1、1一元二次方程根的判别式精选例题一元二次方程根的判别式精选例题精典例题：【例 1】当m取什么值时，关于x的方程0)22() 12(222mxmx。（1）有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。【例 2】求证：无论m取何值，方程03)7(92mxmx都有两个不相等的实根。【例 3】当m为什么值时，关于x的方程01) 1(2)4(22xmxm有实根。探索与创新：【问题一】已知关于x的方程01) 12(22xkxk有两个不相等的实数根1x、2x，问是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。【问题二】如图，某校广场有一段 25 米长
2、的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块 100 平方米的长方形草坪（如图 CDEF，CDCF）已知整修旧围栏的价格是每米 1.75 元，建新围栏的价格是每米 4.5 元。（1）若计划修建费为 150 元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若计划修建费为 120 元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。跟踪训练：一、填空题：1 下列方程012x；02 xx；012 xx；02 xx中，无实根的方程是 。2 已知关于x的方程022 mxx有两个相等的实数根，那么m的值是 。问题二图 FEDCBA23 如果二次三项式kxx243
3、2在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是 。4 在一元二次方程02cbxx中)(cb ，若系数b、c可在 1、2、3、4、5 中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。二、选择题：1 下列方程中，无实数根的是（ ） A、011xx B、762yyC、021x D、0232 xx2 若关于x的一元二次方程01) 12()2(22xmxm有两个不相等的实根，则m的取值范围是（ ） A、43m B、m43 C、43m且m2 D、m43且m23 在方程02cbxax（a0）中，若a与c异号，则方程（ ） A、有两个不等实根 B、有两个相等实根C、没有实根 D、无法确定三、试证：关于x的
4、方程1)2(2xmmx必有实根。四、已知关于x的方程022nmmxx的根的判别式为零，方程的一个根为 1，求m、n的值。五、已知关于x的方程02) 12(22mxmx有两个不等实根，试判断直线xmy)32(74 m能否通过 A（2，4），并说明理由。六、已知关于x的方程0)2(222mxmx，问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于 56？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由。3七、已知n0，关于x的方程041)2(2mnxnmx有两个相等的正实根，求nm的值。1. 感悟一元二次方程根的判别式的产生的过程，体会模型思想2. 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证
5、3. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围4. 培养学生的探索、创新精神， 加深师生间的交流，增进师生的情感，培养学生的协作精神学习目标环节1学习内容学习内容一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的类别 两位同学看到一个关于x 的一元二次方程x2(2m1)x+(m1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.此方程有两个不相等的实数根不一定，根的情况跟m的值有关知识点1一元二次方程根的判别式请一位同学利用配方法求出一元二次方程ax2+bx+c=0(a不为0）的根课前热身探索一元二次方程根的判别式 1b24ac 叫作一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的 ，记
6、作“_”，即：_b24ac.结论一元二次方程根的判别式 2 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可由b24ac 来判断：知识点2一元二次方程根的判别式的类别 方程4x2x5化为一般形式ax2bxc0后，a，b，c 的值为()小练习1一元二次方程根的判别式 求一元二次方程的根的判别式时应注意两点：一是将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值；二是确定a，b，c 的值时不要漏掉符号课堂小结1一元二次方程根的判别式 下面各数值是某个一元二次方程根的判别式的值，其中能使该方程有两个不相等的实数根的有：知识点3一元二次方程根的判别式的应用a、c异号b=0且a、c同号b、c均为0方程有两个不相
7、等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根知识点3一元二次方程根的判别式的应用连线题将对应项用直线连起来不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x23x20； (2) x24x40； (3) 2x24x50.知识点3一元二次方程根的判别式的应用若b0，关于x的一元二次方程(x1)2b的根的情况是( )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不确定知识点3一元二次方程根的判别式的应用 已知关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是_知识点3一元二次方程根的判别式的应用 关于x的一元二次方程(a1)x24x10有两个不相等的实数根，求a的取值范围。知识点3
8、一元二次方程根的判别式的应用 两位同学看到一个关于x 的一元二次方程x2(2m1)x+(m1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.此方程有两个不相等的实数根不一定，根的情况跟m的值有关回头看一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用：1. 直用：不解方程，判断方程根的情况2. 逆用：由方程根的情况，求字母系数的取值范围注意：一元二次方程有实数根，包含有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根两种情况课堂总结一元二次方程根的判别式判别式的情况根的情况定理与逆定理有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根课堂总结一元二次方程根的判别式1一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式
9、一、教学内容分析一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。教学重点：教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键：教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。二、教学目标二、教学目标 依据教学大纲和对
10、教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：知识技能：知识技能： 1. 感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2. 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；数学思考：数学思考： 1. 培养学生的探索、创新精神；2. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。问题解决问题解决1. 一元二次方程根的判别式是怎样产生的；2. 会应用根的判别式进行简单计算；3. 会利用根的判别式的定理和逆定理进行变式练习情感态度情感态度1. 向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2. 加深师生间的交流，增进师生的情感；3
11、. 培养学生的协作精神。三、教学策略：三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教2学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践认识实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：序号教师学生1设置悬念 引发兴趣争先恐后，合作解疑2设计练习，创设情境动手解题，亲身感知3启发引导，发现结论观察分析、得出结论4引导学生，理论验证阅读理解，自学教材5揭示定理内涵加深认识理解6应用定理，解决问题巩固应用，形成技能7再度回首解决问题8归纳小结整体
12、把握9布置作业巩固提高四、教学流程：四、教学流程：、设置悬念，引发兴趣：、设置悬念，引发兴趣：1. 引入新课：出示学习目标和学习内容（PPT2；PPT3）学习目标学习目标（1）感悟一元二次方程根的判别式的产生的过程，体会模型思想（2）能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证（3）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围（4）培养学生的探索、创新精神， 加深师生间的交流，增进师生的情感，培养学生的协作精神学习任务学习任务（1）一元二次方程根的判别式（2）一元二次方程根的类别这样设计，能让学生知道今天的学习内容以及要实现的学习目标，可以激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现
13、结论创造一个最佳的心理状态。 3（3）一元二次方程根的判别式的应用创设情境，思维碰撞，小组合作（创设情境，思维碰撞，小组合作（PPT4） 。1.两位同学看到一个关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)x+(m1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.A: 此方程有两个不相等的实数根B: 不一定，根的情况跟 m 的值有关这样设计，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。 课前热身，自主探究，发现结论：（ppt5、6、7）1.请一位同学利用配方法求出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 不为 0）的根。让学生尝试发现问题，解决问题。2.讲授定义一元二次方程 ax
14、2+bx+c=0(a0)可以根据 b2-4ac 的值的符号来判断一元二次方程的根的情况，因此，我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“（读作 delta，它是希腊字母） ”来表示，即=b2-4ac。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。这样设计是为了让学生明白 b2-4ac 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。简单训练，课堂小结
15、：（PPT8、9）求一元二次方程的根的判别式时应注意两点：一是将方程化成一般形式后才能确定 a，b，c 的值；二是确定 a，b，c 的值时不要漏掉符号这样设计是为了培养学生思维的严谨性。 小游戏：（PPT10、11）通过希沃白板实现1. 下面各数值是某个一元二次方程根的判别式的值，其中能使该方程有两个不相等的实数根的有：-1 的相反数； 2 的倒数； 8 的立方根；200； 4 的平方根； 0； 5； -2； 0.03； 32. 连线题：将对应项用直线连起来a、c 异号 方程有两个相等的实数根b=0 且 a、c 同号 方程有两个不相等的实数根b、c 均为 0 方程没有实数根这样设计是为了培养学
16、生学习兴趣，以及如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。4 应用定理，解决问题：（PPT12、13、14、15）1. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x23x20； (2) x24x40； (3) 2x24x50.2. 若 b0，关于 x 的一元二次方程(x1)2b 的根的情况是( )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D不确定3. 已知关于 x 的方程 x2xm0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_4. 关于 x 的一元二次方程(a1)x24x10 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围。以上例题的
17、设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。 再度回首，解决问题：（PPT16）1.两位同学看到一个关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)x+(m1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.A: 此方程有两个不相等的实数根B: 不一定，根的情况跟 m 的值有关这样设计是为了回答最前面提出的问题，体现了学以致用的思想，也可以检验本堂课学习效果。归纳小结（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢
18、固掌握好它。 （2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 22004axbxcabac3 一元二次方程判别式的情况根 的 情 况定 理 与 逆 定 理021 242bbacxa 、0方程有两个不相等的实数根01 2022bbxaa 、0方程有两个相等的实数根02124bacxx无意义、 、 不存在0方程没有实数根这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。 5布置作业： 1. 阅读课本 P39 的内容； 2. 不解方程判定下列方程根的情况： 222223110260 3 3650 4 4 04115 - 3 0 6 46 -07(4)58416xxxxxxxxxxx xx 这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。
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