分析，其中两角和与差的正切公式在使用时可以从左向右正向使用，也可以从右向左逆向使用，还可以变形使用。到本节课，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，同学们既要清楚公式之间的联系，又要牢记公式并灵活应用。对重点内容进行总结。作业1.求下列各式的值. 71 tan12； 1tan752.1tan752.已知tan2 tan5xy，求tan() tan().xyxy，3.若，均为锐角，且11tantan23，求+ . 通过课后作业加强学生对两角和与差的正切公式的理解与应用。