山东省威海市2020年中考数学试题.docx

1、试卷第 1页，总 8页山东省威海市山东省威海市 2020 年中考数学试题年中考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_1-2 的倒数是（ ）A-2B12C12D22下列几何体的左视图和俯视图相同的是（）ABCD3人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署 北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统投时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法可以表示为（）A1010 10B91 10C80 1 10.D91 104下列运算正确的是（）A32533xxxB2 36(2)6xxC222()xyxyD3

2、25xxx5分式222111aaaa化简后的结果为（）A11aaB31aaC1aaD2231aa6一次函数yaxa与反比例函数(0)ayax在同一坐标系中的图象可能是（）AB试卷第 2页，总 8页CD7为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的是（）A本次调查的样本容量是600B选“责任”的有120人C扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8D选“感恩”的人数最多8如图，点( ,1)P m，点(-2, )Q

3、n都在反比例函数4yx的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N连接OP，OQ，PQ若四边形OMPN的面积记作1S，POQ的面积记作2S，则（）A12:2:3SS B12:1:1SS C12:4:3SS D12:5:3SS 9七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图）切割七块，正好制成一副七巧板（如图） ，已知试卷第 3页，总 8页40ABcm，则图中阴影部分的面积为（）A225cmB21003cmC250cmD275cm10如图，抛物线2(0)yaxbxc a交x轴于点A，B，交y轴于点C若点A坐标为( 4,0)，对称轴为

4、直线1x ，则下列结论错误的是（）A二次函数的最大值为abcB0abc C240bacD20ab11如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线BDAD，10AB ，6AD ，O为BD的中点，E 为边AB上一点，直线EO交CD于点 F，连结DE，BF下列结论不成立的是（）A四边形DEBF为平行四边形试卷第 4页，总 8页B若3.6AE ，则四边形DEBF为矩形C若5AE ，则四边形DEBF为菱形D若4.8AE ，则四边形DEBF为正方形12如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线3l，4l，2l，1l上若直线1234/ / / /llll且间距相等，4AB ，3BC ，则tan的值为（）A38B34

5、C52D151513计算0312( 81)的结果是_14一元二次方程4 (2)2x xx的解为_15下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为_x1013y034016如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为225cm分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取()AEBFCGDHacm AEBE， 连接EF，FG，GH，HE分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形1111DCBA，若四边形1111DCBA的面积为29cm，则a _试卷第 5页，总 8页17如图，点C在AOB的内部，OCAOCB ，OCA与AOB互补，若1.5AC ，2BC ，则OC

6、_18如图，某广场地面是用ABC三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)若( , )m n位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是_19解不等式组，并把解集在数轴上表示出来423(1)5132xxxx 试卷第 6页，总 8页20在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道， 由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍， 结果提前5天完成任务，求计划平均每天修建的长度21居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台

7、测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45，底部的俯角为38：又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m求该大棱的高度（结果精确到0.1m） （参考数据：sin380.62，cos380.79，tan380.78）22如图，ABC的外角BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作/ /EFBC，交CM于点D求证： （1）BECE；（2）EF为O 的切线23小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢若所得数值等于0，1，2，则小伟胜：若所得数值等于3，4，5，则小梅胜（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获

8、胜的概率试卷第 7页，总 8页（2）判断上述游戏是否公平如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性24 已知，在平面直角坐标系中， 抛物线22221yxmxmm的顶点为A，点B的坐标为(3,5)（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标（2）点A的坐标记为( , )x y，求y与x的函数表达式；（3）已知C点的坐标为(0,2)，当m取何值时，抛物线22221yxmxmm与线段BC只有一个交点25发现规律：（1）如图，ABC与ADE都是等边三角形，直线,BD CE交于点F直线BD，AC交于点H求BFC的度数试卷第 8页，总 8页（2）已知：ABC与ADE的位置如图所示，

9、直线,BD CE交于点F直线BD，AC交于点H若ABCADE ，ACBAED ，求BFC的度数应用结论：（3）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点，连接MN将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK，连接NK，OK，求线段OK长度的最小值答案第 1页，总 21页参考答案参考答案1B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2 的倒数是-12故选 B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握2D【解析】【分析】通过观察各几何体得到左视图与俯视图，进而进行判断即可得解【详解】A.该几何体左视图是：俯视图是：故 A 选项错误

10、；B.该几何体左视图是：答案第 2页，总 21页俯视图是：故 B 选项错误；C.该几何体左视图是：俯视图是：故 C 选项错误；D.该几何体左视图是：俯视图是：故 D 选项正确，故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，建立相关的空间思维是解决本题的关键答案第 3页，总 21页3B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式10 (1| | 10)naa(n 为整数)进行表示即可求解【详解】910.000000001 1.0 101000000000，故选：B【点睛】本题主要考查了于 1 的数的科学记数法表示方法， 熟练掌握相关的表示方法是解决本题的关键4A【解析】【分析】分别进行同底数幂的乘法

11、、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，然后选出正确选项即可【详解】A、32533xxx，本选项正确；B、2 36(2)8xx，本选项错误；C、222+2()xxyxyy，本选项错误；D、3232+xxxx，本选项错误；故选：A【点睛】此题考查合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键5B【解析】【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分答案第 4页，总 21页式相加减的法则计算【详解】解：222111aaaa21221111aaaaaa222111aaaa2222111aaaaa3111aaaa31aa故选：B【

12、点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键6D【解析】【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解【详解】当0a 时，0a ， 则一次函数yaxa经过一、 三、 四象限， 反比例函数(0)ayax经过一 、三象限，故排除 A，C 选项；当0a 时，0a ， 则一次函数yaxa经过一、 二、 四象限， 反比例函数(0)ayax经过二、四象限，故排除 B 选项，故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质， 熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键答案第 5页，总 21页7C【解析】【分析】根据条形统计图与扇形统计图中的相关数据进行

13、计算并逐一判断即可得解【详解】A.由统计图可知“奉献”对应的人数是 108 人，所占比为 18%，则调查的样本容量是108 18%600，故 A 选项正确；B.根据扇形统计图可知“责任”所对的圆心角是72，则所对人数为72600120360人，故 B 选项正确；C.根据条形统计图可知“生命”所对的人数为 132 人，则所对的圆心角是13236079.2600，故 C 选项错误；D.根据“敬畏”占比为 16%，则对应人数为600 16%96人，则“感恩”的人数为60096 132 108 120144人，人数最多，故 D 选项正确，故选：C【点睛】本题主要考查了通过条形统计图与扇形统计图之间各部

14、分数量与占比的关系对总体， 未知部分对应数量以及对应圆心角的求解，数量掌握相关计算方法是解决本题的关键8C【解析】【分析】过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，根据图象上点的坐标特征得到 P（4，1） ， Q （2， 2） ， 根据反比例函数系数 k 的几何意义求得 S14， 然后根据 S2SPQKSPONS梯形ONKQ求得 S23，即可求得 S1：S24：3【详解】解：点 P（m，1） ，点 Q（2，n）都在反比例函数 y4x的图象上，m12n4，m4，n2，P（4，1） ，Q（2，2） ，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，答案第 6页，总

15、 21页S14，作 QKPN，交 PN 的延长线于 K，则 PN4，ON1，PK6，KQ3，S2SPQKSPONS梯形ONKQ1263124112（13）23，S1：S24：3，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数 k 的几何意义，分别求得 S1、S2的值是解题的关键9C【解析】【分析】如图，设 OFEFFGx，可得 EH22x20，解方程即可解决问题【详解】解：如图，设 OFEFFGx，答案第 7页，总 21页OEOH2x，在 RtEOH 中，EH22x，由题意 EH20cm，2022x，x52，阴影部分的面积（52）250（cm2） ，故选：C【点睛】本题

16、考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型10D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与 x 轴、y 轴的交点以及过特殊点时相应的系数 a、b、c 满足的关系进行综合判断即可【详解】解：抛物线 yax2bxc 过点 A（4，0） ，对称轴为直线 x1，因此有：x1b2a，即 2ab0，因此选项 D 符合题意；当 x1 时，yabc 的值最大，选项 A 不符合题意；由抛物线的对称性可知，抛物线与 x 轴的另一个交点为（2，0） ，当 x1 时，yabc0，因此选项 B 不符合题意；抛物线与 x 轴有两个不

17、同交点，因此 b24ac0，故选项 C 不符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数 a、b、c 的关系是正确判断的前提11D答案第 8页，总 21页【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定定理， 以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解【详解】A.四边形 ABCD 是平行四边形/DC ABFDOEBOO为BD的中点DOBO在FDO与EBO中FDOEBODOBODOFBOE ()FDOEBO ASADFBE又/DC AB四边形DEBF为平行四边形，故 A 选项正确；B.假设DEABBDAD，10AB ，6AD 22BDABAD8116 82422A

18、BDSADBD 24.8ABDSDEABDEAB223.6AEADDE则当3.6AE 时，DEAB四边形DEBF为平行四边形四边形DEBF为矩形，答案第 9页，总 21页故 B 选项正确；C.5AE ，10AB E 是 AB 中点BDADDEAEBE四边形DEBF为平行四边形四边形DEBF为菱形，故 C 选项正确；D.当4.8AE 时与3.6AE 时矛盾，则 DE 不垂直于 AB，则四边形DEBF不为矩形，则也不可能为正方形，故 D 选项错误，故选：D【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定定理， 以及特殊平行四边形的判定定理， 熟练掌握相关性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键12A【

19、解析】【分析】根据题意，可以得到 BG 的长，再根据ABG90，AB4，可以得到BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到BAG，从而可以得到 tan的值【详解】解：作 CFl4于点 F，交 l3于点 E，设 CB 交 l3于点 G，由已知可得 GEBF，CEEF，CEGCFB，CECGCFCB，12CECF，答案第 10页，总 21页12CGCB，BC3，GB32，l3l4，GAB，四边形 ABCD 是矩形，AB4，ABG90，tanBAGBGAB=324=38，tan的值为38，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确

20、题意，利用数形结合的思想解答1313【解析】【分析】根据二次根式的加减运算和零指数幂的运算法则进行计算即可【详解】解：0312( 81)=3213=13，故答案为：13【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和零指数幂，掌握运算法则是解题关键14x=14或 x=2【解析】答案第 11页，总 21页【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可【详解】4 (2)2x xx当 x2=0 时,x=2,当 x20 时,4x=1,x=14,故答案为:x=14或 x=2【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论152y=-x +2x+3【解析】【分析】根据表中 x 与 y 之间的数据，假设函数关系式为

21、：2y=ax +bx+c，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案【详解】解：根据表中 x 与 y 之间的数据，假设函数关系式为：2y=ax +bx+c，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：a-b+c=0c=3a+b+c=4解得：a=-1b=2c=3，函数的表达式为：2y=-x +2x+3故答案为：2y=-x +2x+3【点睛】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图答案第 12页，总 21页像法，本题就是将列表法转变为解析式法1

22、64【解析】【分析】由四边形1111DCBA的面积算出边长,再用 a 表示出 EB,即可表示出四个三角形的面积,列出等式即可求解【详解】四边形1111DCBA是由四个直角边翻折得到的,四边形1111DCBA是正方形,四边形1111DCBA是 9cm2,111111113ABBCC DD AcmAEBFCGDHacm,EB=FC=DG=HD=(a3)cm2SAEH=(SABCDSA1B1C1D1)4=(259)4=4cm2,即12342aa ,2340aa,因式分解得:410aa,a=4 或 a=1(舍去)故答案为 4【点睛】本题考查正方形折叠的题型,关键在于结合图形找到等量关系173【解析】【

23、分析】通过证明ACOOCB，可得OCBCACOC，可求出 OC【详解】解：OCAOCB，OCA 与AOB 互补，OCAAOB180，OCBAOB180，答案第 13页，总 21页OCACOAOAC180，OCBOBCCOB180，AOBCOAOAC，AOBOBCCOB，AOCOBC，COBOAC，ACOOCB，OCBCACOC，OC22323，OC3，故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明ACOOCB 是本题的关键18m、n 同为奇数或 m、n 同为偶数【解析】【分析】几何图形，观察 A 型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到

24、m、n 满足的条件【详解】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为 A 型地砖，正整数 m，n 须满足的条件为 m、n 同为奇数或 m、n同为偶数，故答案为：m、n 同为奇数或 m、n 同为偶数【点睛】本题考查了坐标表示位置： 通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力分析图形，寻找规律是关键191x3；在数轴上的表示见详解【解析】【分析】先求出每个不等式的解集， 再求出这些不等式解集的公共部分， 然后在数轴上表示出来即可答案第 14页，总 21页【详解】解：423(1)5132xxxx 由得：x1；由得：

25、x3；原不等式组的解集为1x3，在坐标轴上表示：【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组， 以及在数轴上表示不等式的解集， 把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示2080m【解析】【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为 xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为 1.5xm，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 5 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解

26、之经检验后即可得出结论【详解】解：设计划平均每天修建步行道的长度为 xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为 1.5xm，依题意，得：1200120051.5xx解得：x80，经检验，x80 是原方程的解，且符合题意，答：计划平均每天修建步行道的长度为 80m【点睛】答案第 15页，总 21页本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键21该大楼的高度约为 72.1m【解析】【分析】作 AHCD 于 H，则四边形 ABDH 是矩形，得出 HDAB31.6m，由三角函数定义求出AH40.51（m） ，证出 CHAH40.51m，进而得出答案【详解】解：作 AH

27、CD 于 H，如图：则四边形 ABDH 是矩形，HDAB31.6m，在 RtADH 中，HAD38，tanHADHDAH，AH31.60.78HDtan HAD40.51（m） ，在 RtACH 中，CAH45，CHAH40.51m，CDCHHD40.5131.672.1（m） ，答：该大楼的高度约为 72.1m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解22 （1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】【分析】答案第 16页，总 21页（1）根据圆内接四边形的性质得到EAMEBC ，根据角平分线的定义

28、得到BAEEAM，得到BCEEBC，于是得到 BECE；（2）如图，连接 EO 并延长交 BC 于 H，连接 OB，OC，推出直线 EO 垂直平分 BC，得到EHBC，求得 EHEF，根据切线的判定定理即可得到结论【详解】证明： （1）四边形 ACBE 是圆内接四边形，EAMEBC，AE 平分BAM，BAEEAM，BAEBCE，BCEEAM，BCEEBC，BECE；（2）如图，连接 EO 并延长交 BC 于 H，连接 OB，OC，OBOC，EBEC，直线 EO 垂直平分 BC，EOBC，EF/BC，EOEF，OE 是O 的半径，EF 为O 的切线【点睛】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性

29、质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四答案第 17页，总 21页边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键23 （1）P（小伟胜）23，P（小梅胜）13； （2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为 1，2，则小伟胜；否则小梅胜【解析】【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可【详解】解： （1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：表中总共有 36 种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为 0，1，2共有 24 种，“差的绝对值”为

30、 3，4，5 的共有 12 种，P（小伟胜）243623，P（小梅胜）123613，答：小伟胜的概率是23，小梅胜的概率是13；（2）2313，游戏不公平；根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为 1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为12【点睛】此题主要考查了游戏的公平性， 通过列举出所有的可能结果，求出相应的概率是解决问题的关键24 （1） （1，1）或（3，5） ； （2）y2x1； （3）3m3 且 m1答案第 18页，总 21页【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶

31、点式即可求得；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出 y 与 x 的函数表达式；（3）把 C（0，2）代入 yx22mxm22m1，求得 m1 或3，结合（1）根据图象即可求得【详解】解： （1）抛物线 yx22mxm22m1 过点 B（3，5） ，把 B（3，5）代入 yx22mxm22m1，整理得，m24m30，解得 m11，m23，当 m1 时，yx22x2（x1）21，其顶点 A 的坐标为（1，1） ；当 m3 时，yx26xm214（x3）25，其顶点 A 的坐标为（3，5） ；综上，顶点 A 的坐标为（1，1）或（3，5） ；（2）yx22mxm22m1（xm）22m1，顶点 A

32、 的坐标为（m，2m1） ，点 A 的坐标记为（x，y） ，xm，y2x1；（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线 y2x1 上运动，且形状不变，由（1）知，当 m1 或 3 时，抛物线过 B（3，5） ，把 C（0，2）代入 yx22mxm22m1，得 m22m12，解得 m1 或3，所以当 m1 或3 时，抛物线经过点 C（0，2） ，如图所示，当 m3 或 3 时，抛物线与线段 BC 只有一个交点（即线段 CB 的端点） ，答案第 19页，总 21页当 m1 时，抛物线同时过点 B、C，不合题意，所以 m 的取值范围是3m3 且 m1【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式， 二次

33、函数的性质， 二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键25 （1）BFC的度数为60； （2）BFC的度数为180； （3）线段OK长度的最小值为32【解析】【分析】（1） 通过证明BADCAE可得ABDACE，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABCADE可得BACDAE，ABACADAE，可证ABDACE，可得ABDACE，由外角性质可得BFCBAC，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK是等边三角形，可得MKMNNK，60NMKNKMKNM ，如图将MOK绕点 M 顺时针旋转60，得到MQN，连接 OQ，可得60OMQ，OK=NQ，MO=MQ

34、，则当 NQ 为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QNy轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解【详解】（1）ABC与ADE是等边三角形AB=AC，AD=AE，60BACDAEABCACB 答案第 20页，总 21页BADCAE()BADCAE SASABDACE60ABDDBCABC 60ACEDBC18060BFCDBCACEACB；（2）ABCADE ，ACBAED ABCADEBACDAE，ABACADAEBADCAE，ABADACAEABDACEABDACEBHCABDBACBFCACE BFCBAC180BACABCACB180BFC180BFC；（3）将线段 MN

35、 绕点 M 逆时针旋转60得到线段 MKMNMK，60NMKMNK是等边三角形MKMNNK，60NMKNKMKNM 如下图，将MOK绕点 M 顺时针旋转60，得到MQN，连接 OQMOKMQN，60OMQOK=NQ，MO=MQMOQ是等边三角形60QOM答案第 21页，总 21页30NOQOK=NQ当 NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QNy轴时，NQ 有最小值点M的坐标为(3,0)3OMOQQNy轴，30NOQ1322NQOQ线段 OK 长度的最小值为32【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键