1、第二章第二章 一元二次方程一元二次方程2.32.3 用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程 课 题 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标 (一)教学知识点 1一元二次方程的求根公式的推导. 2会用求根公式解一元二次方程. (二)能力训练要求 1通过公式推导 ，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力 2会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 (三)情感与价值观要求 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯教学重点 一元二次方程的求根公式教学难点 求根公式的条件：b2-4ac0教学方法 讲练相结合教具准备 投影片五张 第一张：复习练习(记作投影片
2、23 A) 第二张：试一试(记作投影片23B) 第三张：小亮的推导过程(记作投影片23 C) 第四张：求根公式(记作投影片23 D) 第五张：例题(记作投影片23 E)教学过程 巧设现实情景，引入课题 师我们前面学习了一元二次方程的解法下面来做一练习以巩固其解法(出示投影片23 A)1用配方法解方程 2x2-7x+30生甲解：2x2-7x+30， 两边都除以 2，得x2-x+02723 移项，得；x2-x=-2723 配方，得 x2-x+(-)2-+(-)227472347 两边分别开平方，得 即 x-=或 x-=-47454745 x1=3，x2=21 师同学们做得很好，接下来大家来试着做一
3、做下面的练习(出示投影片23 B)试一试，肯定行：1用配方法解下列关于 x 的方程：(1)x2+ax1；(2)x2+2bx+4ac0 生乙(1)解 x2+ax1， 配方得 x2+ax+()21+()2，2a2a (x+)2=2a442a 两边都开平方，得 x+，2a242a 即 x+，x+=-.2a242a2a242a x1=， x2242aa242aa 生丙(2)解 x2-2bx+4ac0， 移项，得 x2+2bx-4ac 配方，得 x2-2bx+b2-4ac+b2， (x+b)2=b2-4ac 两边同时开平方，得 x+b，acb42 即 x+b，x+b-acb42acb42 x1=-b+，
4、x2-b-acb42acb42 生丁老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2b2-4ac根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b2-4ac0 时，才可以用开平方法解出x 来所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac0 师噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗? 生齐声戊同学说得正确因为负数没有平方根，所以，解方程 x2+2bx+4ac0时，必须有条件：b2-4ac0，才有丁同学求出的解否则，这个方程就没有实数解 师同学们理解得很正确，那解方程 x2+ax1 时用不用加条件呢? 生齐声不用 师那为什么呢? 生齐声因为把方程 x2+ax1 配方变形为(x+)2
5、= ，右边就是一个正数，2a442a442a所以就不必加条件了 师好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 讲授新课 师刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程 ax2+bx+c0(a0)呢? 大家可参照解方程 2x2-7x+30 的步骤进行 生甲因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为 1，即方程两边都除以二次项系数 a，得 x
6、2+ =0acxab 生乙因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax2+bx+c0(a0)的两边都除以 a时，需要说明 a0 师对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0，所以无需特殊说明，而方程 ax2+bx+c0(a0)的两边都除以 a 时，必须说明 a0 好，接下来该如何呢? 生丙移项，得 x2+acxab配方，得 x2+,22)2()2(abacabxab(x+.22244)2aacbab 师这时，可以直接开平方求解吗? 生丁不，还需要讨论 因为 a0，所以 4a20当 b2-4ac0 时，就可以开平方 师对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求
7、0因为 4a202244aacb 恒成立，所以只需 b2-4ac 是非负数即可 因此，方程(x+)2的两边同时开方，得 x+=. ab22244aacb ab22244aacb 大家来想一想，讨论讨论： =吗?2244aacb aacb242 师当 b2-4ac0 时，x+=ab22244aacb |242aacb 因为式子前面有双重符号“” ，所以无论 a0 还是 a0 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理 (2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出 a、b、c 的数值以及计算 b2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程 课后作业 (一)课本
8、P 43 习题 25 1、2 (二)预习内容：P44 活动与探究 1阅读材料，解答问题： 阅读材料： 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+40，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设 x2-1y，则(x2-1)2y2，原方程化为 y2-5y+4=0 解得 y1=4，y21 当 y14 时，x2-14， x25，x=5 当 y1 时，x2-11， x22，x=2 原方程的解为 x1，x2-，22 x3= ，x4=-.55 解答问题： (1)填空： 在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想 (2)解方程 x4-x2-60 过程通过对本题的阅读，让学生在获取知
9、识的同时，来提高学生的阅读理解和解决问题的能力 结果 解：(1)换元 转化 (2)设 x2y，则 x4=y2， 原方程可以化为 y2-y-60 解得 y1=3，y2-2 当 y1=3 时，x23，x3 当 y2-2 时，x2=-2，此方程无实根来源:学科网 ZXXK 原方程的解为 x1，x2-33板书设计 23 公式法一、解：2x2-7x+30，两边都除以 2，得x2-=02327x移项，得x2-.2327x配方，得x2-,)47(23)47(2722x(x-.1625)472x两边分别开平方， 得x-,4547即 x- 或 x-.45474547x1=3，x2=21二、求根公式的推导三、课堂
10、练习四、课时小结五、课后作业 x-4745第二章第二章 一元二次方程一元二次方程2.32.3 用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程 课 题 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标 (一)教学知识点 1一元二次方程的求根公式的推导. 2会用求根公式解一元二次方程. (二)能力训练要求 1通过公式推导 ，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力 2会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 (三)情感与价值观要求 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯教学重点 一元二次方程的求根公式教学难点 求根公式的条件：b2-4ac0教学方法 讲练相结合教具准备
11、 投影片五张 第一张：复习练习(记作投影片23 A) 第二张：试一试(记作投影片23B) 第三张：小亮的推导过程(记作投影片23 C) 第四张：求根公式(记作投影片23 D) 第五张：例题(记作投影片23 E)教学过程 巧设现实情景，引入课题 师我们前面学习了一元二次方程的解法下面来做一练习以巩固其解法(出示投影片23 A)1用配方法解方程 2x2-7x+30生甲解：2x2-7x+30， 两边都除以 2，得x2-x+02723 移项，得；x2-x=-2723 配方，得 x2-x+(-)2-+(-)227472347 两边分别开平方，得 即 x-=或 x-=-47454745 x1=3，x2=2
12、1 师同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习(出示投影片23 B)试一试，肯定行：1用配方法解下列关于 x 的方程：(1)x2+ax1；(2)x2+2bx+4ac0 生乙(1)解 x2+ax1， 配方得 x2+ax+()21+()2，2a2a (x+)2=2a442a 两边都开平方，得 x+，2a242a 即 x+，x+=-.2a242a2a242a x1=， x2242aa242aa 生丙(2)解 x2-2bx+4ac0， 移项，得 x2+2bx-4ac 配方，得 x2-2bx+b2-4ac+b2， (x+b)2=b2-4ac 两边同时开平方，得 x+b，acb42 即 x+b，x
13、+b-acb42acb42 x1=-b+，x2-b-acb42acb42 生丁老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2b2-4ac根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b2-4ac0 时，才可以用开平方法解出x 来所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac0 师噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗? 生齐声戊同学说得正确因为负数没有平方根，所以，解方程 x2+2bx+4ac0时，必须有条件：b2-4ac0，才有丁同学求出的解否则，这个方程就没有实数解 师同学们理解得很正确，那解方程 x2+ax1 时用不用加条件呢? 生齐声不用 师那为什么呢? 生齐声因为
14、把方程 x2+ax1 配方变形为(x+)2= ，右边就是一个正数，2a442a442a所以就不必加条件了 师好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 讲授新课 师刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程 ax2+bx+c0(a0)呢? 大家可参照解方程 2x2-7x+30 的步骤进行 生甲因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为
15、1，即方程两边都除以二次项系数 a，得 x2+ =0acxab 生乙因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax2+bx+c0(a0)的两边都除以 a时，需要说明 a0 师对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0，所以无需特殊说明，而方程 ax2+bx+c0(a0)的两边都除以 a 时，必须说明 a0 好，接下来该如何呢? 生丙移项，得 x2+acxab配方，得 x2+,22)2()2(abacabxab(x+.22244)2aacbab 师这时，可以直接开平方求解吗? 生丁不，还需要讨论 因为 a0，所以 4a20当 b2-4ac0 时，就可以开平方 师对，在进
16、行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求0因为 4a202244aacb 恒成立，所以只需 b2-4ac 是非负数即可 因此，方程(x+)2的两边同时开方，得 x+=. ab22244aacb ab22244aacb 大家来想一想，讨论讨论： =吗?2244aacb aacb242 师当 b2-4ac0 时，x+=ab22244aacb |242aacb 因为式子前面有双重符号“” ，所以无论 a0 还是 a0 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理 (2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出 a、b、c 的数值以及计算 b2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后
17、，可以简化求解过程 课后作业 (一)课本 P 43 习题 25 1、2 (二)预习内容：P44 活动与探究 1阅读材料，解答问题： 阅读材料： 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+40，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设 x2-1y，则(x2-1)2y2，原方程化为 y2-5y+4=0 解得 y1=4，y21 当 y14 时，x2-14， x25，x=5 当 y1 时，x2-11， x22，x=2 原方程的解为 x1，x2-，22 x3= ，x4=-.55 解答问题： (1)填空： 在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想 (2)解方程 x4-x2-
18、60 过程通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解决问题的能力 结果 解：(1)换元 转化 (2)设 x2y，则 x4=y2， 原方程可以化为 y2-y-60 解得 y1=3，y2-2 当 y1=3 时，x23，x3 当 y2-2 时，x2=-2，此方程无实根来源:学科网 ZXXK 原方程的解为 x1，x2-33板书设计 23 公式法一、解：2x2-7x+30，两边都除以 2，得x2-=02327x移项，得x2-.2327x配方，得x2-,)47(23)47(2722x(x-.1625)472x两边分别开平方， 得x-,4547即 x- 或 x-.45474547x1
19、=3，x2=21二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业 x-47452.3 用公式法求解一元二次方程2.2.移项移项 : :把常数项移到把常数项移到方程的右边；方程的右边；1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1 1；你能用配方法解方程你能用配方法解方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) 吗吗? ?3.3.配方配方 : :方程两边都加上一方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方次项系数绝对值一半的平方；4.4.开方开方 : :根据平方根意根据平方根意义义, ,方程两边开平方方程两边开平方一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax
20、ax2 2+bx+c=0(a0),+bx+c=0(a0), 当当b b2 2-4ac-4ac0 0时，它的根是：时，它的根是：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为用求根公式解一元二次方程的方法称为公式公式法法当当b b2 2-4ac-4ac0 0时，原方程无解时，原方程无解结论：结论：【例例1 1】解方程：解方程：x x2 2-7x-18=0-7x-18=0【解析解析 】这里这里 a=1,a=1, b=b= -7,-7, c=c= -18.-18. b b2 2 - - 4ac=(-7)4ac=(-7)2 2 - - 41(-18)=1210,41(-18)=1210,即：即： x x1 1=9,=9, x x2 2= = -2-2
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