1、一元二次方程应用之销售问题一元二次方程应用之销售问题教学目标教学目标1. 知识与技能(1)以一元二次方程解决的实际问题为载体, 使学生初步掌握数学建模的方法(2) 通过对一元二次方程应用问题的学习与研究, 让学生体验数学建模的过程, 从中学会提炼日常生产生活中可以利用一元二次方程来解决的实际问题, 并正确的用数学语言表述问题及解决过程.2. 过程与方法通过自主探索、合作交流, 使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动, 发展学生的数学思维, 进一步提高逻辑思维能力和分析问题的能力, 要善于独立思考问题, 激发学生学习数学的兴趣.3. 情感态度与价值观使学生认识到数学与生活紧密相连, 数学活
2、动充满探索与创造, 让学生在学习活动中获得成功的体验, 建立自信心, 从而更加热爱数学.教学重点教学重点列一元二次方程解决利润问题教学难点教学难点找利润问题中的等量关系, 会确定单件利润和销量, 建立数学模型, 用数学思想解决现实生活中的实际问题.教学过程教学过程一. 复习回顾，引入新知回顾列方程解应用题的步骤(1) 审题：理解题意, 明确哪些是已知数, 哪些是未知数, 以及它们之间的关系.(2) 设未知数: 根据题意, 可以直接设, 也可以间接设, 通过对比找到更好的设未知数的方法(3) 列代数式和方程：根据题目中给出条件, 用含有所设未知数的代数式表示其他未知数,利用等量关系列出方程.(4
3、) 解：解方程, 应注意解题技巧, 准确的求出方程的解.(5) 检验：解应用题, 既要检验解的正确性, 又要检验解是否符合题意.(6) 作答：作出符合题目要求的答案.二. 探索新知例 1某玩具厂生产一种玩具, 按照控制固定成本降低促销的原则, 使生产的玩具能够及时售出, 根据市场调查: 每个玩具按480 元销售时, 每天可销售160 个; 若销售单价每降低 1元, 每天可多售出 2 个. 已知每个玩具的固定成本为 360 元, 问这种玩具的销售单价为多少元时, 厂家每天可获利润 20000 元?思路分析: 总利润=单件利润*销量方法一: (直接设)售价进价销量利润措施前480360160措施后
4、x360160+2(480-x)20000解: 设这种玩具的销售单价为 x 元, 则由题意, 得.20000)480(2160)360(xx整理, 得. 02116009202xx解得.46021 xx答: 这种玩具的销售单价为 460 元时, 厂家每天可获利润 20000.方法二: (间接设)售价进价销量利润措施前480360160措施后480-x360160+2x20000解: 设这种玩具的降价 x 元, 则此时售价为(480-x)元, 则由题意, 得.20000)2160(360)480(xx整理, 得. 0400402xx解得.2021 xx故此时售价为 480-20=460 元.答:
5、 这种玩具的销售单价为 460 元时, 厂家每天可获利润 20000.思考 1:怎样设更方便?思考 2: 若将例题中“若销售单价每降低 1 元, 每天可多售出 2 个”改为“若销售单价每降低 2 元, 每天可多售出 4 个”, 应如何列式解答.事实上,“若销售单价每降低 2 元, 每天可多售出 4 个”等价于“若销售单价每降低 1元, 每天可多售出 2 个”, 但在列式过程中不能直接出现“2x”, 而应该写成“x24”, 一定要保留题目中的原始数据.例 2新华商场销售某种冰箱, 每台进价为 2500 元,市场调研发现： 当销售价为 2900 元时,平均每天能售出 8 台; 而当销售价每降低 5
6、0 元时, 平均每天就能多售出 4 台, 商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元, 每台冰箱定价应为多少元?思路分析:由上述思考启发知“当销售价每降低 50 元时, 平均每天就能多售出 4 台”等价于“当销售价每降低 1 元时, 平均每天就能多售出504台”,那么在解题过程中就会出现分数.解: 设降价 x 元，则表格如下售价进价销量利润措施前290025008措施后2900-x25008+x5045000则由题意, 得.5000504825002900 xx式子的化简会比较复杂, 因此是否有更简便的设法呢?设降低了 x 个 50 元, 则降价 50 x 元, 现售价为(2900-
7、50 x)元, 那么可以多卖出 4x 台, 则销量为(8+4x)台, 由题意知.500048250052900 xx整理, 得. 032x解得. 321 xx因此售价(2900-50 x)=2750答: 每台冰箱定价应为 2750 元思考 3: 当式子中出现分数时,为使计算过程中化简更容易, 又应该如何设?例 3 平遥牛肉是博大精深, 源远流长的中华美食文化的精华之一, 已知平遥牛肉的进价为每斤 10 元, 现在的售价是每斤 16 元, 专卖店每天可卖出 120 斤. 市场调查反映: 如果调整价格, 那么每涨价 1 元, 每天要少卖出 10 斤, 如果专卖店每天要获得 770 元的利润, 且要
8、尽可能的让利给顾客, 那么应涨价多少元?解: 设应涨价 x 元, 则此时售价为(16+x)元, 则由题意, 得.770)10120(10)16(xx整理, 得. 0562 xx解得. 5, 121xx因为尽可能让利于顾客, 故涨价越低越好, 所以52x应舍去.答: 此时应涨价 1 元.思考 4：当题目中出现什么字样时, 应该取舍? 若题目中没有“要尽可能的让利给顾客”这句话, 两个解是否都符合题意呢?教师活动: 组织学生讨论(1) 指导学生理解问题,着重理解销售单价每降低 1 元, 每天可多售出 2 个的含义.(2) 通过对比引导学生设什么为 x 好, 通常设降价(涨价) x 元, 这样销量会
9、比较好表示.(3) 指导学生用 x 表示其他量如单件利润和销量.(4) 指导学生列方程、解方程和检验, 并请每位同学自己检验两根是否应该取舍.三. 拓展训练例 4平遥牛肉是博大精深, 源远流长的中华美食文化的精华之一, 已知平遥牛肉的进价为每斤 10 元, 现在的售价是每斤 16 元, 专卖店每天可卖出 120 斤. 市场调查反映: 如果调整价格, 那么每涨价 1 元, 每天要少卖出 10 斤; 每降价 1 元, 每天可多卖出 30 斤. 请你帮专卖店的老板算一下, 如何定价才能使利润最大? 并求出此时的最大利润.分析: 可以采取两种措施, 一种是降价一种是涨价, 因此要分类讨论. 为使利润最
10、大,这是最值问题, 应借助于二次函数模型来求最值.解：设利润为 w 元,(1) 若采取降价措施, 设降价 x 元, 则定价为(16-x)元, 由题意知xxw3012010167501302x因为采取降价措施, 不能低于成本, 所以需满足0, 06xx，因此 x 的取值范围为60 x因此当1x时, 利润有最大值为 750 元.(2) 若采取涨价措施, 设涨价 y 元, 则定价为(16+y)元, 由题意知yyw1012010168103102y因为采取涨价措施, 则销量应为非负值, 所以需满足0, 010120yy，因此 x 的取值范围为120 y因此当3y时, 利润有最大值为 810 元.经比较, 综上可知,当定价为 19 元时, 利润最大, 最大值为 810 元.四小结通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？本节课应掌握什么？五. 作业
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