1、6.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理第六章平面向量及其应用第六章平面向量及其应用一、复习引入一、复习引入问题问题1已知向量e1，e2（如图），求作向量3e1；2.5e2；e1+e2 e1 + e2 e2 2.5e2 e13e1 e1e2 e1e2 问题问题2已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ e1e2 a移到同一起点；向量a可以分解为两个向量的和作平行四边形二、探求新知二、探求新知OACBMNa e1e2 一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成1e1
2、+2e2的形式二、探求新知二、探求新知e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+ +2 2e2 2二、探求新知二、探求新知追问追问1当a是与e1或e2共线的非零向量时，a也可以表示成1e1+2e2的形式吗？2100eea追问追问2当a是零向量时，a可以表示成1e1+2e2的形式吗？为什么？表示形式是唯一的若a=1e1+2e2，则1e1+2e2=1e1+2e2得（11）e1+（22）e2=0理由：则11，22全为0，即1=1，2=2问题问题3平面内任何一个向量a都可以表示成1e1+2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？假设11，22不全为0，不妨假设110，则 由
3、此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾221211 ee二、探求新知二、探求新知平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a=1e1+2e2如果e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底基底（base）二、探求新知二、探求新知说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基底后，12, 是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同。12, 三、例题分析三、例题分析例例1如图， ， 不共线，且 t （tR），用 ， 表示 OA
4、OB AP AB OA OB OP 解：因为 ，APtAB OPOAAPOAtAB ()OAt OBOA OAtOBtOA (1) t OAtOB 所以A，B，P三点共线，则系数和等于1三、例题分析三、例题分析例例2如图，CD是ABC的中线，且CD AB，用向量方法证明ABC是直角三角形分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示12CADB可选 为基底，表示 ， ,CD DA CA CB 证明 ，从而证得ABC是直角三角形0CA CB 三、例题分析三、例题分析例例2如图，CD是ABC的中线，且CD AB，用向量方法证明ABC是直角三角形12CADB证明：如图，设 a， b，CD
5、 DA 则 ab， abCA CB CA CB 22() ()ababab因为CD AB，所以CDDA因为a2CD2，b2DA2，12所以 0CA CB 因此CACB结论成立目标检测目标检测1如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线， a， b用a，b表示 ， ， ， CA CBAB AD BE CF目标检测目标检测2如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， a， b，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点（CG CD） ABAD13（1）用a，b表示 ， ， ；（2）能由（1）得出CE，BF的关系吗？ CE FBOG三、例题分析三、例题分析3 3、如图，在ABC中，AD
6、AB，点E，F分别是AC，BC的中点设 a， b14AB AC（1）用a，b表示 ， ；CD EF （2）如果A=60，AB2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论教科书习题6.3第1，11题五、布置作业五、布置作业再再 见见三、例题分析三、例题分析练习练习1如图，在ABC中，AD AB，点E，F分别是AC，BC的中点设 a， b14AB AC（1）用a，b表示 ， ；CD EF （2）如果A=60，AB2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论（1） ， CD 14abEF 12a三、例题分析三、例题分析练习练习1如图，在ABC中，AD AB，点E，F分别是AC，BC的中点设 a， b14AB AC（1）用a，b表示 ， ；CD EF （2）如果A=60，AB2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论（2） ，EF CD 2111 10242 4 aabaa b所以CDEF
