1、1“为什么要证明”教学案例（陈丽梅）背景介绍：“为什么要证明”这节课是“证明（一） ”这一章中的第一节课，也是这一章的引入课，说明 “要判断一个数学结论是否正确， 仅仅依靠经验、 观察或实验是不够的， 必须一步一步、有根有据地进行推理” ， 强调证明的必要性。 教学对象是深圳市第三高级中学普通班的学生。学生在本章之前对几何结论已经有了一定的直观认识， 前面有关的几何结论学生会简单的说理， 本章则要求依严格步骤给出它们的证明。 这节课的定位就是让学生体会推理证明的必要性。情景描述：上课的预备铃响了，学生们端端正正地坐在自己的位置上，安静中渗透出些紧张气氛。全校型的公开课，学生有点紧张也是正常的。
2、“俗话说：耳闻是虚，眼见为实。眼睛看到的一定是正确的吗？” 。上课一开始我就向学生们提出了这样一个问题。 同学们经过短暂的时间思考后得到如下几种答案， 有的同学说“是” ，有的同学说“不一定” ，有的同学则露出茫然的眼神，不敢下结论。因此我向同学们展示了如图（1）所示的几何图形，提出问题： “环形里的“四边形”的边是否是直的？”同学们开始兴奋了，七嘴八舌地说“是” ， “不是” ， “下面那条边不是直的”为了说明哪个结论是正确的，我利用多媒体教学的好处，把里面的“四边形”利用动画效果把它平移独立出来，如下图（2）所示。（1）（2）由此得到“眼见不一定为实”这一结论。接着再向同学们展示如下两个图
3、。 提问：“图 （3） 中的两条线段 a 与 b 的长度相等吗？”（3）（4）同学中有人很快就回答说： “不相等。 ”也有同学因为刚才图（1）的学习经验，虽然觉得长度不相等，但也不敢贸然下结论，还有同学拿着刻度尺在测量。我问： “为什么不相等？你能肯定吗？” 2一个男生回答说： “看起来竖直方向的线段长一些，水平方向的线段短一些。 ”正说着，另一个同学马上提出了反对意见： “刚刚才说眼见不一定为实呢，而且我测量过了，这两条线段的长度是一样的。 ”这时候我不失时机地说： “同学们都度量一下试试看，到底长度相等吗？”同学们齐刷刷的拿出刻度尺开始度量，结论再次说明了通过观察、猜测的结果未必正确。这时
4、候同学们的学习热情高涨，我趁机提问： “那图（4）中三条线段 a，b，c，哪一条和线段 d 在同一条直线上？”这时候同学们的回答就老练多了： “这个图看上去是线段 a与 d 在同一直线上，但是，通过直尺验证，实际上，线段 b 与 d 才是在同一直线上” 。接着我要求同学们动手画一画，然后归纳、总结。图 61如图 61，四边形 ABCD 四边的中点分别为 E、F、G、H. 度量四边形 EFGH 的边和角，你会发现什么结论？学生甲： “我画出四边形 ABCD， 找到四边形的中点 E、 F、 G、 H 后， 量了量四边形 EFGH的边发现：EF=GH，EH=GF.角EHG=EFG，HEF=HGF.”
5、学生乙： “由此说明：四边形 EFGH 是平行四边形.”我说： “如果改变四边形 ABCD 的形状， 你还能得到类似的结论吗？大家再动手画一画、量一量.”学生丙： “我改变了四边形 ABCD 的形状后，它们四边的中点所围成的四边形 EFGH 仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形 EFGH 是平行四边形.”学生丁： “老师，我看到周围同学画的四边形 ABCD 的形状都与我的不一样，但连接这四条边的中点 E、F、G、H 所得到的四边形 EFGH 经测量知：它们都是平行四边形.所以由此可得：任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形.”这时候，我问： “同学们，你们现在得到的结论都是通过
6、测量之后才得到的，你们能肯定结论正确吗？同学们来讨论一下.”有同学说： “不能肯定” 。我马上抓住这个机会追问： “为什么呢？”一个女生回答说： “因为度量过程中肯定存在误差，因此由度量所得到的结论便值得怀疑了。 ”看到学生成功得到这个结论，我非常开心，继续追问到： “那怎么样才能判断一个数学结论是否正确呢？”同学们异口同声地说： “要通过证明。 ”通过以上的教学，旨在说明要判断一个通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要通过推理证明得证.下面我们来做一做例 1：当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值都
7、是质数？与同伴交流。学生甲： “当 n=0 时，n2n+11=11.3当 n=1 时，n2n+11=11.当 n=2 时，n2n+11=13.当 n=3 时，n2n+11=17.当 n=4 时，n2n+11=23.当 n=5 时，n2n+11=31.由此可知：当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值都是质数. ”学生乙： “这样我们就可以得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值都是质数. ”我问： “你能肯定吗？”同学们这个时候显得慎重多了，有的学生还在不停地计算。过了一会儿，有个学生率先提出了意见： “代数式 n2n+11 的值不一定都是质数，因为当 n11 时
8、，n2n+11121112就不是质数。 ”图 63例 2：如图 63，假如用一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流.学生甲： “能放进一颗红枣，也能放进一个拳头.”学生乙： “不行”.我说： “同学们讨论得很精彩，但都不能肯定，那么怎样才能肯定呢？”对于这个问题的答案，直觉上似乎是否定的，但只要实际计算一下，学生会感到非常意外。铁丝与地球赤道之间的间隙大约为 0.16 米。这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头。得到结论：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、
9、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.那大家来想一想、议一议（1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明.（2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明.学生甲： “在数学学习中，我们曾用到过推理.如：判定两条直线是不是平行。 ”学生乙： “还有判定一个四边形是否为平行四边形。 ”学生丙： “在日常生活中，我们也常用到推理.如：今天是星期二，那明天就是星期三。 ”4总结： “同学们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中，要判断一件事情或一个数学结论正确与否，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步有根有据地进行推理.”下面请同学们读一读孔子与弟子颜回的故事
10、。颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中， 弃之可惜， 我便抓出来吃掉了。 ”孔子这才知道颜回并非偷吃饭， 心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃。弟子记之，知人固不易矣！”这个故事回应了上课伊始的那句话， 再次体现了眼睛看到的不一定是正确的， 要判断一件事情或一个数学结论
11、正确与否，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行一步一步有根有据地进行推理.”布置作业：习题 6.1教学诠释：一、教学目标（一）知识目标：1.通过生活中、代数中、几何中的具体例子认识到：由观察、实验、归纳、类比、猜测得到的结论不一定正确，以此激发学生的好奇心理，激发学习兴趣。2.让学生初步了解，要判定一个数学结论是否正确，需要进行一步一步的有根有据的推理.（二）能力目标：1.通过探索，让学生初步了解数学中推理证明的重要性.2.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.3.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。4.“言之有理，落笔有据” ，有条理地阐述自己
12、地想法，清晰且有条理地表达、交流，合乎逻辑地讨论、质疑。（三）情感目标：通过积极参与，获取正确的数学推理方法，理解数学的严密性，并培养与他人合作的意识。二、教学重点要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.三、教学难点理解数学推理的重要性以及通过对一些规律的探讨和分析， 养成爱动脑筋思考问题的习惯，激发学习数学的热情。四、建议讨论的问题：1、上本节课前应让学生认识到在度量时一定会产生误差，否则学生会认为自己的度量结果是正确的，不需要再经过推理证明。2、因为学生接收能力有差异，所以本节课的内容安排可以作适当的调整，在能力稍强的班上课的话可以增加一些有关推理证明的趣味数学题，以调动学生的学习积极性，同时强调证明的必要性。
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