1、2.1 认识一元二次方程（一）一、学生知识状况分析一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了一元一次方程，掌握了一元一次方程的基本特征及其解法，对于整式的化简学生也已经是轻车熟路，具备了学习一元二次方程的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已有了从实际问题中抽象出数学模型的经历，并且明确了元与次的意义，获得了根据方程的特点概括其概念的一些经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析二、教学任务分析1教材的地位和作用认识一元二次方程是九年级上第二章第一课时的内容
2、，是初中阶段学生在学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等之后学习的最后一类方程。教科书在学生已有的知识经验的基础上，提出了本课的具体学习任务：理解一元二次方程的概念及其二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且是后面学习二次函数的基础，起着承上启下的作用。本节内容置于第二章的开头，目的是引导学生了解一元二次方程及其相关概念，并让学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，并激发了学生方程求解的欲望，为接下来的方程解的估算、解方
3、程、方程的应用埋下伏笔，符合了学生的认知水平，满足了学生的求知需要，培养了学生的数学转化思想。2本节课的教学目标是：（1）经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。（2）经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学的应用能力。（3）在直观操作活动中，培养学生主动参与、合作交流的意识；经历独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心。 3重点与难点 重点：一元二次方程的定义难点：对一元二次方程的
4、理解。 三、教学过程分析三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：建立模型，探索新知；第三环节：巩固应用，形成技能；第四环节：拓展延伸，层层攀高；第五环节：感悟与收获；第六环节：布置作业。四、教学过程：四、教学过程：1.回顾一元一次方程同学们，县里面将在 10 月份举行书画展，这个是我们班上一个同学交上来的书画作品，那个同学来的时候比较匆忙，他只告诉我这一张长方形的书画作品的周长是 12 厘米。这张作品的长比宽多 2 厘米，请问谁能帮我求出这副作品的长和宽分别是多少厘米？活动一：学生根据等量关系列出方程，并求出长和宽分别是多少？活动二：教师根据学生列出的
5、方程顺便回顾一下一元一次方程的相关知识点。回顾提问：同学们，你们列出的这个方程是一个什么方程？为什么是一元呢？为什么是一次呢？如果老师给一个 1/X+2=3 是不是一元一次方程呢？所以一元一次方程前提要先是一个整式方程。对于整式方程的命名中元是指什么？次又是指什么呢？2.给书画作品加边框同学们，现在我决定将这一幅作品拿去参加比赛，可是我觉得这幅作品有点单调了，你们能帮我想想办法把这幅作品在包装一下吗？（学生想办法给这幅作品加包装，比如说：可以给它裱起来在拿去参加比赛。）同学们，在包装这一幅作品的时候我们是将作品放在靠左呢还是靠右呢？还是靠上或者是靠下呢？（都不好看。）那我们应该怎么办呢？（将作
6、品放在正中间。）活动一：分析作品放在正中间后长和宽距离底版的长和宽的距离。结合分析后的结果列出方程。3小组讨论：对比先后出现的两个方程，引导学生学习一元二次方程。讨论的问题：这两个方程有什么共同之处？（都是整式方程，都只有一个未知数。）这两个方程有什么不同之处？（前一个方程中含未知数的最高次数是一次，后一个方程中含未知数的最高次数是 2 次。）提出问题：同学们，如果你是数学家你会给这样的方程怎么命名呢？(一元二次方程)为什么是一元呢？为什么是一次呢？总结一元二次方程的定义：像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 4.联系巩固：“行家”看“门道”下下列
7、列方方程程哪哪些些是是一一元元二二次次方方程程?(1)2x26y0(5)x22x31x2(4)9x2+4x0(3)2x21 0 13x(6)x22x14x2像像这这样样，只只含含有有一一个个未未知知数数，并并且且未未知知数数的的最最高高次次数数是是2的的整整式式方方程程，叫叫做做一一元元二二次次方方程程 。(2)7x36x0练习题处理方法：先让学生自己独立完成，在请学生上黑板上说一说是或者不是的理由。练习总结：强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是 2 且其系数不为 0。5.讨论：x x2 22x2x3 31 1x x2 2 是不是一元二次方程？活动总结：（1）从这个例子中
8、你得到什么启发呢？（1.要判断是否是一元二次方程应该先化简。2.一元二次方程的二次项系数不能为 0.） (2)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax2bxc=0(a,b,c 为常数，a 不等于 0)一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c二次项系数为：a 一次项系数为：b 6.练习：联系总结：几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0,c=0)ax2+c=0 (a0,b=0,c0)ax2=0 (a0,b=0,c=0)( (3 3x x+ +2 2) )2 2= =4 4( (x x- -3 3) )2 27 7x x2 2=
9、 =0 03 3y y2 2= =6 64 4x x2 2+ +7 7x x= =0 0 x x2 2- -3 3x x= =- -2 2常常数数项项一一次次项项系系数数二二次次项项系系数数一一般般形形式式方方程程0232 xx1320742 xx4700632y3060172xx70323652xx53632写写出出下下列列方方程程的的二二次次项项系系数数、一一次次项项系系数数和和常常数数项项：007.联系拓广：8.小结：同学们，这节课你们都有哪些收获呢？请同桌之间把你们本节课的收获相互汇报一遍，下面汇报开始！9.作业布置：必做题：习题 2.1 中 1、2 选做题：习题 2.1 中 3 四、
10、教学反思四、教学反思1.要体现变“教教材”为“用教材教”的课改理念教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课的设计中教师可根据学生的实际情况，若学生基本功扎实，有较强的分析解决问题的能力，情境中的三个问题可不必采用填空的形式，放手让学生自己解决，个别题目可用多种设法列法，如题 2。设计的题量可加大一些，对于编应用题一题可让学生充分发挥自己的水平，多交流。2.给学生提供自我展示的平台本节设计中一元二次方程定义的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以
11、便指导内涵与外延1.关关于于x的的方方程程(k3)x2 2x10,当当k _ 时时，是是一一元元二二次次方方程程2.关关于于x的的方方程程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k时时，是是一一元元二二次次方方程程,当当k时时，是是一一元元一一次次方方程程311今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识。书画作品：一张长方形的书画作品周长是12厘米。作品的长比宽多2厘米，请问这副作品的长和宽分别是多少厘米？等量关系：等量关系：解：设长方形的宽为X厘米，则
12、长为（X+2）厘米。（X+2+X）2=124X+4=12X=2宽+2=长（长+宽）2=周长装饰书画作品：S=8cm2装饰书画作品：85S=8cm2挑战自我 解：如果设边框的宽为xcm ,则作品中央长方形图案的长为 cm,宽为 cm,根据题意,可得方程： （82x）（52x） (8 2x) (5 2x) = 8.5xxxx （82x）（52x）8S=8cm2化简得：4x2-26x+32=085S=8cm2对比分析：对比分析：4X+4=124x2-26x+32=0 像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程 “行家”看“门道”下列方程哪些是一元二次方程?(1)2
13、x26y0(6)x22x31x2(4)9x2+4x0(3)2x2 1 0 13x(5)x22x14x2 像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程 。(2)7x36x0不是不是不是是是是不是一元二次方程呢？x22x31x2化简：x22x31x2移项得：x22x3 1 x2 0合并同类项得：0 x22x40 2x40 ax2+bx+c=0(a0) 一元二次方程的一般形式：a叫做二次项系数，b叫做一次项系数二次项一次项常数项 故而，我们可以重新定义一元二次方程： 只含有一个未知数x，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）形式的整式方程，这样
14、的方程叫做一元二次方程。其中，我们把ax2+bx+c=0称为一元二次方程的一般形式。方程一般形式 二次项系数 一次项系数常数项x2-3x=-24x2+7x=03y2=67x2=0写出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：7x2=0内涵与外延1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k _ 时，是一元二次方程2.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程,当k 时，是一元一次方程311 ax2+bx+c=0(a0) 一元二次方程的一般形式：a叫做二次项系数，b叫做一次项系数二次项一次项常数项只含有一个未知数x，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）形式的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。其中，我们把ax2+bx+c=0称为一元二次方程的一般形式。本节课，你都学习了哪些知识？
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