高三数学期末考试模拟试题四.docx

1、试卷第 1页，共 6页高三数学期末考试模拟试题四高三数学期末考试模拟试题四一、单选题一、单选题1已知, a b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角是（ ）A6B3C23D562 已知a，bR，若22abab i(i为虚数单位)， 则实数a的取值范围是（）A2a 或1a B1a 或2a C1a2 D21a 3习近平总书记在 2022 年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标 某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神，面向全体学生开设了体育校本课程该校学生小烷选完课程后，其他三位同学根据小烷的兴趣爱好对他选择的课程进行猜测甲

2、说：“小烷选的不是足球，选的是篮球”乙说：“小烷选的不是篮球，选的是羽毛球 ”丙说：“小烷选的不是篮球，也不是乒乓球”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小烷选择的课程（）A可能是乒乓球B可能是足球C可能是羽毛球D一定是篮球4五张分别标有 1，2，3，4，5 的纸牌排成一行，满足任意相邻两张纸牌上的数字之和不大于 7 的排法数有（）A12 种B24 种C36 种D48 种5函数 3cos2xxfxx的部分图象大致是（）ABCD试卷第 2页，共 6页6函数 22logf xxx，则满足01,4x ，且0fx为整数的实数0 x的个数为A3B4C17D1

3、87若函数 1ln1xfxxx，且210faf a，则 a 的取值范围是（）A1,3B1 1,2 3C10,3D10,28 九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一 其大意是弧田面积计算公式为： 弧田面积12(弦矢+矢矢) 弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形， 公式中的“弦”指的是弧田弦的长， “矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于 8 米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 128 平方米， 则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（）A60169B120169C119169D59169二、多选

4、题二、多选题9对任意 A，BR，记 |ABx xABxAB，则称AB为集合 A，B 的对称差例如，若12 3A ， ，2 3 4B ， ，则14AB，下列命题中，为真命题的是（）A若 A，BR且ABB，则AB若 A，BR且AB ，则ABC若 A，BR且ABA，则ABD存在 A，BR，使得RRABAB痧10等差数列 na的前n项和为nS，若10a ，公差0d ，则（）A若48SS，则120SB若48SS，则6S是nS中最大的项C若45SS，则56SSD若45SS，则34SS11已知函数 f xAsinx(A0,0)的部分图象如图所示，且5(0)6ff，则下列说法正确的为（）A函数23yfx为奇函

5、数 B对任意xR均满足77066fxfx试卷第 3页，共 6页C若函数2fx在区间0,m上有两个极值点，则m取值的范围是1117,1212D要得到函数( )2cos2g xx的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移12个单位长度12如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A、2A、3A、4A是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.则下列说法正确的是（）A甲从M到达N处的方法有120种B甲从M必须经过2A到达N处的方法有9种C甲、乙两人在2A处相遇

6、的概率为81400D甲、乙两人相遇的概率为41100三三、填空题填空题 13已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该箱中有放回地依次取出 3 个小球.则 3 个小球颜色互不相同的概率是_；若变量为取出 3 个球中红球的个数，则的方差 D_.14814axx的展开式中2x的系数为70，则a _15 在ABC中，D为边BC上一点，2CD ，6BAD， 若2355 ADABAC， 且6B ，则AC _16南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列

7、，如数列 1，3，6，10，前后两项之差得到新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第 20 项为_四四、解答题、解答题17在121nnSS，214a ，11 2nnSa 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答已知数列 na的前n项和为nS，满足_，_；又知正项等差数列 nb满足13b ，试卷第 4页，共 6页且1b，32b ，7b成等比数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设nnnbca，求数列 nc

8、的前项和nT18 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果， 某药物研究所科研人员随机选取 100 只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内 独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图 （以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率） ：（1）根据频率分布直方图，估计 100 只小白鼠该项医学指标平均值x（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） ；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布2,N ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于 14.77 时， 则认定其体内已经产生抗体； 进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的 100 只小白鼠中没有产生抗体

9、的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有 10 只小白鼠又产生了抗体这里近似为小白鼠医学指标平均值x，2近似为样本方差2s经计算得26.92s ，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（精确到 0.01） 附：参考数据与公式6.922.63，若2,XN ，则0.6827PX；220.9545PX；330.9973PX19已知函数 21xf xxe，其中aR（1）求函数 fx在0 x 处的切线方程；（2）0 x ， 1fxax，求实数a的取值范围试卷第 5页，共 6页20为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取 100

10、件进行性能质量评估检测， 综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中1198a综合得分k的范围减排器等级减排器利润率85k 一级品a7585k二级品25a7075k 三级品2a（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件产试卷第 6页，共 6页品中随机抽取 4 件，求至少有 2 件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：若从乙型号减排器中随机抽取 3 件，求二级品数的分布列及数学期望 E；从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？21设函数 22sincos3xxfx.（1）若

11、0,2x，求 fx的单调递增区间；（2）在ABC中，1AB ，2AC ， 32fA ，且A为钝角，求sinC的值.22已知函数 esin1xf xaxx（1）若函数 fx在0,上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当12a时，证明：函数 2g xxf x有且仅有 3 个零点答案第 1页，共 12页高三数学期末考试模拟试题四高三数学期末考试模拟试题四参考答案参考答案1B2B解：因为a，bR，22abab i，所以220abab，即22aa，解得1a 或2a 3B【详解】若小烷的选择是乒乓球，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；若小烷的选择是足球，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；若小

12、烷的选择是羽毛球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；若小烷的选择是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；故小烷可能选择的是足球或篮球.4C5D解：函数的定义域为0 x x ，故排除 A， 3cos23cos2xxxxfxf xxx ，故函数为奇函数，由于0,4x时，cos20 x ，故0,4x时， 3cos20 xxfxx，故排除 BC；所以 D 选项为正确答案.6C在区间1,4上， 120ln2fxxx，所以 fx在区间1,4上的单调递增.而 11,418ff，所以 fx在区间1,4上的值域为1,18，其中有2,3,17,18共17个整数.由于 fx为一一对应，所以满足01,4x

13、 ，且0fx为整数的实数0 x的个数为17.7C8B如图，由题意8CD ，弓琖ACB的面积为128，1(8) 81282AB，24AB ，设所在圆半径为R，即OAOBR，则22224(8)2RR，解得13R ，5OD ，由211sin22ABODOAAOB得答案第 2页，共 12页224 5120sin13169AOB9ABD解：对于 A 选项，因为ABB，所以 |Bx xABxAB，所以AB，且 B 中的元素不能出现在AB中，因此A，即选项 A 正确；对于 B 选项，因为AB ，所以 |x xABxAB ，即AB与AB是相同的，所以AB，即选项 B 正确；对于 C 选项，因为ABA，所以 |

14、x xABxABA，所以BA，即选项 C错误；对于 D 选项，AB时，AB ，RRABAB 痧，D 正确；10BC11BD 根据函数的部分图象，易知 A=2，再由5(0)6ff，得到函数的一条对称轴，进而求得周期，再由5212f 求得，得到函数的解析式，再逐项判断.【详解】由图象知：A=2，又5(0)6ff，所以函数的一条对称轴为：5056212x，又541264T，解得,2T ，又因为5212f ，即52sin26 ，所以53262kkZ，又|，则23，所以 22sin 23f xx，A.函数222sin 233fxx不是奇函数，故错误；B.77fxfx2sin 232sin 322sin2

15、2sin2066xxxx ，故正确；C.2sin 223y=fxx，由0,xm，则2,2333xm ，若在0,m上有两个极答案第 3页，共 12页值点，则352232m，解得11171212m，所以m取值的范围是1117,1212，故不正确；D.将函数f(x)的图象向右平移12个单位长度，得到22sin 22sin 22cos21232yxxx，故正确；12 【详解】A 选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有3620C 种，A 选项错误；B 选项，甲经过2A到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过2A需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法

16、数为13C种；第二步，甲从2A到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为13C种.甲经过2A到达N的方法数为11339CC种，B 选项正确；C 选项，甲经过2A的方法数为11339CC种，乙经过2A的方法数也为11339CC种，甲、乙两人在2A处相遇的方法数为1111333381CCCC，甲、乙两人在2A处相遇的概率为33668181400C C，C 选项正确；D 选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A、2A、3A、4A处相遇，若甲、乙两人在1A处相遇，甲经过1A处，则甲的前三步必须向上走，乙经过1A处，则乙的前三步必须向左走，两人在1A处相遇的走法种数为1种；若甲、乙两人在2

17、A处相遇，由 C 选项可知，走法种数为81种；若甲、乙两人在3A处相遇，甲到3A处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到3A处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，两人在3A处相遇的走法种数为2121333381C C C C 种；若甲、乙两人在4A处相遇，甲经过4A处，则甲的前三步必须向右走，乙经过4A处，则乙的前三步必须向下走，两人在4A处相遇的走法种数为1种；故甲、乙两人相遇的概率1 81 81 141400100，D 选项正确.【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解：答案第 4页，共 12页在平面直角坐标系中，从0,0到,m nm nN

18、，每次只能向右或向上走一步，一共要走mn步，其中有m步向上走，n步向右走，走法种数为mm nC（或nm nC）种.139501225【分析】设抽取一次， 抽到到红球、 黑球、 白球的事件分别为, ,A B C， 则 131,5102P AP BP C.则“从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同”的事件有33A种情况， 每种情况的概率都为 13135102100P AP BP C，所以“从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率”为33339610010050A .依题意可知变量13,5B，所以 1112315525D .1414解：由二项式定理展开式的通项

19、公式得388821881441kkkkkkkkTCaxCaxx，令3822k，解得4k ，所以展开式中2x项为4424 184TCax，其系数为448470Ca，解得14a .157解：因为2355 ADABAC，2CD ，所以根据向量平行四边形法则可得5CB ，3BD ，又6BADB，故3ADBD且3ADC，在ACD中，由余弦定理：2222cos7ACADCDAD CDADC，所以7AC .16193解：设此数列为 na，可得：13a ，211aa，322aa，11nnnaa121321(1)()()()312132nnnn naaaaaaaan 答案第 5页，共 12页2020 19319

20、32a17条件性选择见解析， （1）12nna，41nbn； （2）110245nnTn（1）选择：由121nnSS 当2n时，有121nnSS，两式相减得：12nnaa，即112nnaa，2n又当1n 时，有2112212SSaa ，又214a ，112a ，2112aa也适合，所以数列 na是首项、公比均为12的等比数列，所以12nna；选择：由11 2nnSa 当2n时，11 2nnSa ，两式相减得：122nnnaaa ，即112nnaa，2n又当1n 时，有1211 2Saa ，又214a ，112a ，2112aa也适合，所以数列 na是首项、公比均为12的等比数列，所以12nna

21、；选择：由121nnSS，11 2nnSa ，则112122nnnSSa 即111nnSa ，所以11nnSan ，两式相减可得：1121nnaan，当1n 时，由121nnSS，得2121SS，即121221aaSa，即1221aa由11 2nnSa ，得121 2Sa ，即121 2aa ，与上式相同，不能求出1a的值.故不能选择所以数列 na是首项、公比均为12的等比数列，所以12nna；设正项等差数列 nb的公差为d，13b ，且1b，32b ，7b成等比数列，答案第 6页，共 12页231 72bbb，即23223 36dd，解得：4d 或12d （舍） ，34141nbnn，故12

22、nna，41nbn（2）412nncn所以1233 27 211 2412nnTn ，则23123 27 2452412nnnTnn ，两式相减得22164 222412nnnTn114 1 2644121 2nnn 110254nn 110245nnTn【点睛】关键点睛：本题考查利用 na与nS的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由1233 27 211 2412nnTn ，和23123 27 2452412nnnTnn 相减得到22164 222412nnnTn，属于中档题.18 （1）17.4； （2）0.94.【分析

23、】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率14.77P xP x，即可计算第一次注射疫苗后 100 只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗 10 只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率.【详解】（1）0.02 12 20.06 14 20.14 16 20.18 18 20.05 20 2x 0.03 22 20.02 24 217.4 （2）17.402.6314.77答案第 7页，共 12页1 0.68270.68270.84142P x记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，则 14.77

24、0.8414P AP xP x，因此 100 只小鼠首先注射疫苗后有100 0.841484只产生抗体，有1008416只没有产生抗体故注射疫苗后产生抗体的概率84 100.94100P.【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，直方图中各个小长方形的面积之和为1；直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；平均数是频率分布直方图的重心， 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19 （1）10 xy ； （2）1a 【分析】（1）求导数，得切线斜率(0)f ，从而可得切线

25、方程；（2）0 x 时，不等式成立，主要讨论由0 x 时不等式成立得a的范围，分离参数后用导数求函数的最值可得【详解】（1）由题意2( )(21)xfxxxe，(0)1f ，又(0)1f ，所以切线方程为1yx ，即10 xy ；（2）0 x 时，不等式 1fxax为11 ，对任意实数a都成立；0 x 时，不等式 1fxax化为( )10f xax ，令( )( )1g xf xax，则( )( )g xfxa，由2( )(21)xfxxxe，令2( )(21)xh xxxe，2( )(41)0 xh xxxe，所以( )h x即( )fx在(0,)上递增，( )(0)1fxf ，所以( )(

26、0)1g xga ，答案第 8页，共 12页若10a ，即1a ，则( )0g x在(0,)上恒成立，( )g x在(0,)上递增，( )(0)0g xg，不等式( )10f xax 成立，若1a ，由上讨论知存在00 x ，使得00()g x，且当00 xx时，( )0g x，( )g x递减，0 xx时，( )0g x，( )g x递增，min0( )()g xg x，而(0)0g，因此00 xx时，( )(0)0g xg，( )0g x 不成立综上1a 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查由不等式恒成立求参数范围解题方法是构造新函数( )( )1g xf xax，求出( )g

27、x，确定( )g x在(0,)上单调递增，(0)1ga ，根据1a 的正负分类讨论后得出结论注意此题若用分离参数得2(1)1xxeax，引入新函数后在现有知识体系下求不出新函数的最小值或取值范围，从而不能得出结论20 （1）3742； （2）二级品数的分布列见详解， 3=4E；投资乙型号减排器的平均利润率较大.【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为 0.6，根据分层抽样，计算 10 件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2 件一级品的概率；（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率1

28、4，三级品的概率为120，若从乙型号减排器随机抽取 3 件，则二级品数所有可能的取值为0,1,2,3，且1(3, )4B，由此能求出的分布列和数学期望.由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值， 由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.08 5+0.04 5=0.6，分层抽样的方法抽取 10 件，则抽取一级品为10 0.66（件）答案第 9页，共 12页则至少有 2 件一级品的概率，2231464646410+3742C CC CCPC；（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号

29、减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率14，三级品的概率为120，若从乙型号减排器随机抽取 3 件，则二级品数所有可能的取值为0,1,2,3，且1(3, )4B，所以30033127(0)4464PC ，21133127(1)4464PC ，1223319(2)4464PC ，0333311(3)4464PC ，所以的分布列为0123P27642764964164所以数学期望：2727913( )0123646464644E ；由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：221=0.60.4 520.6Eaaaa；乙型号减排器的利润的平均值：2222711137=5104201010Eaaaa

30、a；答案第 10页，共 12页2127171=1010107EEaaa a，又1198a，则12EE，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.【点睛】思路点睛： 本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法求解随机变量的分布列及期望和利用函数思想解决实际问题 解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.21 （1）5,122 （2）2114【分析】（1）利用两角和的余弦公式、降次公式和辅助角公式化简 fx，再根据三角函数单调区间的求法，求得 fx的单调递增区间.（2）利用 32fA 求得A，由余弦定理求得BC，再由正弦定理求得sinC.【详解】（1） 22sincos3xxfx213

31、2sincossinsin cos3sin22xxxxxx 3 1 cos2sin23sin 22232xxx ，当0,2x时，22,333x .当22,323x，即5,122x 时， fx是增函数.所以 fx在0,2上的单调递增区间为5,122 .（2）在ABC中，由 32fA ，得6A或23.因为A为钝角，所以23A.由余弦定理得222cosBCABACAB ACA1142 1 272 .答案第 11页，共 12页又由正弦定理sinsinBCABAC，得21 sinsin213sin147ABACBC.22 （1）2a； （2）证明见解析.（1）由 cosxfxeax，根据条件即cosxa

32、ex在0,x上恒成立，设 cosxh xex，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2） 由 2 =00 =0gg， 所以2x ，0 x 是 2g xxf x的两个零点 因为12a，由（1）知，函数 fx在0,上为增函数， 00fxf，无零点所以即证函数 fx在,0上有且仅有 1 个零点，分, x 和,0 x 分别讨论即可证明.【详解】（1）因为 cosxfxeax，由函数 fx在0,上为增函数，则cosxaex在0,x上恒成立.令 cosxh xex，0,x， sinxh xex当0 x 时，e1x，所以 sin0 xh xex恒成立.所以 h x在0,为增函数所以 02h xh所

33、以2a（2）由 2sin12xeaxgxf xxxx，则 2 =00 =0gg，所以2x ，0 x 是 2g xxf x的两个零点因为12a，由（1）知，函数 fx在0,上为增函数， 00fxf，无零点所以下面证函数 fx在,0上有且仅有 1 个零点当, x 时，12a，ax， sin10 xfxex 无零点当,0 x 时，sin0 x ，设 , sin0 xu xfxuxex， fx在,0上递增，答案第 12页，共 12页又 020fa，10fea ，存在唯一零点0,0 x ，使得00fx当0,xx 时， 0fx， fx在0,x上递减；当0,0 xx时， 0fx， fx在0,0 x上递增所以，函数 fx在,0上有且仅有 1 个零点故函数 fx在,0上有且仅有 1 个零点综上：当12a时，函数 2g xxf x有且仅有 3 个零点