（新教材）人教A版（2019）高中数学必修第一册开学第一课以及初高中衔接.docx

1、开学第一课一.初高中相关联性差：1 高中数学内容多，进度快。初中数学知识容量相对较小.初中是用 3 年的时间学习 3 年的课程,而高中是用 2 年的时间学习 3 年的课程.总体而言， 初中数学知识点较少，学生能够通过三年的系统学习，比较好地掌握.高中数学则知识点众多，而每个章节所包含的小知识点则更是繁杂，学生们则往往难以适应.2 高中难度大，抽象性强。宏观上讲,高中数学一下子就触及到非常抽象的集合术语、函数术语等，学生需要很长时间才能把这些符号语言转化、理解并学会运用；而初中数学主要用形象通俗的语言来表达,便于学生理解，并且联系生活实际比较多.对于这些知识点，只要用心一些，是比较容易把握的，运

2、用起来也会比较自如.在初中数学教学中,教师一般都将主要题型建立了统一的思维模式,如解方程分为几步、 因式分解需先看什么再看什么等,因此学生在初中数学学习中习惯这种机械且便于操作的定势思维方式； 而高中数学在思维形式上发生了巨大的变化,抽象的数学语言对学生的思维能力提出了更高的要求， 这种能力要求的突变使很多高一学生感到极度不适应,因而数学学习兴趣低下,成绩下降。再如：初中所学的二次函数，比较多的偏向于感性认识，学生们往往能较好地掌握，但是进入高中之后，二次函数依然是重点与难点，而且高中数学对二次函数提出了更高的要求， 比较偏向于理性思维时， 某些学生便会适应不过来.所以,同学们在心理上要接受这

3、种变化,多思考,做题时把每一步为什么这样做弄清楚,而不是像初中数学那样机械的记忆.3 对自学能力有更高的要求。初中学生自学能力低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在初中教师基本上已反复训练， 老师把要学生自己高度深刻理解的问题，都集中表现在他的耐心的讲解和大量的训练中，而且学生的听课只需要熟记结论就一般就可以做题，学生不需要很高的自学能力；但高中的知识面广， 知识全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，这就要求学生具有较高的自学能力.4 要摸索出一套自己的方法。初中阶段上课认真听讲，下课按时完成作业学习成绩就过得去；但是高中的学习除了这些外还要有更高的要求， 要摸索出一套适合自己的学习

4、方法。（1 1） 、针对性的课前预习。、针对性的课前预习。预习的目的是发现课本中的重难点， 在听课的时候就可以为自己省去很多困难。对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺。预习还可有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;预习还可以培养自己的自学能力。（2 2） 、养成良好的学习数学习惯。、养成良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯包括课前自学、 专心上课、 及时复习、 独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

5、（3 3） 、听课过程中的科学。、听课过程中的科学。首先应做好课前的物质准备和精神准备， 以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。其次就是听课要全神贯注。 （课堂完成度）全神贯注就是全身心地投入课堂学习， 耳到、 眼到、 心到、 口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师

6、的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。若能做到上述“五到” ，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。最后，特别注意老师讲课的开头和结尾。老师讲课开头， 一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节， 结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。（4 4）. .高效做好复习和总结工作。高效做好复习和总结工作。（1）做好及时的

7、复习。课完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记， 而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来， 同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。（2）做好单元复习。学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。（3）做好单元小结。单元小结内容应包括以下部分。（1）本单元

8、（章）的知识网络；（2） 本章的基本思想与方法 （应以典型例题形式将其表达出来） ；（3）自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案， 应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。5、针对自己的学习情况，采取具体的措施：针对自己的学习情况，采取具体的措施：a a、准备数学纠错本、准备数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，目的是：找错、析错、改错、防错。b b、熟记一些数学规律和小结论，、熟记一些数学规律和小结论，使自己熟练运算技能。可以运用思维导图对知识结构进行梳理使知识结构一目了然； 经常对习题进行分类，

9、由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。c c、及时复习。、及时复习。强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固,以防前学后忘，通过做习题的方式检查所学的知识，是否掌握方法。d d、学会反思学会反思。做完题后要经常“反思” ，思考本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。二.关注核心：基础、能力。三.遵守纪律、课堂积极配合、课后认真完成作业。四.初高中衔接内容知识点一：乘法公式知识点一：乘法公式【内容概述】【内容概述】【公式 1】cabcabcbacba222)

10、(2222【公式 2】3322)(babababa(立方和公式)【公式 3】3322)(babababa(立方差公式)【公式 4】33322()33ababa bab（请同学证明）【公式 5】33223()33abaa babb（请同学证明）知识点二、根式知识点二、根式【内容概述】【内容概述】式子(0)a a 叫做二次根式，其性质如下：(1)2()(0)aa a(2)2|aa(3)(0,0)abab ab(4)(0,0)bbabaa例例 1.1.化简下列各式：(1)22( 32)( 31)(2)22(1)(2) (1)xxx例例 2.2. 计算计算42 3变式变式 1 1：计算：计算74 3（

11、()22aabbab）分母（式）有理化：在分母（式）含有根式的式子里，把分母（式）中的根式化去，叫做分母（式）有理化。知识点三、因式分解【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。例 1.把22xyaxay分解因式。十字相乘法十字相乘法【内容概述】【内容概述】（1）2()xpq xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

12、二次项系数是 1；常数项是两个数之积； 一次项系数是常数项的两个因数之和2()xpq xpq2()()()()xpxqxpqx xpq xpxp xq，运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解由2121 22 11 21122()()()a a xaca c xcca xca xc，我们发现，二次项系数a分解成12a a，常数项c分解成1 2c c，把1212,a a c c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1 22 1a ca c。如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成11

13、22()()a xca xc，其中11,a c位于上一行，22,a c位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 1.把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx/ /例 2.把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx例 3.把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx例 4.把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy知识点四、2yaxbxc的图像与性质【内容概

14、述】【内容概述】1 1、 当当0a 时，时，1函数2yaxbxc图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；2当时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；当时，函数取最小值2 2、当、当0a 时，时，1函数2yaxbxc图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；2当时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；当时，函数取最大值上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来 因此， 在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题二次函数的三种表示方式【内容概述】【内容概述】1、一般式：yax2bxc(a0)；2、顶点式：ya(xh)2k(

15、a0)，其中顶点坐标是(h，k)3、交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)二次函数的最值问题【内容概述】【内容概述】1 1二次函数二次函数2 (0)yaxbxc a的最值的最值二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：当0a 时，函数在2bxa 处取得最小值244acba，无最大值；当0a 时，函数在2bxa 处取得最大值244acba，无最小值2 2二次函数最大值或最小值的求法二次函数最大值或最小值的求法第一步：确定a的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3 3求二次函数在某一范围内的最值求二次函数在某一范围内的最值 （看区间范

16、围与对称轴的位置关系）（看区间范围与对称轴的位置关系）如：2yaxbxc在mxn（其中mn）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0 xx；第二步：讨论：（1）若0a 时求最小值或0a 时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于m即0 xm，即对称轴在mxn的左侧；对称轴0mxn，即对称轴在mxn的内部；对称轴大于n即0 xn，即对称轴在mxn的右侧。（2）若0a 时求最大值或0a 时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的左侧；对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置说明：

17、求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置例例 1.1.求下列函数的最大值或最小值（1）5322xxy；（2）432xxy例例 2.2.当12x时，求函数21yxx 的最大值和最小值例例 3.3.当0 x 时，求函数(2)yxx 的取值范围例例 4.4.当1txt 时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)变式变式 1 1：求关于x的二次函数221yxtx在11x 上的最大值(t为常数)知识点五、一元二次方程根的判别式根与系数的关系（韦达定理）【内容概述】【内容概述】若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根2142bbacxa ，2242bbacxa

18、，则有：2212442222bbacbbacbbxxaaaa ；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为“韦达定理” 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知：x1x2p，x1x2q，即：p(x1x2)，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20。由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根， 所以， x1， x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1 x20 的两

19、根 因此有：以 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2(x1x2)xx1x20分式不等式：1.解一元二次不等式0) 1)(4(xx，我们还可以用分类讨论的思想来求解2.解分式不等式（分母含有变量）401xx。()()404101xxxx（1）303202xxxx与解集是否相同，为什么？（2）303202xxxx与解集是否相同，为什么？通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点 2 不能取等。练习：解不等式（1 1）073xx（2 2）025152xx解： （1）073xx与(3)(7)0 xx

20、的解集相同，解(3)(7)0 xx得：73x 所以原不等式解集为：( 7,3)（2）025152xx与(215)(52)0520 xxx的解集相同解(215)(52)0520 xxx得：51522x（3）解不等式：2113xx解：由2113xx得：21103xx ，403xx，所以原不等式解集为(, 3)(4,) 试一试：解不等式：302xx答案：, 2 3注意系数符号和分母不为零解分式不等式关键：移项（化为标准型：系数为正，右边为 0） ，通分。核心：转化。知识点六、绝对值【内容概述】【内容概述】绝对值的代数意义：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值

21、仍是零即：绝对值不等式的解法例 1.解下列不等式：（1）34x（2）14x例 2.解下列不等式：125xx例 2.解下列不等式：211xx( )( )( )( )f xg xg xf x或( )( )f xg x ( )( )( )( )( )f xg xg xf xg x ,0,|0,0,0.aaaaa a绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：两个数的差的绝对值的几何意义：ba 表示在数轴上，数a和数b之间的距离【内容概述】【内容概述】（1）不等式)0(aax的解是axax；（2）不等式)0(aax的解是axaxx或,；（3）不等式)0( ccbax的解为)0(|ccbaxcx；（4）不等式)0( ccbax的解为)0(,|ccbaxcbaxx或.简单高次不等式：穿针引线法（标根法） ：从右往左，从上往下，奇过偶不过。 （先化为标准形）例例 4.4.解不等式：02) 1)(4(xxx；变式：变式：1222xxx数学思想与方法：待定系数法、函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。【内容概述】（设)dcba：（1）cxbxacxbxax,0)()(；（2）dxcbxadxcxbxax,0)()(；（3）cxaxcxbxax,0)()(2说明： （1）化高为低即“降次” ； （2）数形结合的应用；