综合与实践-猜想、证明与拓广-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：f0986).zip

1、学情分析学生在经历了证明一、证明二，以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。效果分析由于本节课容量大、难度高，课堂没有进行检测，改为课后检测。检测内容：已知矩形的长和宽分别为 3 和 2，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的 3 倍？如果存在，请找出满足条件的矩形；如果不存在，请说明为什么。检测结果及分析：全班学生 38 人，全部做对的 25 人，有错误的学生中，设列出错的8 人，主要原因是没有认真分析两个矩形

2、的周长和面积，数据不正确。3 个学生解方程出错，反映出一元二次方程的解法掌握不好，还有 2 个学生解完方程就作答了，没有继续求另一条边。整体来看，学生对“是否存在”的问题可以转换成“方程的解的情况”，几何问题代数化的思想理解较为透彻，但部分学生在基础知识上掌握还不太扎实，在今后的学习中需要不断改进。教材分析猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想” ，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜

3、想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“2 倍”到“3 倍n 倍”的“拓广”,由“正方形”到“所有相似图形”的“拓广” ，由“相似图形”到“非相似图形”的“拓广” ，由“倍增”问题拓广到“倍减”问题。总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。为此，本综合与实践的教学目标是：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。3、在合作交流

4、中扩展思路，发展学生的推理能力。教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. 教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。本综合与实践内容建议分为 2 个课时，本节课是第 1 课时.观课记录本综合与实践旨在让学生综合运用学过的知识解决一个探究性的问题，让学生体验“问题情景初步猜测验证发现问题证明拓广”的数学化过程，理解并体会由特殊到一般、数形结合的数学思想和方法，深化数学知识之间的内在联系，进一步丰富学生的数学活动经验，提升学生猜想、证明、拓广的能力。本节课中，教师引导学生思考看似简单但又具有挑战性的问题，教师的主要作用是

5、引导学生如何进行探究、归纳、猜想、证明、总结、反思，在学生充分研讨的基础上对提出问题的过程、解决问题的思路进行梳理和总结。沈老师的设计对于培养学生的探究意识和创新能力具有很好的效果。猜想、证明与拓广导学案问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍？ 我的结论是下面是我的方法我还有其他方法仿照这个问题，我可以提出以下新的问题：1、2、猜想、证明与拓广（学案）猜想、证明与拓广（学案）猜想探究问题：当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的 2 倍？（1）已知矩形的长和宽分别为 2 和 1，是否存在另一个

6、矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的 2 倍？如果存在，请找出满足条件的矩形；如果不存在，请说明为什么。（2）如果已知矩形的长和宽分别为 3 和 1，4 和 1，5 和 1 呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?（3）当已知矩形的长和宽分别为 n 和 1 时，是否仍然有相同的结论？ 请写出探究过程（4）当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时，是否仍然有相同的结论？ 请写出探究过程（5）课堂小测已知矩形的长和宽分别为 3 和 2，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的 3 倍？如果存在，请找出满足条件的矩形；如果不存在，请说明为什么。综合与实践猜 想、证 明 与 拓

7、广山东省青岛第五十三中学 沈 芳问题导学，猜测探究 问题：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？分享交流 问题：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？分享交流 问题：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？分享交流 问题：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？问题1：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？问题导学，猜测证明 拓广同学们提出的问题当任意给定一个正方形时，是

8、否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的3倍？ 4 5 n第一大类问题1：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？问题导学，猜测证明 拓广同学们提出的问题第二大类相 似 图 形问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？提出问题，猜想探究周长周长22面积面积22如果已知矩形的长和宽分别为2和1，那么你能找出满足上面要求的矩形吗？如果已知矩形的长和宽分别为2和1，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？探究活动 1：所求矩形已知矩形12周长：面积：62面积：周长：

9、 124如果已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，5和1，结论会怎样呢? 探究活动 2：如果已知矩形的长和宽分别n和1？结论会怎样呢? 探究活动 3：n当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 探究活动 4：已知矩形mn周长：面积：2(n+m)mn所求矩形面积：周长： 4(n+m)2mn结论 任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍。问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？猜想、证明、拓广课后反思1、导学案中，学生对正方形问题探究的非常到位。新问题的提出尤其让人惊喜，有的学生提的两个问

10、题都是 3 倍、n 倍，也有的学生是正三角形、正六边形，甚至是正 8848 边形、圆形，说明这些学生已经发现了相似图形的共同特点。还有的学生一个问题是 3 倍，一个问题是正三角形，说明学生提出问题的能力、思维的拓展、发散性非常强。2、教学中，构建了“提出问题-猜想探究-问题拓广-构建模型-解决问题-类比总结”的教学模式，能激发学生的学习积极性，变学生被动接受知识为带着问题自主探究新知，同时也要给学生足够的自由空间、足够的活动的机会。在这样的氛围下，拓展了学生的思维空间.3、教师的教学设计，不仅要激发学习强烈的学习需要和兴趣，在内容上能够切入并丰富学生经验，二是要相信学生的学习能力，给学生充足的

11、时间去培养学生独立解决问题的能力，教师不要怕耽误时间而急于给出答案。三是积极引导学生用于发表自己的观点参与问题的讨论，还要创设矛盾性的问题，启发学生的思维的严密性、灵活性.课标分析课标要求，在综合与实践部分的教学中，要结合实际情景，引导学生独立思考、合作研究，实际解决具体问题的方案，并加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中发现问题和提出问题。“综合与实践”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，通过自主探究和合作交流，解决具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数” 、 “空间与图形”等内容的理解，体会各部分内容之间的联系。本节内容整体上是一个开放性、研

12、究型的探究活动，学生可以在活动中从事归纳、综合和拓展，充分感悟处理问题的策略和方法，以积累数学活动的经验。教 学 设 计 本节课设计了四个教学环节：第一环节：问题导学，分享交流；第二环节：问题拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼第一环节：问题导学、分享交流问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍？（教学策略：课前提出问题后，学生出现了三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。3、由于任意两个正方形

13、都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为 2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。 ）第二环节：问题拓广，证明猜想根据学生提出的“拓广”问题，想办法解决（教学策略：课前，学生仿照老师的问题提出了新的问题，一类是将问题中的“2 倍”替换成“3 倍n 倍” ，另一类是将“正方形”替换成“正三角形正 n 边形、圆形等相似图形”或替换成“矩形、菱形、三角形等非相似图形” ，针对学生提出的问题，引导学生能用相似解决第一类问题和第二类问题中的相似图形问题，方法优化、类比归一。对于“不相似图形”问题该如何解决呢？从而引出第三环节

14、）第三环节：问题拓广，自主探究问题：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍?（教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。 ）（1）如果已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流. 总结如下:有三种思路可以选择: 先固定所求矩形的周长, 设另

15、一个矩形的长为 x，将问题化为方程 x(6x)=4 是否有解的问题. 先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为 x，将问题转化为方程 x+4/x=6 是否有解的问题. 也可以根据已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,那么其周长和面积分别为 6 和 2,所求矩形的周长和面积同时扩大 2 倍后应分别为 12和 4,设其长和宽分别为 x 和 y,则得方程组 x+y=6 ，xy=4 然后讨论它的解是否符合题意.(2)然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向一般情况，将学生的思维逐渐引向高潮。(3)当已知矩形的长和宽分别为 n 和 1 时，是否仍然

16、有相同的结论？解:当已知矩形的长和宽分别为 n 和 1 时,那么其周长和面积分别为 2(1+n),和 n,所求的矩形周长和面积为 4(1+n)和 2n.设所求矩形的长为 x,那么宽为 2(1+n)x,根据题意,得 x2(1+n)x=2n.整理得2(1+n)x+2n=0，求出=4n2+4,解得2x经检验 x1x2 符合题意,所以存在这样一个矩形。(教学策略：经历了几个特例的探究，学生能比较轻松的设列方程，困难是字母系数的一元二次方程如何判断根的情况、如何求解。鉴于此，让班里最优秀的学生板书，其他学生可以有所借鉴，从而顺利解决困难)(4)引导学生继续将问题向最一般的情况拓展：当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时，是否仍然有相同的结论？于是得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍。第四环节：总结反思，方法提炼；（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.1121nnx1122nnx（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.