1、2.62.6 应用一元二次方程应用一元二次方程 授课人：移梅 为为迎迎接接本本年年度度的的赛赛马马活活动动，我我县县准准备备在在赛赛马马场场附附近近开开辟辟一一块块面面积积为为6 60 00 0平平方方米米的的长长方方形形绿绿地地, ,并并且且长长比比宽宽多多1010米米, ,那么绿地的长和宽各为那么绿地的长和宽各为多少米多少米? ?情境引入情境引入2.2.如图，在这块长如图，在这块长3030 m m，宽，宽2020 m m的长方形绿地上的长方形绿地上修建同样宽的两条垂直小路修建同样宽的两条垂直小路, , 使得剩余绿地面积和使得剩余绿地面积和为为504504 m m2 2，则小路的宽应为多少？
2、，则小路的宽应为多少？ 3 020（面积问题（面积问题）解：设小路宽为 m，则绿地的长 m，宽 m，由题意得：答:小路宽应为2米。 合作交流一合作交流一 在森林里，点A题 有一只螳螂，题题 距它8的B题有一只受题 的蝉。于是螳螂以2/s的速度向他爬去，同题 蝉以1/s的速度向6外的C点逃去，题 ：题题 几秒题 的爬行，螳螂、蝉和B点所题 成的面题 能达到3？CABPQ3 合作交流二合作交流二 解：设经过解：设经过 秒爬行后螳螂位于秒爬行后螳螂位于P点、蝉位于点、蝉位于Q点，此时点，此时P、Q和和B点所围成的三角形的面积达到点所围成的三角形的面积达到3 3.（动点问题（动点问题） 如图如图,某海
3、军基地位于点某海军基地位于点A处处,在其正南方向在其正南方向200海里处有一重要目标海里处有一重要目标B,在在B的正东的正东方向方向200海里处有一重要目标海里处有一重要目标C.小岛小岛D位于位于AC的中点的中点,岛上有一补给码头岛上有一补给码头;小岛小岛F位于位于BC的中点的中点.一艘军舰从一艘军舰从A出发出发,经经B到到C匀速巡航匀速巡航,一艘补给船同时从一艘补给船同时从D出发出发,沿南偏西方沿南偏西方向匀速直线航行向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰欲将一批物品送达军舰. 能力提升能力提升 ABDCEF北北东东 已知军舰的速度是补给船的已知军舰的速度是补给船的2倍倍,军舰在由军舰在由B到
4、到C的途中与补给船相遇于的途中与补给船相遇于E处处,那么相遇时补给船那么相遇时补给船航行了多少海里航行了多少海里?(结果精确到结果精确到0.1海里）海里） 活动一：活动一：认真读题后回答下列问题：认真读题后回答下列问题：（1）由题意可知，）由题意可知，ABC是是 三角形，连接三角形，连接DF,则则DF是是ABC的的 ，DF= ，BF= 。（2）设相遇时补给船所走路程）设相遇时补给船所走路程DE为为x海里，则军舰所走路程海里，则军舰所走路程AB+BE的长为的长为 海里海里,AB+BF= 海里海里,由此可将由此可将EF表示为表示为 海里。海里。（3）在）在RtDFE中，三边长中，三边长DF、EF、
5、DE满足满足 定理，即定理，即DF2+EF2=DE2 ,由此可列由此可列方程为方程为:北北东东ABCDEF2x勾股勾股中位线中位线100海里海里等腰直角等腰直角100海里海里300300-2xx100(300-2x) 突破难点突破难点解题过程解题过程A北北东东BDCEF图图 2-82-8x100若设相遇时补给船的行程若设相遇时补给船的行程DE为为x海里海里连接连接DF.AD=CD,BF=CF DF是是ABC的中位线的中位线 DFAB,且且DF= AB ABBC,AB=BC=200海里海里 DFBC,DF=100海里，海里，BF=100海里海里 EF=AB+BF-(AB+BE)=(300- 2x
6、)海里海里 。 在在RtDEF中，根据勾股定理可得方程：中，根据勾股定理可得方程：整理整理,得：得：(舍去舍去)所以，相遇是补给船大约航行了所以，相遇是补给船大约航行了118.4海里海里 解解：那么那么 DE= 海里海里,AB+BE= 海里海里 x2x 应用方程解决实际问题的一般步骤应用方程解决实际问题的一般步骤： 知识点小结知识点小结审设列解验答关键：寻找等量关系关键：寻找等量关系 思想方法思想方法: 方程思想方程思想 转化思想转化思想 数形结合思想数形结合思想 如图如图, ,在在RtABCRtABC中中,C=90,C=90, AC=30cm,AC=30cm, BC=25cm,BC=25cm
7、, 动点动点P P从点从点C C出发出发, ,沿沿CACA方向运动方向运动, ,速速度是度是2cm2cms s；同时，动点；同时，动点Q Q从从B B出发出发, ,沿沿BCBC方向运方向运动动, ,速度是速度是1cm1cms s，几秒后，几秒后P P、Q Q两点相距两点相距25cm?25cm?解：设x秒后，P、Q两点相距25cm.在RtCPQ中，由勾股定理得答:10秒后，、两点相距25cm。AQPCB学以致用学以致用 课堂小结 本节课选取了一些几何和现实生活中的题材本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学让同学们经历列一元二次方程解决问题的过程们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在
8、建构当我们在建构方程数学模型方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时刻画现实世界、解决实际问题时,应注意应注意哪些重要环节哪些重要环节?整体地、系统地审清问题整体地、系统地审清问题 把握问题中的等量关系，列出方程把握问题中的等量关系，列出方程正确求解方程并检验解的合理性正确求解方程并检验解的合理性谈谈这节课你收获了什么谈谈这节课你收获了什么?备选习题2备选习题1建立数学模型建立数学模型课本课本53页：页： 必做：必做：1、 选做：、选做：、4 突破难点突破难点ABDCEF北北东东200?A100分析分析： 200V军军=2V补补T军军=T补补 300BF=100 海海里里 能力提升能力提升C
9、BA5 ？DE 在上述题题 中，螳螂、蝉和B点题 成的三角形面题 能达到5题 ？若能，题 求出爬行题题 ；若不能，题题 明理由。 解：设经过解：设经过 秒爬行后螳螂位于秒爬行后螳螂位于D D点、蝉位于点、蝉位于E E点点，此时，此时D D、E E和和B B点所围成的三角形的面积达到点所围成的三角形的面积达到5 5.返回 在螳螂和蝉的问题中，请问：在爬行过程中何时它们三个围成的面积最大，最大值是多少？ 能力拓展能力拓展 CBA最大最大DE 返回2.62.6 应用一元二次方程应用一元二次方程几何动点问题几何动点问题一、教学任务内容分析一、教学任务内容分析本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中
10、心，深入探究问题几何动点问题中的数量关系。活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。从而解决问题。二、教学目标及重难点二、教学目标及重难点（一）教学目标知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识建立模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和
11、能力。（二）教学重难点 1.动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题.2. 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.三、教学过程分析三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。第一环节；回忆巩固，情境导入第一环节；回忆巩固，情境导入活动内容活动内容：提出问题：我们在本章都学习了那些内容？情境创设：在森林里，点 A 处有一只蟑螂，发现距它 8的 B 处有一只受伤的蝉。于是螳螂以 2/s 的速度向他爬去，同时蝉以 1/s
12、 的速度向 6外的 C点逃去，问：（1）经过几秒钟的爬行，螳螂、蝉和 B 点所围成的面积能达到3？ （2）某一时刻，它们围成的面积能达到 5吗？教师提问：这是一个动点问题，应该从中转化为怎样的几何模型？怎样用几何图形表示？ 从题目中都可以得到哪些信息？ 这是一个动点问题，螳螂和蝉都在不断的进行运动,他们所围成的面积也在不断的发生变化，那么，我们怎样把这个动点在平面几何图形中表示出来？小组讨论教师提出的3个问题，得出解题的思路，分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用三角形的面积来列方程？涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少？第二环节第二环
13、节 做一做，探索新知做一做，探索新知活动内容：活动内容：见课本 P53 页例 1：如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到 0.1 海里）该部分是学习中的难点，弄懂题意是解答本例的关键，因此在教
14、学过程中不能急于求成，要给学生充分的时间去分析各量之间的关系，不能粗线条解决。_ B_ A_ C_ Q_ P在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；建立方程模型，之后求解。解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。 教师提问: (1)认真分析题目,找出题中所给的信息有那些? （2）要求 DE 的长，我们一般在求线段的长度是是把线段放在什么图形中来求的？怎样构造图形来求 DE 的长？ （3）怎样建
15、立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （4）构造直角三角形后，利用什么等量关系来求 DE 的长？ （5）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？DEFRt学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即： 速度等量：V军舰=2V补给船 时间等量：t军舰=t补给船 三边数量关系：222DEFDEF弄清图形中线段长表示的量：已知 AB=BC=200 海里，DE 表示补给船的路程，ABBE 表示军舰的路程。 （放倒 AB，学生能更直观的找出表示 EF 的关系式）学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF 的长，根据勾股定理列方程求解
16、，并判断解的合理性。总结应用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。解决动态的几何问题关键：1.以静制动. 2.建立模型. 解释: 要知道动点的运动路径，运动中的不变量及事物之间的数量关系，找准适当的等量关系构建方程，此类问题一般是用勾股定理，面积公式等构建方程； 第三环节：练一练，巩固新知第三环节：练一练，巩固新知练习：练习：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多
17、少？备选练习：1.在情境创设问题中，螳螂、蝉和 B 点围成的三角形面积能达到5吗？若能，请求出爬行时间；若不能，请说明理由。 2.在情境创设问题中，何时螳螂、蝉、和 B 点围成的面积最大，最大值是多少？此时螳螂行走了几秒钟？3.九章算术 “勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。 ” 大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？4.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔 钱，一多一少，其和等于 20，积等于
18、96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么 赛义德得到多少钱？第四环节：收获与感悟第四环节：收获与感悟1、列方程解应用题的关键2、列方程解应用题的步骤3、列方程应注意的一些问题第五环节：布置作业第五环节：布置作业 课本课本 5353 页习题页习题 2.92.9 1 1、2 2 题必做题必做 3 3、4 4 题选做题选做教师设计理念教师设计理念 应用型的问题对学生来说是一个难点，尤其是动点问题，本节课的设计主要是让学生了解和认识到动点问题实际上也是在静态过程中解决的，增强学生解决此类问题的信心，在例题设计上，梯子问题学生已经较为熟悉，所以放到习题中独立完成，在情境问题中设计了 3 问，提高学生的应用能力，但对于学生不太熟悉，只能在上课过程中观察是否拓展，对于课本上例题难度较大，设计动画模式帮助学生突破难点，效果应该比静态的呈现要好。
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