第二章 一元二次方程-1 认识一元二次方程-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：b6b32).zip

1、 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?你能根据商品的销售利润作出一定决策吗你能根据商品的销售利润作出一定决策吗? 4x80 3x y 0 +150 12x6x210开启 智慧 ? 1理解一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识 2在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，体会方程与实际生活的联系 学 习 目 标 幼儿园活动教室矩形地面的长为幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为米，宽为5米，现准米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺的

2、地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？你能求出这个宽度吗？活动一活动一如果设所求的宽度为米，那么你能列出怎样的方程？如果设所求的宽度为米，那么你能列出怎样的方程？ 解：如果设所求宽度为解：如果设所求宽度为 x m ,那么地毯中央长方形图那么地毯中央长方形图案的长为案的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得可得方程：方程：你还有不同的方法吗？你能化简这个方程吗? （82x）（52x） (8 2x) (5 2x) = 18.5xxxx （82x）（52x）818m2数学数学化化活动一活动一 观察下面等式：观察下面等式： 你还能找到其他的五个

3、连续整数，使前三个数的平你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依，那么后面四个数依次可表示为：次可表示为：，你也是这么做的吗？你能化简所列方程吗?x1x2x3x4 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： .(x1)2(x 2)2(x3)2(x4)2x2一一般般化化活动二活动二 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那

4、么梯子的底端滑动多少米？那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距，滑动前梯子底端距墙墙m. 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子，那么滑动后梯子底端距墙底端距墙 m; 根据题意，可得方程根据题意，可得方程：你能化简这个方程吗?做一做6（ x6 ）72(x6)2 102xm8m10m7m6m10m数学化1m活动三活动三 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有的的 ，并且都，并且都可以化为可以化为 的形式的形式，这样的方程叫做，这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：由上面三个问题，我们可以得到

5、三个方程： (8-2x)(-x)=18; 即即 2x2 13x 11 = 0 . x+(x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+) 即即 x2 8x 200. （ x） 即即 x2 12 x 15 0. 上述三个方程有什么共同特点？上述三个方程有什么共同特点？一个未知数一个未知数x整式方程整式方程axbxc(a，b，c为常数为常数, a)知识源于悟 含有一个未知数；含有一个未知数；整式方程；整式方程；未知数的最高次数是未知数的最高次数是2. (x-2) +（x-1) + x2 =(x+1)+(x+2) 即即 x2 12 x =0 下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程?(2)2x

6、25xy6y0(5)x22x31x2(1)7x26x0 解解: (1)、 (4) (3)2x2 1 0 13x(4) 0y22大 显 身 手 1.把方程(x3)28x化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 2在下列方程中，是一元二次方程的有在下列方程中，是一元二次方程的有() 5x210； ax2bxc0； (x2)(x3)x23 2x21/x0. A1个B2个C3个D4个 检 测 反 馈A随堂随堂练习练习 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：系数、一次项系数和常数项：方方程程一般形

7、式一般形式二二次项次项系系数数一一次项次项系系数数常常数项数项3x2=5x-1(x+2)(x -1)=64-7x2=03x25x10 x2 x80或或7x2 0 x4035 111870 435 111870 4或或7x2 4070 47x2 40知识的升华知识的升华通过本节课的学习，谈谈你的收获和体会？你通过本节课的学习，谈谈你的收获和体会？你还有哪些困惑？还有哪些困惑？你准备如何去求方程中的未知数呢你准备如何去求方程中的未知数呢? ? 总 结 反 思 ? 2关于关于x的方程的方程(a1)x23x0是一元二次方程，则是一元二次方程，则a的取值范围是的取值范围是 3已知方程已知方程(m2)x2

8、(m1)xm0，当，当m满足满足 ( )时，它是一元一次方程；当时，它是一元一次方程；当m满足满足 ( )时，它是一元二次方程。时，它是一元二次方程。 4(易错题易错题)已知关于已知关于x的方程的方程(m2)x|m|3x40是一是一元二次方程，那么元二次方程，那么m的值是的值是()A2B2C2D1检 测 反 馈a1m2m2C独立独立作业作业P32习题2.1 1,2题; 凡不是就着泪水吃过面包的人，是不懂得人生之味的人。从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽，横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺，另一个醉汉教

9、他沿，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程 拓 展 延 伸.把方程把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般化成一元二次方程的一般形式形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项3.有一块矩形铁皮，长有一块矩形铁皮，长100cm，宽，宽50cm.在它的四个角分别切在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就制去一个面积相同的正方形，然后将四周突

10、出的部分折起，就制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？并化简为一般形式。，那么铁皮各角应切去多大的正方形？并化简为一般形式。2.12.1 认识一元二次方程（认识一元二次方程（1 1）教学设计教学设计一、一、 教材分析：教材分析：“一元二次方程”这一章是基于学生之前对方程、方程组、不等式、等认识的基础上，进一步探究学习一元二次方程及相关应用。本章知识既是前面所学知识的延续与拓展，也为后续学习二次函数奠定重要的基础。教科书提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是

11、刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，不但为一元二次方程的解法及应用起到了铺垫作用，还为培养学生提出问题、分析和解决问题提供了好素材。二、学情分析：二、学情分析：学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；同时学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具

12、备了一定的合作与交流的能力。三、教学目标：三、教学目标：知识技能知识技能：掌握一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识。过程与方法过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，体会方程与实际生活的联系。情感、态度价值观情感、态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学 习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。四、教学重难点：四、教学重难点：重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程五、教学方法：五、教学方法： 情境导入 自主探究 合作交流 归纳

13、练习六、教学过程：六、教学过程：本节课设计了八个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：自主探究活动一；第三环节：自主探究活动二；第四环节：自主探究活动三；第五环节：总结归纳；第六环节：检测反馈；第七环节：反思升华，布置作业；第八环节：板书设计。第一环节：创设情境，引入新课第一环节：创设情境，引入新课教师：引用阿基米德的名言引出生活中的问题只要能化成数学问题，那么这些数学问题我就能用方程来解决。比如你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?你能根据商品的销售利润作出一定决策吗?这些都与我们的生活息息相关，应该借助什么知识才能解决呢？（导课）同时订正导学案自主学习部分，目的辨认之前学过的方

14、程，加深对“元”、“次”的认识，并且复习完全平方公式、多项式乘法，为本节课的方程化简做好了铺垫。第二环节：自主探究活动一第二环节：自主探究活动一活动内容：“回”型问题出示活动一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？根据这一情境，结合已知量你能求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？活动目的：活动目的：提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也

15、为后续归纳一元二次方程奠定基础。教学要求与效果：教学要求与效果：教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。教学中教师可以一次完成下列任务：（1）罗列学生提的问题；（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；（3）引导学生列出相应的方程并整理。从实际效果来看，学生提出的问题多样。有：（1）四周未铺地毯的宽；（2）中央地毯的长、宽等；（3）四周是4个小长方形，表示其面积；（4）平移，得到等效图形；学生列方程问题不大，所列

16、方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时速度慢、出错较多，因此课前复习整式的运算很有必要。【来源：21世纪教育网】第三环节：自主探究活动二第三环节：自主探究活动二活动内容活动内容：数字规律在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。在难以找到的情况下，归结为方程去解决。活动目的：活动目的：上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三

17、个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。21世纪*教育网教学要求与效果：教学要求与效果：找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予

18、鼓励、指导。从实际效果来看，学生的学习积极性很高，方法也很多，课上到这儿达到一个小高潮。第四环节：自主探究活动三第四环节：自主探究活动三活动内容：直角三角形的三边关系活动内容：直角三角形的三边关系如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？活动目的活动目的：通过前两个环节的活动经验，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。活动的实际效果活动的实际效果：先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，也进行了实物演示，鼓励学生寻找变化的量与不变的量，这样等量关系就很清楚了。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动

19、Xm，从而列出方程，问题解决的很顺畅。第五环节：总结归纳第五环节：总结归纳活动内容：活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同特点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。强调21a0是定义的一部分。cnjycom活动目的活动目的：关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。定义中的“可化为”引起学生注意，不要只看表面。8 8m m活动的实际效果活动的实际效果：学生对三个共同特点归纳的很到位，但抽象出一般形式有些困难，教师引导它是按照未知数的降幂排列，而且x2前的数字不尽相同，可用字母a来代表，并对a有没有限制条件设置疑

20、问，效果很好，难点得以突破。依次学生联想到了b、c。并根据化简得到的方程提问各部分名称，学生学习热情很高，效果明显。第六环节：检测反馈第六环节：检测反馈活动内容：活动内容：1在下列方程中，是一元二次方程的有() 5x210； ax2bxc0； (x2)(x3)x23 2x2 0.1xA1 个B2 个C3 个D4 个2将方程(x3)28x 化成一般形式为 ，其二次项系数为 ，一次项系数是_，常数项是_ _3关于 x 的方程(a1)x23x0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 4已知方程(m2)x2(m1)xm0，当 m 满足 时，它是一元一次方程；当 m 满足 时，它是一元二次方程5(易错题

21、)已知关于 x 的方程(m2)x|m|3x40 是一元二次方程，那么 m 的值是()A2B2C2D1拓展提升拓展提升1、把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项2-1-c-n-j-y2从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程21*cnjy*com活动目的活动目的：及时巩固一元二次方程的有关概念，通过实际问题找准等量关系，列出相应方程。活动的实际效果活动的实际效果：14题学生大都没有

22、问题，但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学时在第五环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么，加深理解a、b、c。第1题和第5题，学生对一元二次方程概念理解过于表面，应引导抓住概念实质。拓展提升第2题，实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。【出处：21教育名师】第七环节：反思升华第七环节：反思升华 布置作业布置作业活动内容：活动内容：让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？你能求出所列方程的解吗？

23、活动目的活动目的：让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。活动的实际效果活动的实际效果：绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题，同时为下节课的学习做好铺垫。布置作业布置作业作业：P32习题2.1 1、2题第八环节：板书设计第八环节：板书设计 2.1 认识一元二次方程（认识一元二次方程（1）一、定义：一、定义： (8-2x)(-x)=18 2x2 13x 11 = 0 x+(x+1) +(x+2) =(x+3) +(x+) x2 8x 200（ x） x2 12 x 15 0共同特点：共同特点：二、一般形式及各部分名称：二、一般形式及各部分名称：axbxc(

24、a，b，c 为常数为常数, a) 二次项系数一次项系数常 数 项三、方法积累：三、方法积累： 面积关系 寻找等量关系 数字规律 勾股定理教学反思教学反思这节课利用阿基米德的名言导入，旨在让学生体会方程是解决数学问题的有效数学模型。然后复习辨认学过的方程类型，引起学生对“元”和“次”的注意，而且在自主学习环节设置了完全平方公式和多项式乘法的训练题目，这都为本节课的化简起到了较好的铺垫作用。通过三个探究活动的设置，激发了学生的学习兴趣，积极性和主动性，也为小组之间的合作交流创造条件，课堂氛围紧张而不失活泼，启发引导学生动脑去想、动手去做，动口就说，学会了观察、思考、分析和归纳等良好的数学思维品质，

25、也积累了一定的数学活动经验。我认为本节课成功的地方有：、注重知识的前后衔接和学生的实际学习能力；、注重问题的设置和列方程解决问题的多种方法；比如学生从化简得到的方程中抽象出一般形式有些困难，我积极引导它们是按照未知数的降幂排列，而且x2前的数字不尽相同，可用字母a来代表，并对a有没有限制条件设置疑问，效果很好，难点得以突破。、注重引导学生观察总结归纳、概念辨析和概念细化；概念的理解是概念课教学的核心；比如定义中的“可化为”引起学生注意，不要只看表面；比如得到一元二次方程的概念及其各部分的名称后，就以本节课的方程为例辨认是否为一元二次方程（特别是b=0,c=0的情形）及其对各部分名称的认识。2、

26、注重宽松、和谐的课堂氛围；注重启发引导和鼓励，给学生留够思考和计算的时间；再教时从以下方面加以改进：、学生的化简整理速度慢、出错多，除了自主预习设置题目，还应在课前下些功夫；、针对学生实际这样设计，但时间的把握仍是一个难点，整节课略显前松后紧。、习题设计很典型，但是题目较多，应注重培养学生的创新思维能力。学习学习目标目标1探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识2在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，体会方程与实际生活的联系3通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对

27、促进社会进步和发展人类理性精神的作用重点重点难点难点重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程课堂课堂流程流程导导 学学 过过 程程情境情境导入导入（导学）（导学）你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?你能根据商品的销售利润作出一定决策吗你能根据商品的销售利润作出一定决策吗?这些都与我们的生活息息相关，应该借助什么知识才能解决呢？这些都与我们的生活息息相关，应该借助什么知识才能解决呢？自主自主学习学习（独学）（独学）1.辨一辨，说出下列的方程类型： 4x80 3x y 0 20 1x2计算：(x2)2 (x3)2 3计算：(52x)(82x)

28、 4.一元二次方程的定义： ，一般形式是 。合作合作探究探究展示展示提升提升质疑质疑评价评价（对学）（对学）（群学）（群学）（评学）（评学）活动一：活动一：“回回”型问题型问题（1）如图，设所求宽度为）如图，设所求宽度为 xm,地毯的长可以表示为 m，宽可以表示为 m，由矩形的面积公式可以列出方程为 （2）你还有别的方法吗？（3）你能化简这个方程吗？活动二：数字问题活动二：数字问题如果设五个连续整数中的第一个数为 x，则其余数分别表示为 ， ， ， ，你能列出怎样的方程呢？由题意可列方程， （2）你能化简这个方程吗？（3）你还有不同的方法吗？如果设五个连续整数中间的一个数为 x，则其余数分别表

29、示为 ， ， ， ，由题意可列方程， 你能化简这个方程吗？6x210活动三：直角三角形的三边关系问题活动三：直角三角形的三边关系问题一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？你能化简这个方程吗？合作合作探究探究展示展示提升提升质疑质疑评价评价（对学）（对学）（群学）（群学）（评学）（评学）观察以上方程，有什么共同特点？ 归纳定义及相关概念、一般形式（见课本）强调：强调：a0a0 是定义的一部分。是定义的一部分。拓展探究：拓展探究：有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm.

30、在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设 ，由题意可列方程 一般形式为 拓展拓展延伸延伸归纳归纳总结总结1在下列方程中，是一元二次方程的有() 5x210； ax2bxc0； (x2)(x3)x23 2x2 0.1xA1 个B2 个C3 个D4 个2将方程(x3)28x 化成一般形式为 ，其二次项系数为 ，一次项系数是_，常数项是_ _3关于 x 的方程(a1)x23x0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 4已知方程(m2)x2(m1)xm0，当 m 满足 时，它是一元一次方程；当m 满足 时，它是一元二次方程5(易错题)已知关于 x 的方程(m2)x|m|3x40 是一元二次方程，那么 m 的值是()A2B2C2D1谈谈本节课你的收获和你的困惑：谈谈本节课你的收获和你的困惑： 我的我的反思反思m m