初中数学-九年级数学教案和圆有关的比例线段.docx

1、教学建议教学建议1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明难点：正确地写出定理中的等积式因为图形中的线段较多，学生容易混淆2、教学建议本节内容需要三个课时第 1 课时介绍相交弦定理及其推论，做例 1 和例 2第 2 课时介绍切割线定理及其推论，做例 3第 3 课时是习题课，讲例 4 并做有关的练 3（1 1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析

2、解决问题，逐步培养学生研究性养学生研究性学习学习意识，激发学生的意识，激发学生的学习学习热情；热情；（2 2）在教学中，引导学生）在教学中，引导学生“观察观察?猜想猜想?证明证明?应用应用”等等学学习习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动，教师组织下，以学生为主体开展教学活动第第 1 1 课时：相交弦定理课时：相交弦定理教学目标教学目标：1理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；2学会作两条已知线段的比例中项；3通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；4通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法教学重点教学重点：正确理解

3、相交弦定理及其推论教学难点教学难点：在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理教学活动设计（一）设置（一）设置学习学习情境情境1、图形变换：（利用电脑使 AB 与 CD 弦变动）引导学生观察图形，发现规律：AD，CB进一步得出：APCDPB如果将图形做些变换，去掉 AC 和 BD，图中线段 PA，PB，PC，PO 之间的关系会发生变化吗?为什么?组织学生观察，并回答2、证明：已知：弦 AB 和 CD 交于O 内一点 P求证：PA?PBPC?PD（

4、A 层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C 层学生在老师引导下完成）（证明略）（二）定理及推论1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等结合图形让学生用结合图形让学生用数学数学语言表达相交弦定理：在语言表达相交弦定理：在O O 中；中；弦弦ABAB，CDCD 相交于点相交于点 P P，那么，那么 PA?PBPA?PBPC?PDPC?PD2、从一般到特殊，发现结论对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB 是直径，并且 ABCD 于 P提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?指出：PC2PA?PB请学生用文字语言将这一结论叙述出来，

5、如果叙述不完全、不准确教师纠正，并板书推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点 C 向直径 AB 作垂线，垂足是 P，则 PC2PA?PB若再连结 AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2PA?PB ；AC2AP?AB；CB2BP?AB（三）应用、反思例 1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 厘米和 16 厘米两段，第二条弦的长为 32 厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长引导学生根据题意列出方程并求出相应的解例 2 已知：线段 a，b求作：线段 c，使 c2a

6、b分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段 a 十 b 为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段作法：口述作法反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图练习 1 如图，AP2 厘米，PB25 厘米，CP1 厘米，求 CD变式练习：若 AP2 厘米，PB25 厘米，CP，DP 的长度皆为整数那么 CD的长度是 多少?将条件隐化，增加难度，提高学生将条件隐化，增加难度，提高学生学习学习兴趣兴趣练习 2 如图，CD 是O 的直径，ABCD，垂足为 P，AP4 厘米，PD2 厘米求 PO 的长练习

7、3 如图：在O 中，P 是弦 AB 上一点，OPPC，PC 交O 于C 求证：PC2PA?PB引导学生分析：由 AP?PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP 交O 于 D，于是有 PC?PDPA?PB又根据条件 OPPC易 证得 PCPD 问题得证（四）小结知识：相交弦定理及其推论；能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；思想方法：思想方法：学习学习了由一般到特殊了由一般到特殊( (由定理直接得到推论的过程由定理直接得到推论的过程) )的思想方法的思想方法（五）作业教材教材 P132P132 中中 9 9，1010；P134P134 中中 B B 组组 4(1)4(1)第第 2 2

8、 课时课时 切割线定理切割线定理教学目标教学目标：1掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3 3能够用运动的观点能够用运动的观点学习学习切割线定理及其推论，培养学生辩证切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点唯物主义的观点教学重点教学重点：理解切割线定理及其推论，它是以后理解切割线定理及其推论，它是以后学习学习中经常用到的重要定中经常用到的重要定理理教学难点教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点教学活动设计（一）提出问题1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点如

9、果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段 PA，PB，PC，PD 的长之间有什么关系？(如图 1)当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图 2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长 PA，PB，PT 之间又有什么关系？2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段 PT，PA，PB 间的关系为 PT2=PA?PB3、证明：让学生根据图 2 写出已知、求证，并进行分析、证明猜想分析：要证 PT2=PA?PB， 可以证明，为此可证以PA?PT 为边的三角形与以 PT，BP 为边的三角形相似，于是考虑作辅助线 TP，PB(图 3)容易证明PTA=B 又P=

10、P，因此BPTTPA，于是问题可证4、引导学生用语言表达上述结论切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（二）切割线定理的推论1、再提出问题：当 PB、PD 为两条割线时，线段 PA，PB，PC，PD 之间有什么关系?观察图 4，提出猜想：PA?PB=PC?PD2、组织学生用多种方法证明：方法一：要证 PA?PB=PC?PD，可证此可证以 PA，PC 为边的三角形和以PD，PB 为边的三角形相似，所以考虑作辅助线 AC，BD，容易证明PAC=D，P=P，因此PACPDB (如图 4)方法二：要证，还可考虑证明以 PA，PD 为边的三角形和以 PC、

11、PB 为边的三角形相似，所以考虑作辅助线 AD、CB容易证明B=D，又P=P 因此PADPCB(如图 5)方法三：引导学生再次观察图 2，立即会发现PT2=PA?PB，同时 PT2=PC?PD，于是可以得出 PA?PB=PC?PDPA?PB=PC?PD推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理）（三）初步应用例1 已知：如图 6，O 的割线 PAB 交O 于点 A 和 B，PA=6 厘米，AB=8 厘米， PO=10.9 厘米，求O 的半径分析：由于 PO 既不是O 的切线也不是割线，故须将 PO 延长交O 于 D，构成了圆的一条割线，而 O

12、D 又恰好是O 的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解（解略）教师示范解题例 2已知如图 7，线段 AB 和O 交于点 C，D，ACBD，AE，BF 分别切O 于点 E，F，求证：AEBF分析：要证明的两条线段 AE，BF 均与O 相切，且从 A、B 两点出发引的割线ACD 和 BDC 在同一直线上，且 ACBD，ADBC 因此它们的积相等，问题得证学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如 AE2AC?CD 和 BF2BD?DC 等巩固练习：P128练习 1、2题（四）小结知识：切割线定理及推论；能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；方法：在证明切割线定理和推论时，所用

13、的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握（五）作业教材 P132 中，11、12 题探究活动探究活动最佳射门位置国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长 105 米，宽 68 米，足蛎趴?.32米，高 2.44 米，试确定边锋最佳射门位置(精确到 l 米)分析与解 如图 1 所示AB 是足球门，点 P 是边锋所在的位置最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向 P 上方或下方移动，视角都变小，因此点 P 实际上是过 A、B 且与边线相切的圆的切点，如图 1 所示即 OP 是圆的切线，而 OB 是圆的割线故，又，OB=30.34+7.3237.66OP=(米)注：上述解法适用于更一般情形如图 2 所示BOP 可为任意角