1、数与形第 2 课时利用图形求等比数列之和【教学内容】 人教版小学数学教材六年级上册第 107108 页例 2。【教学目标】1在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系,寻找规律,发现规律,学会利用图形来解决一些有关数的问题。2 让学生经历猜想与验证的过程, 体会和掌握数形结合、 归纳推理、极限等基本数学思想。【重 难 点】 探索数与形之间的联系,寻找规律,并利用图形来解决有关数的问题。【教学准备】 教学课件。【教学过程】一、创设情景提出问题情景 1、 (播放一段拉面师傅做拉面的视频)相信同学们都见过拉面师傅做拉面,我们来再现一次。拉面师傅将一根很粗的面条,拉伸,捏合,如此反复几次,就拉成了很
2、多根细面条,这样捏合 8 次后可拉出多少根面条?前 8 次捏合成的面条根数构成了一个数列:(等比数列)1,2,4,8,16,32,64,128情景 2、庄子曰: “一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思: “一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完” 。这样,每日剩下的部分都是前一日的一半。可以得到一个数列二、教学例 2:出示 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64师:观察这个算式,它有什么特点?生:后面一个分数是前一个分数的 1/2.师:算式中的省略号是什么意思?生:后边还有很多数,无数个。师: “无数个”就是没有尽头的意思。你能接着还说几个吗?按照这样的规律没有尽头地加下去,它
3、的和等于多少?师:没感觉是吧?没关系!同学们可以借助图形找找感觉。出示练习纸:师: 请你从上面 3 个图形中任选一个, 然后在你选择的图形中找到它的 1/2,在 1/2 的基础上加上它的 1/4,再加上它的 1/8,按算式的要求一直加下去,看看能不能找到和是多少。学生操作,教师巡视、指导,然后在全班交流。出示学生作品 1(圆形)师:仔细观察,这位同学先通过平分找到圆的 1/2,然后在 1/2 的基础上做什么?生:继续平分,加上 1/4、1/8、1/16、1/32。师:如果继续往下加,下一个数加在哪里?生:加在空白部分。出示学生作品 2(线段图)师: 这位同学是用线段图表示的, 他先找到线段的
4、1/2, 然后加上 1/4,再加上 1/8、1/16、1/32、1/64。算式中的省略号表示哪里?生:1/64 右边的空白处。师:感受一下,这样一直加下去,和应该是多少?有几位学生指出和等于 1,大部分学生认为和无限接近于 1.师:老师用正方形再来演示一下加的过程。课件出示(正文形演示)师:按这样的规律加下去,和是多少?生:1生:无限接近于 1。 (学生意见不统一,相互争论起来。 )师:有的同学认为等于 1;有的同学觉得越来越接近 1,但不等于 1。意见不一致,我们不着急得到最终结果,先来看看同学们画图的收获,刚开始同学们看到这个算式一点感觉都没有,不知道和是多少。通过画图,同学们知道它的和与
5、谁有关系?生:1。师:无论是觉得等于 1,还是觉得和 1 差一点,起码我们有了一个方向,觉得结果与 1 有关系!这就是图的好处,它能帮助我们找到一种感觉, 一个方向。 但是, 我们还有困惑, 结果到底是等于 1, 还是接近于 1?你们觉得图能回答这个问题吗?生:不能。师:这就是图的缺陷,它不能准确地、精细化地表示结果。农村有句俗语“喇叭不响换法吹” ,所以当图解决不了的时候,我们可以用数进行推理。既然这个“和”与 1 有关系,我们就从 1 开始想。课件出示:1=1/2+1/2师:我们可以把 1 想象成 1/2+1/2,成立吗?然后把第二个 1/2 看成是 1/4+1/4。成立吗?课件出示:1=
6、1/2+1/2=1/2+1/4+1/4师:继续将第二个 1/4 分成 1/8+1/8,像这样一层层分下去。课件出示:1=1/2+1/2=1/2+1/4+1/4=1/2+1/4+1/8+1/8=1/2+1/4+1/8+1/16+1/16=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/32=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/64师:第二个 1/64 又可以分成(生:两个 1/128 相加) 。师:按这样的规律继续往下分,分得完吗?生:分不完,能分无数个。师:如果是无数个,没有尽头,可不可以用省略号表示?(可以)课件出示:1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/
7、64+师:读一读这个算式。 (生读)师:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+这个算式是由谁分出来的?生:由 1 分出来的。师:那么,1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+等于几?生:等于 1.师:可能有很多同学还没有完全理解这个算式为什么等于 1,因此在情感上还无法接受这个结果,没关系!因为这个问题太难了,同学们到了初中、高中时还要继续学习。今天我们研究这个问题的目的, 是在寻求它等于几的过程中体会数和形之间的关系,回顾一下刚才的探究过程,刚开始同学们看到这样一个算式,不知道等于几,谁帮助我们找到了感觉,找到了“和”与 1 有关系?生:图形师:图形帮助我们发现
8、按照这样的规律加下去,和越来越接近 1,甚至有的同学想到了等于 1。 当图形不能精确地表示出和到底是等于 1, 还是接近于 1 的时候,谁又帮助我们找到了准确的结果。生:数师:是的,数又帮助我们通过推理得出和就等于 1。同学们,数和形有关系,你们觉得数和形之间有关怎样的关系?生:关系密切,你中有我,我中有你,互相帮助师: 关系密切, 你中有我、 我中有你的本质, 在于它们可以相互帮助。其实,在我们以前的学习中,有很多地方体现出数形之间互相帮助的特点。三、回顾以前学习中数形互助的例子。课件出示:1/2*1/5b=2a-3师:我们一起来回忆,当遇到比较难的问题时,比如学到 1/2*1/5的计算过程
9、时, 还有学到 b=2a-3 时, 我们通过画图帮助理解抽象的数量关系;两条直线之间距离相等,就说明了这两条直线是平行关系;我们学习几何时,角因为有了度数,我们就知道了它是什么角。 这些例子都体现出了数与形之间互相帮助,在实际生活中,也有很多地方用到数形互助来解决问题的。四、深入体会数无形时少直观,形无数是难入微。1、以形助数,解决销售问题(课件出示)师:这是某超市 2017 年的饼干销售量统计表。如果你是超市经理,下一年你会继续进货卖这种饼干吗?生:进吧。师:只看数据,感觉不太强烈。把这些数据制成折线统计图,大家再来感受一下。 (PPT)师:请问经理,继续进货吗?为什么?生:进货。因为销售量
10、越来越多,呈上升的趋势。师:统计图呈现了销售量上升的趋势,所以大家决定继续进货,接着卖。在解决这个问题的时候,是谁帮助了谁?生:图在帮助数。2、以数解形,解决运输问题(课件出示)师: 用图中这辆卡车运沙坑里的沙子, 一次能将沙子全部运走吗?老师把车厢的形状和沙坑的形状简化出来,请你判断一下。生:不知道。老师,能给我们数据吗?师: 想要看看能不能拉走, 需要借助数据算一算, 是吗? (课件出示)生:能拉走,车厢的容积是 15 立方米,沙坑的容积是 14.7 立方米。师:解决这个问题时,又是谁帮助了谁?生:数帮助了形。师:同学们思考一下,在数与形互助的过程中,数的优势是什么?形的优势是什么?生:数是准确的,形能一目了然。师:数能更精准精准地表达事物,形能更加直观直观地表达事物。其实,华罗庚爷爷很早就说过这样一句话: “数缺形是少直观,形少数时难入微” 。其实,跳出数学看我们的生活,像这样完美结合的事物有很多。如花和蜜蜂,花借蜜蜂传播花粉,蜜蜂靠采蜜维持生存等等,大自然中像这样相互依存、相互帮助的事情有很多,只有这样相互帮助,我们的大自然才更加美好,社会会更和谐。好,这节课就上到这里。附 板书设计:数 与 形准确直观
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