1、1用完全平方公式因式分解的导学案学习目标：(1)会用平方差公式和完全平方公式分解因式。(2)经历多项式因式分解的过程，培养逆向思维的能力。(3)通过观察多项式的结构特点，探求发现用公式法分解因式的方法。教学重点： 用完全平方公式分解因式教学难点： 灵活运用公式分解因式学习过程：（一）课前预习1.复习完全平方公式，并写出公式。反过来呢？2.分析完全平方公式及完全平方公式的逆运用与因式分解间有什么关系？(归纳)：要判断一个多项式是否为完全平方式，必须符合三个条件：该多项式有_项，有两项_号且能写成某数（或式）的_，第三项是两数（或式）的积_倍，符号可正可负。（二）进入课题：1.（例 1）下列各式是
2、不是完全平方式？（1）a2+b2+2ab (2)-2xy+x2+y2 (3)6x2-9xy+10y2 (4)4a2+12ab+9b2 (5)x2+x+ 1/4 (6)a2+6ab+b2(7)-x2+2xy-y2 （8）x2+y222.（例 2）请补上一项，使下列多项式成为完全平方式。(1) x2+ +y2 (2) 4a2+9b2+ (3) x2- +81y2 (4) x4+2x2y2+ 3.小组合作展示:分解因式： (1) x2+12x+36 (2) 2xyx2y2 (3)4(m+n)2+24(m+n)+36 (4) 4x24x+1 (5)ax2+2a2x+a3 (6) 3x2+6xy3y24
3、.课后习题补充：(1)分解因式-48x +96xy-48y （a+b） -12（a+b）+36222x2y2-2xy+1 (x+y)2+26(x+y)+169(2)若多项式是完全平方式，则 k 的值为多少？912 kxx(3)已知 x +2mx+16 是完全平方式，求 m 的值2(4)已知 ax +4x+1 是完全平方式，求 a 的值21第第 4 章章 因式分解因式分解4.3.2 利用完全平方公式进行因式分解利用完全平方公式进行因式分解 一、学生起点分析一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识对于
4、公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。学生活动经验基础：学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。二、教学任务分析二、教学任务分析学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基
5、础。本节课的具体教学目标为：1知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） ；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式2过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。3情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。三、教学过程分析三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：复习回顾学习新知落实基础范例学习随堂练习联系拓广自主小结。第一环节第一环节 复习回顾复
6、习回顾2活动内容：活动内容：活动目的：活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法注意事项：注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容。第二环节第二环节 学习新知学习新知活动内容：活动内容：3活动目的：活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如的222baba多项式称为完全平方式。注意事项：注意事项：举例说明便于学生理解同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。第三环节第三环节 落实基础落实基础活动内容：
7、活动内容：1.（例 1）下列各式是不是完全平方式？（1）a2+b2+2ab (2)-2xy+x2+y2 (3)6x2-9xy+10y2 (4)4a2+12ab+9b2 (5)x2+x+ 1/4 (6)a2+6ab+b24(7)-x2+2xy-y2 （8）x2+y22.（例 2）请补上一项，使下列多项式成为完全平方式。(1) x2+ +y2 (2) 4a2+9b2+ (3) x2- +81y2 (4) x4+2x2y2+ 结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解， a22ab+b2=（ab）2 a2+2ab+b2=（a+b）2活动目的：活
8、动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫注意事项：注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发。第四环节第四环节 范例学习范例学习活动内容：活动内容：例例 3把下列各式因式分解：（1）x2+14x+49 (2)(m+n)2-6(m+n)+9活动目的：活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力； （2）让学生理解在完全平方公式中的 a 与 b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式注意事项：注意事项：灵活掌握完全平方
9、式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。活动内容：活动内容：例例 4把下列各式因式分解：(1)3ax2+6axy+3ay2(1)3ax2+6axy+3ay25(2)(2) -x2-4y2+4xy-x2-4y2+4xy活动目的：活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式注意事项：注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解
10、.第五环节第五环节 随堂练习（巩固练习）随堂练习（巩固练习）活动内容：活动内容：把下列各式因式分解：(1)(1) 2xy2xyx2x2y2y2(2)(2) 4(m+n)2+24(m+n)+364(m+n)2+24(m+n)+36 (3)(3) ax2+2a2x+a3ax2+2a2x+a3 活动目的：活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏注意事项：注意事项：当完全平方公式中的 a 与 b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有6一定的困难，此时，教师应结合完全
11、平方公式的特征给学生以有效的学法指导第六环节第六环节 知识延伸拓广知识延伸拓广活动内容：活动内容：一个同学写出多项式（用完全平方公式进行因式分解的） ，另外一个同学进行解答。 活动目的活动目的：让学生对利用完全平方公式进行因式分解进一步的巩固及加深印象，不仅学会怎么会解，还要能随手写得出来这种形式，这是本节课的难点，望突破。第七环节第七环节 自主小结自主小结活动内容：活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？ 结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，
12、这种分解因式的方法叫做运用公式法运用公式法活动目的活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解7的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解课后作业：1.完成书本上 102 页随堂练习 1、2（草稿纸上完成）2.完成书本上 103 页习题 4.5（知识技能）第一题3.完成导学案上的习题四、教学设计反思四、教学设计反思本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的 2 倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。把一
13、个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。版版版 本：华东师大本：华东师大本：华东师大201120112011版版版课课课 题：利用完全平方公式进行题：利用完全平方公式进行题：利用完全平方公式进行因式分解
14、因式分解因式分解完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 简记为：(ab)2=a22ab+b2就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算。a22ab+b2=(ab)2 多项式 整式的乘积形式因此完全平方公式满足： 把一个多项式化成几个（“两个”）整式的积的形式，这种变形实际上就是我们学过的因式分解的变形。 因此因式分解的公式法中的第二种方法就是“完全平方公式法”应用完全平方式：a22ab+b2=(ab)2完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的） 2.其中有两个是平方项且平方项前面符号同“+”同“-” 3.有一项为平
15、方项底数的2倍（2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾二倍在中央。例1：下列各式是不是完全平方式(1)a2+b2+2ab (2)-2xy+x2+y2(3)6x2-9xy+10y2 (4)4a2+12ab+9b2(5)x2+x+ (6)a2+6ab+b2(7)-x2+2xy-y2 (8)x2+y2是是是是是不是不是不是例2：请补上一项，使下列多项式成为完全平方式。(1) x2+- +y2 (2) 4a2+9b2+-(3) x2-+81y2(4)x4+2x2y2+- (2xy)(12ab)(18xy)y4例3：把下列完全平方式因式分解：（1）x2+14x+49 (解析：x2+14x+49 因此，
16、x2+14x+49 是一个完全平方式，可以用完全平方式进行因式分解） 解：x2+14x+49 =x2 +2.x.7+72 =(x+7)2 x22.x.772(2)(m+n)2-6(m+n)+9解析： (m+n)2-6(m+n)+9 解：(m+n)2-6(m+n)+9 =（m+n)2-2.(m+n).3+32 = (m+n)-32 = (m+n-3)2（m+n)22.(m+n).3 32例4：把下列各式因式分解：(1)3ax2+6axy+3ay2(2) -x2-4y2+4xy(解析：（1）不能直接用完全平方式，可以先把多项式中各项公因式提出来后，再运用完全平方公式。（2）中平方项的前面是“-”的
17、，因此需要先把“-”变成“+”，所以可以先提取“-”号出来。）解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a.x2+3a.2xy+3a.y2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)-x2-4y2+4xy 解：-x2-4y2+4xy =-（x2+4y2-4xy) =-（x2-4xy+4y2) =- x2-4xy+(2y)2 =- x2-2.x.2y+(2y)2 =- (x-2y)24y2=22y2=（2y）2运用了积的乘方的逆运用公式！巩固练习：巩固练习：巩固练习：分解因式： (1) 2xyx2y2 (2) 4(m+n)2+24(m+n)+36 (3) ax2+2a2x+a3
18、(解析：） (1) 2xyx2y2解：原式=-(2xy+x2+y2) =-(x2+2xy+y2) =-(x+y)2(2) 4(m+n)2+24(m+n)+36 解：原式=2(m+n)2+ 22（m+n)6+62 =2(m+n)+62 =(2m+2n+6)2 =2(m+n+3)2 =4(m+n+3)2 (3) ax2+2a2x+a3 解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2 =a(x2+2ax+a2) =a(x2+2.x.a+a2) =a(x+a)2 一个同学写出多项式 （用完全平方公式进行 因式分解的），另外一 个同学进行解答。 我来写我来写我来写我来算我来算我来算课堂小结：课堂小结：课堂小结：1.如何用完全平方公式的逆运用公式进行因式分解？ a22ab+b2=(ab)22.完全平方式的结构特点是什么？（1）必须是三项式（或可以看成三项的）（2）其中有两个是平方项且平方项前面的符号同“+”同“-”（3）有一项为平方项底数的2倍（2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾二倍在中央。作业布置：作业布置：作业布置：1.完成书本上102页随堂练习1、2（草稿纸上完成）2.完成书本上103页习题4.5（知识技能）第一题3.完成导学案上的习题
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