（高中数学 一师一优课系列）高一数学（人教B版）向量数量积的坐标运算-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题向量数量积的坐标运算学科数学学段： 高中年级高一年级教材书名： 普通高中教科书数学（B 版）必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月姓名单位设计者李艳军北京师范大学良乡附属中学实施者李艳军北京师范大学良乡附属中学指导者刘雪明北京市房山区教师进修学校课件制作者李艳军北京师范大学良乡附属中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课要求掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标本节课要求掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算运算，能运用数量积的坐标表达式表示向量的长度能运用数量积的坐标表达式表示向量的长度、距离以及两个向

2、量的夹角距离以及两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。通过五个例题以及一道思考与练习对上会用数量积判断两个向量的垂直关系。通过五个例题以及一道思考与练习对上述内容进行巩固应用，其中有一个例题让学生体验用向量数量积的坐标运算解述内容进行巩固应用，其中有一个例题让学生体验用向量数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题。整节课让学生体会数形结合及转化的数学思想。决某些简单的几何问题。整节课让学生体会数形结合及转化的数学思想。重点：向量数量积的坐标运算与度量公式重点：向量数量积的坐标运算与度量公式.难点：灵活应用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题难点：灵活应用向量数量积的坐标运算与度

3、量公式解决有关问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入在前面的课程中我们学习了向量数量积的定在前面的课程中我们学习了向量数量积的定义、相关性质以及向量数量积的运算律，目前为义、相关性质以及向量数量积的运算律，目前为止，我们学习了向量的四种运算，分别是加法运止，我们学习了向量的四种运算，分别是加法运算算、减法运算减法运算、数乘运算以及数量积运算数乘运算以及数量积运算。其中其中，加法运算、减法运算以及数乘运算不仅具有明显加法运算、减法运算以及数乘运算不仅具有明显的几何特征，而且还可以进行坐标运算，在具有的几何特征，而且还可以进行坐标运算，在具有几何特征的同时还具备了代数的特征，我

4、们刚刚几何特征的同时还具备了代数的特征，我们刚刚提出问题提出问题， 引发思引发思考考学习了向量数量积的几何意义学习了向量数量积的几何意义，知道它具备知道它具备“形形”的特征，那么，它是否也像其他三种运算一样可的特征，那么，它是否也像其他三种运算一样可以进行坐标运算，具备代数的特征呢？答案是肯以进行坐标运算，具备代数的特征呢？答案是肯定的。那么，我们这节课就来共同学习向量数量定的。那么，我们这节课就来共同学习向量数量积的坐标运算。积的坐标运算。新课首先让我们来复习回顾与本节课的内容相关首先让我们来复习回顾与本节课的内容相关的两个知识点。的两个知识点。第一个知识点，向量数量积的定义及相关性第一个知

5、识点，向量数量积的定义及相关性质。质。向量数量积的定义向量数量积的定义， 即即：|cos,a ba ba b 2|aa a ，也可以写成，也可以写成|aa a ，此处需，此处需注意：在写法上，注意：在写法上，2aa a 。这个公式可以用来。这个公式可以用来求向量的模。求向量的模。当当a与与b都是非零向量时都是非零向量时，cos,|a ba ba b ，这个公式可以用来求两向量之间的夹角。这个公式可以用来求两向量之间的夹角。0aba b ，这个公式可以用来证明某，这个公式可以用来证明某些垂直问题，或者将某些垂直问题转化成向量数些垂直问题，或者将某些垂直问题转化成向量数量积的语言进行求解。量积的语

6、言进行求解。接下来接下来我们复习回顾第我们复习回顾第 2 个知识点，必修第个知识点，必修第二册学习过的平面向量坐标表示的定义？二册学习过的平面向量坐标表示的定义？在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，分分别给定与别给定与x轴、轴、y轴正方向相轴正方向相同的单位向量同的单位向量1e和和2e 之后之后，根根据平面向据平面向量基本定理可知量基本定理可知，对对平面内的任意向量平面内的任意向量a， 有且只有一对实数有且只有一对实数, x y， 使使得得12axeye 。这时我们称有序实数对。这时我们称有序实数对( , )x y是是复习旧知复习旧知， 引出新引出新知知， 为后续的学习为后续的学习提供铺垫提

7、供铺垫向量向量a的坐标，记作的坐标，记作( , )ax y。而且，。而且，12 ,e e 是是一组单位正交基底，根据前面学习过的向量数量一组单位正交基底，根据前面学习过的向量数量积的定义积的定义， 可得可得11221e eee ，12210e eee 。向量可以用坐标表示，前面我们学习了向量向量可以用坐标表示，前面我们学习了向量数量积的定义，那么向量的数量积可以用坐标表数量积的定义，那么向量的数量积可以用坐标表示吗？示吗？我们看第我们看第1个思考题：设个思考题：设1122( ,),(,)ax ybxy，你能用，你能用, a b 的坐标表示的坐标表示a b 吗？吗？由向量坐标的定义可知，存在单位

8、正交基底由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底12 ,e e ，使得，使得1 112ax ey e ，2 122bx ey e ，因，因此此a b =1 112()x ey e 2 122()x ey e =12 1112 1212211222x x e ex y e ey x eey y ee ，根据根据刚 才 的 结 论 ， 其 中刚 才 的 结 论 ， 其 中11221e eee ，12210e eee ， 所 以， 所 以a与与b的 数 量 积 等 于的 数 量 积 等 于1212x xy y。从而从而1212a bx xy y ，即两个向量的即两个向量的数量积等于这两个向量的横坐标之

9、积与纵坐标之数量积等于这两个向量的横坐标之积与纵坐标之积的和。积的和。前面我们学习了向量数量积的性质，得出了前面我们学习了向量数量积的性质，得出了向量模、以及两个向量夹角的余弦公式，那么这向量模、以及两个向量夹角的余弦公式，那么这些公式可以用坐标表示吗？些公式可以用坐标表示吗？我 们 来 看 第我 们 来 看 第2个 思 考 题 ：个 思 考 题 ：设设1122( ,),(,)ax ybxy，且它们都不是零向量时，且它们都不是零向量时，你能用你能用, a b 的坐标表示的坐标表示|,|ab和和cos, a b 吗？吗？由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表

10、思考问题思考问题， 利用所利用所学得出向量数量学得出向量数量积定义的坐标表积定义的坐标表达式。达式。通过问题和思考通过问题和思考示得：示得：222111111|( ,) ()ax yxyxy22111111|aa axxyyxy 即：，同理可得：同理可得：2222|bb bxy ，当当a和和b是零向量时，它们的模是是零向量时，它们的模是 0。这两个向量夹角的余弦是这两个向量夹角的余弦是121222221122cos,|x xy ya ba ba bxyxy 小结：利用向量的坐标可以迅速的求出向量小结：利用向量的坐标可以迅速的求出向量的数量积、向量的模以及两个向量的夹角。的数量积、向量的模以及两

11、个向量的夹角。下面我们来看第下面我们来看第 3 个思考题：在平面直角坐个思考题：在平面直角坐标系中标系中， 如果如果1122( ,), (,)A x yB xy， 你能利用向量的你能利用向量的数量积得出这两点之间的距离公式吗？数量积得出这两点之间的距离公式吗？如果如果1122( ,), (,)A x yB xy，则，则2121(,)ABxx yy ，所以平面直角坐标系中线，所以平面直角坐标系中线段段AB的 长 度 等 于的 长 度 等 于AB 的 模 ， 等 于的 模 ， 等 于222121()()xxyy，这是平面直角坐标系中两这是平面直角坐标系中两点间的距离公式。点间的距离公式。小结：利用

12、向量的数量积可以方便的得出平小结：利用向量的数量积可以方便的得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式。面直角坐标系中两点之间的距离公式。下面我们来看例下面我们来看例 1： 已知已知(3, 1),(1, 2),ab求求,a b |,|,aba b .解：题目直接给出了解：题目直接给出了a，b的坐标，所以的坐标，所以直接代直接代入向量数量积的坐标运算公式可知入向量数量积的坐标运算公式可知：题题， 得出向量的模得出向量的模和夹角公式的坐和夹角公式的坐标运算标运算通过思考题得出通过思考题得出向量数量积证明向量数量积证明平面上两点之间平面上两点之间距离公式的方法距离公式的方法，体会向量数量积体会向量数量积

13、的作用的作用2222(3, 1) (1, 2)3 1 ( 1) ( 2)5,|3( 1)10,|1( 2)5a bab 52cos,2|105a ba ba b 因为两个向因为两个向量夹角的范围是大于等于量夹角的范围是大于等于 0 小于等于小于等于，所以，所以,4a b 。下 面 我 们 来 看 例下 面 我 们 来 看 例2 ： 已 知 点： 已 知 点(1,2),(3,4),(5,0),ABC求求BAC的余弦值。的余弦值。这是一个平面几何中的角度问题，而向量与这是一个平面几何中的角度问题，而向量与向量之间也有夹角，你能将这个角度问题转化为向量之间也有夹角，你能将这个角度问题转化为向量夹角的

14、问题，进而用向量夹角的坐标运算来向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决吗？解决吗？如 图 ， 在如 图 ， 在ABC中 ，中 ，BAC是 向 量是 向 量AB 和 向 量和 向 量AC的夹角，的夹角，此处，要特别此处，要特别提醒同学们，要求两个向量提醒同学们，要求两个向量的夹角，必须将这两个向量的夹角，必须将这两个向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量AB 与与向量向量AC有共同的起点有共同的起点 A， 因此角因此角 BAC 就是向量就是向量AB 与向量与向量AC的夹角的夹角。 可利用两向量夹角的余弦可利用两向量夹角的余弦公式来求解。公式来求解。因

15、为因为(3 1,42)(2,2),(5 1,02)(4, 2)ABAC 所以所以通过例题让学生通过例题让学生巩固应用向量数巩固应用向量数量积的坐标运算量积的坐标运算2 42 ( 2)4AB AC ，2222|228,|4( 2)20ABAC ，因此因此410cos10|820AB ACBACABAC 。前面学习了两个向量垂直的充要条件，你能前面学习了两个向量垂直的充要条件，你能用向量的坐标表示出两个向量垂直的充要条件用向量的坐标表示出两个向量垂直的充要条件吗？吗？我 们 来 看 第我 们 来 看 第4个 思 考 题 ： 设个 思 考 题 ： 设1122( ,),(,)ax ybxy，你能用，你

16、能用, a b 的坐标表示出的坐标表示出ab的充要条件吗？的充要条件吗？因 为因 为ab的 充 要 条 件是的 充 要 条 件是0a b ， 因此， 因此12120abx xy y。小结：利用向量的坐标和向量的数量积，可小结：利用向量的坐标和向量的数量积，可以方便的表达出向量垂直的条件。以方便的表达出向量垂直的条件。下 面 我 们 来 看 例下 面 我 们 来 看 例3 ： 已 知 点： 已 知 点(1,2),(2,3),( 2,5),ABC 求证：求证：ABAC 。本题考察向量与向量的垂直问题，而题目本题考察向量与向量的垂直问题，而题目的的条件中给出了点的坐标，你能将条件中给出了点的坐标，你

17、能将这个垂直问题转这个垂直问题转化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决吗？答案是肯定的，下面是解题过程。吗？答案是肯定的，下面是解题过程。因为因为(2,3)(1,2)(1,1),( 2,5)(1,2)( 3,3)ABAC 所以所以(1,1) ( 3,3)1 ( 3)1 30AB AC ，因，因此此ABAC 。通过思考题通过思考题， 让学让学生感受向量垂直生感受向量垂直的坐标运算表达的坐标运算表达式式下面我们继续来看下面我们继续来看例例4：如图，已知点：如图，已知点(2,1)A，将向量将向量OA 绕原点绕原点O逆时针逆时针旋转旋转2得到得到OB ，求点求

18、点B的的坐标。坐标。你能挖掘已知条件，从而找到关于点你能挖掘已知条件，从而找到关于点B坐标坐标的方程吗？的方程吗？由已知可得：由已知可得：| |,0OBOA OA OB ，设，设( , )B x y，则，则( , ),OBx y 又因为又因为(2,1),OA 则由则由| |OBOA 可得可得222221xy，由由0OA OB 可可得得20 xy，联立这两个方程联立这两个方程，解得解得1,2xy 或或1,2xy ， 又 因 为 由图 可知， 又 因 为 由图 可知0,x 所 以所 以( 1,2)B 。小结：小结：利用向量的坐标求向量的数量积是一利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，同样，

19、向量的长度，距离以及向种常用的方法，同样，向量的长度，距离以及向量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条件而定。件而定。接下来我们看例接下来我们看例 5： 如图如图， 已知正方形已知正方形ABCD中，中，P为对角线为对角线AC不在不在端 点 上 的 任 意 一 点 ，端 点 上 的 任 意 一 点 ，,PEAB PFBC，连接连接,DP EF。求证：。求证：DPEF。若要证若要证DPE

20、F，只需证只需证DPEF ，进一步进一步通过此题让学生通过此题让学生感受向量解决几感受向量解决几何问题的作用何问题的作用只需证证只需证证0DP EF 。同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决。题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决。如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。如图如图， 我们可以以我们可以以A为为原点原点，AB所在直线为所在直线为x轴轴，正方形的边长为单位长正方形的边长为单位长， 建建立 平面

21、 直角 坐标 系 ，则立 平面 直角 坐标 系 ，则(0,0),(1,0),(0,1),ABD从 而从 而(1,0),(0,1)ABAD ，由已知，可设，由已知，可设( , )P a a，其，其中中01a，则，则( ,0),(1, ),E aFa因此因此( ,1),(1, )DPa aEFa a 。又 因 为又 因 为(1)(1)0DP EFaaaa ， 所 以， 所 以,DPEF 因此因此DPEF。同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表示出向量示出向量DP 和向量和向量EF ， 将垂直问题转化为利用将垂直问题转化为利用向量数量积的定义式来解决呢？大家可以

22、课后自向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自行尝试。行尝试。小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可以使题目变得简单、易操作。以使题目变得简单、易操作。接下来接下来， 我们看一道思我们看一道思考与练习。考与练习。已 知 点已 知 点( , )A a b， 点， 点1( , )A b a，求证求证：直线直线yx是线段是线段1AA的垂直平分的垂直平分线。线。我们来分析这道题目我们来分析这道题目

23、： 如果要证直线如果要证直线yx是是线段线段1AA的垂直平分线，需要证明两件事，第一的垂直平分线，需要证明两件事，第一件事证明直线件事证明直线yx是线段是线段1AA的平分线的平分线，即证直即证直线线yx通过线段通过线段1AA的中点的中点，第二件事证明直线第二件事证明直线yx与线段与线段1AA垂直垂直。接下来接下来：我们先来证明第我们先来证明第一件事：一件事：要证直线要证直线yx通过线段通过线段1AA的中点的中点，可以通可以通过证明线段过证明线段1AA的中点在直的中点在直线线yx上上。 设线段设线段1AA的中的中点为点点为点M ( , )x y, 则根据中则根据中点坐标公式得：点坐标公式得：2a

24、bx,2bay，所以，所以x等于等于y. 点点M在直线在直线yx上上。即我们完成了证明直线即我们完成了证明直线yx通过线段通过线段1AA的中的中点这件事情。点这件事情。接下来接下来，我们证明第二件事我们证明第二件事，直线直线yx与线与线段段1AA垂直。同学们想一想，是否可以通过将垂垂直。同学们想一想，是否可以通过将垂直问题转化为向量数量积的坐标运算得以解决直问题转化为向量数量积的坐标运算得以解决呢？题目已经给出了点呢？题目已经给出了点A与点与点1A的坐标，因此，的坐标，因此，根据已知根据已知，1( , )( , )(,)AAb aa bba ab，那么如何证明直线那么如何证明直线yx与与1AA

25、垂直呢？垂直呢？我们可以在直线我们可以在直线yx上上，任取一点任取一点,P则根则根通过对此题的分通过对此题的分析析， 提高学生分析提高学生分析问题和解决问题问题和解决问题的能力的能力据题目的条件，可设点据题目的条件，可设点( , ),P x x于是于是( , )OPx x ，所以所以1( , ) (,)()()0,OP AAx xba abx bax ab 所以所以1OPAA 。 从而从而， 直线直线yx与线段与线段1AA垂直垂直，因此，直线因此，直线yx是线段是线段1AA的垂直平分线。的垂直平分线。例题例例1 ： 已 知： 已 知(3, 1),(1, 2),ab求求,a b |,|,aba

26、b .解：题目直接给出了解：题目直接给出了a，b的坐标，所以的坐标，所以直接代直接代入向量数量积的坐标运算公式可知入向量数量积的坐标运算公式可知：2222(3, 1) (1, 2)3 1 ( 1) ( 2)5,|3( 1)10,|1( 2)5a bab 52cos,2|105a ba ba b 因为两个向因为两个向量夹角的范围是大于等于量夹角的范围是大于等于 0 小于等于小于等于，所以，所以,4a b 。例例 2：已知点：已知点(1,2),(3,4),(5,0),ABC求求BAC的余弦值。的余弦值。这是一个平面几何中的角度问题，而向量与这是一个平面几何中的角度问题，而向量与向量之间也有夹角，你

27、能将这个角度问题转化为向量之间也有夹角，你能将这个角度问题转化为向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决吗？解决吗？如 图 ， 在如 图 ， 在ABC中 ，中 ，BAC是 向 量是 向 量AB 和 向 量和 向 量AC的夹角，的夹角，此处，要特别此处，要特别通过例题的讲解通过例题的讲解和分析进一步巩和分析进一步巩固本节所学内容固本节所学内容提醒同学们，要求两个向量的夹角，必须将这两提醒同学们，要求两个向量的夹角，必须将这两个向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量个向量移动至共同的起点。在这个题目中，向量AB 与向量与向量AC有共同的起点有共同的

28、起点 A，因此角，因此角 BAC 就就是向量是向量AB 与向量与向量AC的夹角的夹角。 可利用两向量夹角可利用两向量夹角的余弦公式来求解。的余弦公式来求解。因为因为(3 1,42)(2,2),(5 1,02)(4, 2)ABAC 所以所以2 42 ( 2)4AB AC ，2222|228,|4( 2)20ABAC ，因此因此410cos10|820AB ACBACABAC 。例例 3：已知点：已知点(1,2),(2,3),( 2,5),ABC 求证：求证：ABAC 。本题考察向量与向量的垂直问题，而题目本题考察向量与向量的垂直问题，而题目的的条件中给出了点的坐标，你能将条件中给出了点的坐标，你

29、能将这个垂直问题转这个垂直问题转化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决吗？答案是肯定的，下面是解题过程。吗？答案是肯定的，下面是解题过程。因为因为(2,3)(1,2)(1,1),( 2,5)(1,2)( 3,3)ABAC 所以所以(1,1) ( 3,3)1 ( 3)1 30AB AC ，因，因此此ABAC 。例例 4：如图，已知点：如图，已知点(2,1)A，将向量，将向量OA 绕原点绕原点O逆时针旋转逆时针旋转2得到得到OB ，求点，求点B的坐标。的坐标。你能挖掘已知条件，从而找到关于点你能挖掘已知条件，从而找到关于点B坐标坐标的方程吗？的方程吗？由已

30、知可得：由已知可得：| |,0OBOA OA OB ，设，设( , )B x y，则，则( , ),OBx y 又因为又因为(2,1),OA 则由则由| |OBOA 可得可得222221xy，由由0OA OB 可可得得20 xy，联立这两个方程联立这两个方程，解得解得1,2xy 或或1,2xy ， 又 因 为 由图 可知， 又 因 为 由图 可知0,x 所 以所 以( 1,2)B 。小结：小结：利用向量的坐标求向量的数量积是一利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，同样，向量的长度，距离以及向种常用的方法，同样，向量的长度，距离以及向量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运量之间的夹角

31、也都可以利用向量数量积的坐标运算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时算得解。那么，何时采用向量的矢量运算，何时采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条件而定。件而定。例例 5：如图，已知正方形：如图，已知正方形ABCD中，中，P为对为对角线角线AC不在端点上的任不在端点上的任意一点，意一点，,PEAB PFBC，连接连接,DP EF。求证：。求证：DPEF。若要证若要证DPEF，只需证只需证DPEF ，进一步进一步只需证证只需证证0DP EF 。同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问同学们是否可以采取代数法证明？将垂直问题转化为利用向量数量积的坐

32、标运算来解决。题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决。如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要如果转化为向量数量积的坐标运算，则需要坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。坐标，若需要坐标，则需要平面直角坐标系。如图如图， 我们可以以我们可以以A为为原点原点，AB所在直线为所在直线为x轴轴，正方形的边长为单位长正方形的边长为单位长， 建建立 平面 直角 坐标 系 ，则立 平面 直角 坐标 系 ，则(0,0),(1,0),(0,1),ABD从 而从 而(1,0),(0,1)ABAD ，由已知，可设，由已知，可设( , )P a a，其，其中中01a，则，则( ,0),(1, ),E aFa因此因此

33、( ,1),(1, )DPa aEFa a 。又 因 为又 因 为(1)(1)0DP EFaaaa ， 所 以， 所 以,DPEF 因此因此DPEF。同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表示出向量示出向量DP 和向量和向量EF ， 将垂直问题转化为利用将垂直问题转化为利用向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自行尝试。行尝试。小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立平面直角坐标系，一般而言，通过

34、建立坐标系可平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可以使题目变得简单、易操作。以使题目变得简单、易操作。总结一、一、本节课学习了向量数量积的坐标运算公本节课学习了向量数量积的坐标运算公式式，两向量垂直的坐标等式两向量垂直的坐标等式，向量的长度向量的长度、距离距离、夹角的坐标公式，使得向量数量积的运算夹角的坐标公式，使得向量数量积的运算实现了实现了代数化。代数化。即向量的数量积运算与加法运算、减法即向量的数量积运算与加法运算、减法运算、数乘运算一样，不仅具有几何特征，而且运算、数乘运算一样，不仅具有几何特征，而且还可以进行坐标运算，有明显的代数特征。还可以进行坐标运算，有明显的代数特征。二、二

35、、平面向量数量积的计算问题，往往有两平面向量数量积的计算问题，往往有两种解法，一是利用种解法，一是利用向量向量数量积的定义式，二是利数量积的定义式，二是利通过自我总结和通过自我总结和反思反思， 加深对本节加深对本节内容的理解。内容的理解。用用向量向量数量积的坐标运算公式。数量积的坐标运算公式。一般情况下，选一般情况下，选择哪种方式，要根据题目的条件而定，如果选择择哪种方式，要根据题目的条件而定，如果选择定义式，需要有合适的基底，如果选择坐标运算定义式，需要有合适的基底，如果选择坐标运算公式，需要有合适的坐标系。公式，需要有合适的坐标系。涉及几何图形的问涉及几何图形的问题，建立适当的平面直角坐标

36、系，可起到化繁为题，建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的作用。简的作用。三、三、利用向量的夹角公式、模公式及向量垂利用向量的夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、长度问题及直的充要条件，可将有关角度问题、长度问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决。垂直问题转化为向量的数量积来解决。作业1. 已知已知, a b 的坐标，分别求的坐标，分别求,|,|,cos,a b aba b ） 。（1）(4, 3),( 4,3)ab ；（2）( 11,2),(3,9)ab 2. 已知已知(1, 2),(1,),abm若若a与与b的夹角的夹角为锐角，求为锐角，求m的取值范围。的取值范围。3. 在正方形在正方形ABCD中中，,E F分别是分别是,AB BC的的中点，求证：中点，求证：AF垂直于垂直于DE。