2021-2022学年度高中数学必修第二册练习题（1）含详解.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 8 8 题）题）1、 若向量，则的坐标为（ ）A （ 2 ， 3 ） B （ 0 ， 3 ）C （ 0 ， 1 ） D （ 3 ， 5 ）2、 用力推动一物体水平运动，设与水平面的夹角为，则对物体所做的功为（ ）A B C D 3、 若，则（ ）A B C D 4、 哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数 ( 素数指大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数 ) 的和 ” ，如 18=7+11 ，在不超过 16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是（）A B

2、 C D 5、 如图，中，分别是的三等分点，若，则（ ）A B 2 C 3 D 66、 已知平面向量与的夹角为，则的值为（ ）A B C D 7、 如图，正方体的棱长为 2 ，、分别为、的中点，则（ ）A 平面B 三棱锥的体积为 2C 异面直线与所成角的正切值为 3D 点到平面的距离是点到平面的距离的 3 倍8、 设，为复数，. 下列命题中正确的是（）A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则二、填空题（共二、填空题（共 4 4 题）题）1、 若m、n是两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则上面命题中，真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号

3、）2、 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则_ 3、 已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为_.4、 一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，当且仅当， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时， 称这个三位数为 “ 有缘数 ” （如213 ， 341 等）现从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为 “ 有缘数 ” 的概率是 _ 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题）题）1、 如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值2、 如图， 已

4、知平面，点分别是的中点（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）求直线与平面所成角的大小3、 斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积 .4、 求函数的最小值，以及y取最小值时的x的值 . 设想，把原函数改为，能够形成怎样的问题？如何求解？=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 B【分析】直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选： B2、 D【分析】直接用向量的数量积即可求得 .【详解】力对物体所做的功为.故选： D.3、 B【分析】根据因为，利用复数的除法化简求解 .【详解】因为，所以，所以，故选： B4、 B【分析】确定不超过 16 的素数，

5、写出任取 2 上的基本事件，同时得出和为 16 的基本事件，由概率公式计算概率【详解】不超过 16 的素数有 2 、3 、5 、7 、11 、13 ， 满足 “ 和 ” 等于 16 的有 (3 ，13) 、(5 ， 11) 共有 2 组，总的有 (2 ， 3) 、 (2 ， 5) 、 (2 ， 7) 、 (2 ， 11) 、 (2 ， 13) 、 (3 ， 5) 、 (3 ，7) 、 (3 ， 11) 、 (3 ， 13) 、 (5 ， 7) 、 (5 ， 11) 、 (5 ， 13) 、 (7 ， 11) 、 (7 ，13) 、 (11 ， 13) ，所以，故选： B 5、 D【分析】以为基

6、底，表示出，根据数量积公式代入数据化简即可 .【详解】由题意得，所以.所以，故选 :D6、 B【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解 .【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选： B.7、 AC【分析】作出完整的截面，证明得线面平行，判断 A ；用换顶点法求棱锥体积判断B ，证明异面直线与所成的角为或其补角，在梯形中求出的正切值判断 C ；利用与的交点间距离的比值可得到平面的距离比，从而判断 D 【详解】连接，连接，因为所在棱中点，因此，又正方体中易得，所以，因此平面即为截面，是中点，则与、平行且相等，是平行四边形，平面，平面，因此有平面， A 正确；， B 错；

7、由，因此异面直线与所成的角为或其补角，在梯形中，它是等腰梯形，所以， C 正确；如图，在矩形中，是中点得，所以到平面的距离等于到平面距离的 2 倍， D 错故选： AC 8、 BC【分析】对于 A ：取特殊值判断 A 不成立；对于 B 、 C 、 D ：直接利用复数的四则运算计算可得 .【详解】对于 A ：取，满足，但是不成立，故 A 错误；对于 B ：当时 , 有，又，所以, 故 B 正确 ;对于 C ：当时 , 则, 所以, 故 C 正确 ;对于 D ：当时 , 则, 可得.因为，所以. 故 D 错误故选： BC二、填空题二、填空题1、 【分析】根据线面平行和垂直的判断和性质依次分析即可得

8、出 .【详解】解：对于 ，若，则或，故选项 错误；对于 ，若，则与平行或相交，如图所示，故选项 错误；对于 ，若，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，故，故选项 正确；对于 ，若，直线m，n的方向向量即为平面的法向量，因为，则两个平面的法向量垂直，故，故选项 正确所以真命题的是 .故答案为： 2、 2【分析】根据题意，结合余弦定理得，再根据正弦定理边角互化即可得答案 .【详解】解：根据题意，及所以得，解得，故故答案为：3、【分析】由，得到，再由，求得， 再由夹角公式求解 .【详解】因为，所以，即，又，所以，所以，故答案为：4、【分析】求出任意三位数的个数，再确定两个数

9、字和等于第三个的 3 个数的数组，从而求得 “ 有缘数 ” 的个数，然后可计算出概率【详解】从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为，1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中两个的和等于第三个的有 123 ， 134 ， 因此 “ 有缘数 ” 个数为，所示概率为故答案为：三、解答题三、解答题1、【分析】作出圆台的侧面展开图，根据与相似，得到，设，求得的长度为所在圆周长的，得到，结合勾股定理，即可求解 .【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中与相似，得，可求得设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为, 扇形的半径为，扇形所在

10、圆的周长为所以的长度为所在圆周长的，所以所以在中，所以，即所求绳长的最小值为2、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） 30.【分析】推导出，从而 平面，进而，由此能证明 平面；(2 ) 取中点和中点，连接，推导出四边形是平行四边形， 从而, 进而 平面,即为直线与平面所成角，最后根据已知条件求出来即可 .【详解】( 1 ) 证明： AB=AC，E为BC中点， AEBC 平面ABC，/ 平面ABCAE又 BC=BAE 平面如图， 取中点和中点，连接，N和E分别为和BC的中点， 四边形是平行四边形又 平面 平面即为直线与平面所成角，在中，可得= 2= 2且又由在中，在中，, 即直线与平面所成角的大小

11、为3、【分析】解法一：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，然后以为底面求解；解法二：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥求解 .【详解】解法一：如图所示：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，以为底面，则到平面的距离即为平行六面体的高 .，故.解法二：如图所示：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥.，又平面，.故.4、 答案见解析【分析】设向量，对函数进行变形，然后通过构造向量的模求解，即变形后构造为向量模的和，从而根据向量模的性质求最值 .【详解】可化为.设向量，当且仅当与共线且同向时等号成立 .，解得. 函数的最小值是，此时.把原函数改为后，可求此函数的最大值 .，设，.则.当且仅当与共线且同向时等号成立，即，即，所以函数的最大值为，此时.