1、15.1 常量与变量常量与变量学习单学习单班级班级_姓名姓名_学号学号_1. 联系生活 畅所欲言数学源于生活, 请同学们例举生活中的常量与变量，规则如下：（1）每四人一小组，先独立思考，举出一个具体的过程，再组内交流，然后小组派代表展示小组内颇具代表性的例子；（2）让其他组的同学来分辨例子中的常量和变量，并对他们给出的答案做出评价2. 例题讲解一家快递公司的收费标准如图，用 t 表示邮件的质量，p 表示每件快递费，n 表示快递邮件的件数2（1）填写下表t (千克)36101112.513p (元)（2）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n 是常量，还是变量？（3）投寄 n 件邮件的快递费记为 w
2、，若，t，p，n，w 中哪些是常量？哪些是变量？100 t3. 拓展提高：如图，在ABC 中，点 E 是高线 AD 上的一个动点，连结 BE、CE，点 E 在 AD 上移动的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？常量变量CBEAD34. 课后作业：（1）必做题：作业本（1）P30-31（2）选做题：研究性学习 探究绿豆幼苗在生长过程中茎叶长度的比值特点。具体如下：每人 5 株绿豆幼苗，每三天记录一次数据，探索生长后茎叶长度的变化，可选择求出关系式，或列出图表等多种方式来阐述你的研究成果，最后请将你的研究成果发送至教师的 QQ 邮箱4视频欣赏1.在这个捏陶泥的过程中，哪些量在改变,哪些量不变? （
3、不考虑中间过程中的损耗）观察与思考2. 圆的面积公式为 , 32 在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量改变？哪些量不变？观察与思考取 r 的一些不同的值, 算出相应的S 的值: 3. 学校要购买一批陶泥，若某陶泥的单价为25元/套， 设购买的数量为 t （套）, 总价为 m （元）， 数量t(套)1234总价m(元) 在这个买陶泥的过程中，哪些量改变？哪些量不变？观察与思考那么这三个量之间的关系是_.在一个过程中，固定不变的量称为常量（constant），可以取不同数值的量称为变量（variable）.初识概念变量数学常量数学理解概念固定速度 v 千米/时，若设行驶的时间为 t 小时，路程
4、为 s千米，则路程 s与时间 t的关系式为_，其中常量是_，变量是_.常量不一定是具体的数,也可以用字母表示. 1. 某货车行驶的平均速度为 80千米/时80千米/时，若设货车行驶的平均速度为v千米/时，行驶完全程所需的时间为 t 小时，则时间 t =_，其中常量是_，变量是_. 变式：江苏宜兴与嘉善相距约200千米,200千米在一个过程中，常量与变量相对地存在.过程常量变量在v一定的过程中v在s一定的过程中s1. 货车以80千米/时的平均速度行驶2. 宜兴与嘉善相距约200千米， 货车从宜兴向嘉善行驶理解概念t在t一定的过程中2.判断存在哪些量 和变化规律、数量关系3.根据定义判断 常量和变
5、量1.明确变化过程判断常量与变量的一般步骤： 2.2011年2018年天猫双十一陶泥的销售额统计如下图， 其中 y 表示销售额，t 表示时间.（1）在这个过程中，销售额 y 和时间 t 表示的是常量还是变量？（3）当 t =2018 时，y=_，它的实际意义是什么？1180（2）这两个变量之间有怎样的联系？2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年理解概念表图2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年式 数学源于生活,请同学们例举生活中的常量与变量 规则如下： 1.每四人一小组，先独立思考，举出一个具体的过程，再组 内
6、交流，然后小组派代表展示小组内颇具代表性的例子； 2.让其他组的同学来分辨例子中的常量和变量，并对他们给 出的答案做出评价. 温馨提示：请大家从多角度去思考，并给出尽可能多的例子.联系生活 畅所欲言 一家快递公司的收费标准如图，用 t 表示邮件的质量，p 表示每件快递费，n表示快递邮件的件数.从上题中，你能读出哪些信息？概念应用 一家快递公司的收费标准如图，用 t 表示邮件的质量，p 表示每件快递费，n表示快递邮件的件数.t（千克） 3 6 10 1112.5 13p（元） 666799 （1）填写下表概念应用 一家快递公司的收费标准如图，用 t 表示邮件的质量，p 表示每件快递费，n表示快递
7、邮件的件数.（2）在投寄快递邮件的事项中，t , p, n 是常量，还是变量？ （3）投寄 n 件邮件的快递费记为 w , 若0 t 10，若 t 10, 概念应用t , p, n , w 中哪些是常量？哪些是变量？关于常量、变量，你明白了什么？获得了哪些体会？你还想知道什么?反思小结 大家好，我是变量，我就是大家好，我是变量，我就是“在一个过程中，可以取不在一个过程中，可以取不同数值的量同数值的量”。我还有个好兄弟叫常量，。我还有个好兄弟叫常量，“在一个过程中在一个过程中，固定不变的量，固定不变的量”就是他了。在一个过程中，我们总是就是他了。在一个过程中，我们总是相相对存在着对存在着！表示变
8、量之间的变化关系的常用方式有：用表示变量之间的变化关系的常用方式有：用关关系式系式表示，用表示，用表格表格表示，用表示，用图象图象表示表示。我猜，你们会问我猜，你们会问“两个变量之间两个变量之间还存在着其他还存在着其他特殊特殊的的关系关系吗？吗？”我先卖个关我先卖个关子，等下节课再揭晓吧，敬请期待哦！子，等下节课再揭晓吧，敬请期待哦！ 如图，在ABC中, 点 E是高线 AD上的一个动点, 连结 BE、CE, 点 E 在 AD上移动的过程中, 哪些量是常量？哪些量是变量？（看谁找的更多）拓展提高善于发现变化中的不变量必做题：作业本（1）P30-31选做题：研究性学习 探究绿豆幼苗在生长过程中茎叶
9、长度的比值特点。具体如下：每人5株绿豆幼苗，每三天记录一次数据，探索生长后茎叶长度的变化，可选择求出关系式，或列出图表等多种方式来阐述你的研究成果，最后请将你的研究成果发送至QQ邮箱. 时间是个常量，每年365天，谁都不会少。对勤奋者来说，时间却是个变量，在有限的时间单位里实现更多愿望，正是生命意义之所在。 选自人民日报用数学的眼光看世界课后作业15. 1 常量与变量常量与变量教学设计教学设计教教 材材浙教 2011 课标版八年级上册第五章第 1 节课课 题题5.1 常量与变量课课 型型新授课教材分析教材分析本节内容是“一次函数”章节学习的起始课本节课的主要内容是在实例中认识常量与变量，体会常
10、量与变量相对依存于某一个变化的过程中它揭示了事物变化过程中存在的本质即各种变量的相互关系，使数学的研究对象从常量到了变量，这是初中数学学习的一个分水岭另外，变量间的依存关系有利于进一步认识函数概念本质，其中渗透的变量思想、对应思想、函数思想，对今后的数学学习和发展都起到了重要的作用学情分析学情分析学生在日常生活中已经接触过一些有关常量与变量的现象，同时学生已经具备了从实际问题抽象出数学问题的能力，具有一定的独立探究意识教学目标教学目标1. 知识与技能目标：通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化；了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在，以及变量间的依存关系；
11、会在简单的过程中辨别常量和变量2. 过程与方法目标：经历从具体到抽象、从感性认识到理性分析的思维过程，体会分类、数形结合、从特殊到一般等数学思想，逐步提升学生的数学素养3. 情感、态度与价值观目标：在经历、体验、探索、交流讨论的过程中，激发数学学习的兴趣，体会数学的应用价值，增强学好数学的信心教学教学重难点重难点教学重点：常量和变量的概念教学难点：1. 体验在一个过程中常量与变量相对地存在2. 范例的情境较为复杂教学准备教学准备课件 PPT、微视频、学习单、希沃授课助手教学环节教学环节教学流程教学流程设计意图设计意图2（一）（一）课前微课前微视频欣赏视频欣赏师生共同观看微视频这是一个变化的世界
12、让学生用数学的眼光看世界，感受“万物皆变”，旨在让学生保持对世界的敏感和好奇，激发学生的学习热情，也为后续常量与变量概念的引入做好铺垫1. 在将一个瘦高型的圆柱体陶泥捏成一个矮胖型圆柱体的过程中，哪些量改变？哪些量不变？（不考虑中间过程中的损耗）以学校陶艺社里捏陶泥为情境引入，较为贴近学生的生活实际，学生通过探索会分析出许多物理属性和数学属性的量，易于辨析量的变与不变，同时渗透学科间的整合和多角度看问题的观点2. 圆柱体陶泥的横截面是圆，截不同的圆柱体陶泥得到许多大小不一的圆问 1：在计算这些圆的面积的过程中，存在哪些量？问 2：这些量之间有怎样的数量关系？问 3：请取的一些不同的值，算出相应
13、的的rs值： cm cm2rs cm cm2rs cm cm2rs 问 4：在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？（二）（二）观察观察与思考与思考3. 学校要购买一批陶泥，若某陶泥的单价为 25元/套，设购买的数量为 t（套），总价为 m（元）以小步骤循序问答的形式，让学生感受量与量之间的对应关系，感受在一个变化过程中存在着“量”，其中有些量固定不变，有些量可以3问 1：在这个买陶泥的过程中，存在哪些量？问 2：这些量之间存在着怎样的数量关系？问 3：买 1 套陶泥，总价是多少元？2 套呢？3套呢？4 套呢？（填写完成下表）问 4：在这个买陶泥的过程中，哪些量改变？哪些量
14、不变？ 取不同数值，为抽象出“常量”与“变量”的概念做好铺垫4. 归纳：在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量师：从今天开始，我们的数学就从常量数学进入到了变量数学通过实例的分析与梳理，抽象出“常量”与“变量”的概念，概念归纳紧扣实例，水到渠成，同时渗透分类思想（三）（三）理解概念理解概念1. 若已知某货车行驶的平均速度为 80 千米/时问 1：经过 1 小时，它行驶了多少距离呢？经过2 小时呢？经过 3 小时呢？问 2：当平均速度一定时，路程与时间有没有联系，有怎样的联系？问 3：若设行驶的时间为 t 小时，路程为 s 千米，则路程 s 与时间 t 的关系式为_，其中
15、常量是_，变量是_.变式 1：若将“80 千米/时的平均速度”改为“固定速度 v（千米/时）”，则路程 s 与时间 t的关系式为_，其中常量是_，变量是_.追问：常量一定是一个具体的数吗？变式 2：江苏宜兴与嘉善相距约 200 千米问 1：若货车行驶的平均速度为 100 千米/小时，那么它跑完全程所需的时间为多少小时？若货车行驶的平均速度为 80 千米/小时呢？若货车行驶通过设计问题串引导学生，让学生进一步体验和感受量与量之间的对应关系和依存关系通过变式 1 让学生体会常量不一定是具体的数，也可以用字母来表示4的平均速度为 60 千米/小时呢？问 2：当路程一定时，时间和平均速度之间有没有联系
16、，有怎样的联系？问 3：若设货车行驶的平均速度为 v 千米/时，行驶完全程所需的时间为 t 小时，则时间t=_，其中常量是_，变量是_.问 4：观察上述过程，同一个量在不同的过程中，条件变了，它的角色一定吗？由此，你发现了什么？得出判断常量和变量的一般步骤： 明确变化的过程 判断存在哪些量、变化规律和数量关系 根据定义判断常量与变量通过设计问题串让学生进一步体会量与量之间的对应关系和依存关系用问题串引导学生将实际问题抽象成数学语言，结合表格的辅助归纳作用，帮助学生辩证地理解常量与变量，体验在一个过程中常量与变量相对地存在，从而自然得出判断常量与变量的一般步骤52. 2011 年2018 年天猫
17、双十一陶泥的销售额统计如下图，其中 y 表示销售额，t 表示时间（1）在这个变化过程中，销售额 y 和时间 t 表示的是常量还是变量？（2）这两个变量之间有怎样的联系？（3）当 t =2018 时，y =_，它的实际意义是多少？师：下面我们一起来回顾一下，我们有哪些方式来表示变量之间的关系？师生共同总结得出：式、表、图是表示变量之间关系的常用方式让学生在辨别、求值、思考的过程中进一步巩固概念，体会两个变量的依存关系，渗透关系式、表格、图象这三种表示变量间关系的常用方式，为后续函数的学习做好铺垫（四）（四）联系生活联系生活畅所欲言畅所欲言数学源于生活, 请同学们例举生活中的常量与变量，规则如下：
18、（1）每四人一小组，先独立思考，举出一个具体的过程，再组内交流，然后小组派代表展示小组内颇具代表性的例子；（2）让其他组的同学来分辨例子中的常量和变量，并对他们给出的答案做出评价（温馨提示：请大家从多角度去思考，并给出尽可能多的例子）学生先独立思考，再组内交流，投影展示部分小组颇具代表性的例子，在小组代表展示和学生自主评价的过程中，充分体现学生的主体地位在小组展示过程中，呈现出多种表示变量间关系的表达形式，不仅巩固常量与变量的概念，而且在教师的适度追问下，学生再次体验在一个过程中常量与变量相对地存在6（五）（五）应用概念应用概念例例 一家快递公司的收费标准如图，用 t 表示邮件的质量，p 表示
19、每件快递费，n 表示快递邮件的件数思考 1：（1）从上题中，你能读出哪些信息？追问：当一个物品投寄质量超过 10 千克时，每超过 1 千克，快递费增加多少元？（2）填写下表追问：当 t=10 时，相应的投寄费是多少？为什么不是 7 元呢?思考 2：（1）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n 是常量，还是变量？（2）投寄 n 件邮件的快递费记为 w，若，t，p，n，w 中哪些是常量？哪些100 t是变量？变式：若，t，p，n，w 中哪些是常量？哪10 t些是变量？t (千克)36101112.513p (元)范例的情境较为复杂是本节教学的难点，学生先独立思考，自主尝试，再请一位学生上台讲解，由学生
20、自己读出题中的信息，有助于培养学生的读题能力和良好的审题习惯通过设计问题串有梯度地引导学生应用图表信息逐步深入，这样设计既帮助学生突破阅读图表的难点，又启发学生在复杂的实际生活情境中进一步认识常量与变量，再次体验在一个过程中常量与变量相对地存在，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透分类、数形结合、从特殊到一般的数学思想71. 反思小结：关于常量、变量，你明白了什么？获得了哪些体会？你还想知道什么?小结有助于学生构建知识网络，升华对常量与变量的本质认识，提升学生数学抽象的核心素养，为后续学习函数打下坚实的基础（六）（六）反思小结反思小结2. 以一个小故事的形式对本节课进行梳理小故事既对本节
21、所学知识进行梳理，也为下节函数的学习设置悬念，埋下伏笔小故事形象生动，让学生体会数学学习的快乐（七）（七）拓展提高拓展提高如图，在ABC 中，点 E 是高线 AD 上的一个动点，连结 BE、CE，点 E 在 AD 上移动的过程中， 哪些量是常量？哪些量是变量？引导学生认识数学图形中的常见的量（如线段、角度、周长、面积等），寻找隐藏的常量与变量，进一步认识在图形运动中的常量与变量，渗透动点问题的本质，积累几何经验，并在问题解决的过程中不断提升学生的观察、分析能力，加强探索精神（八）（八）课后作业课后作业1. 必做题：作业本（1）P30-312. 选做题：研究性学习探究绿豆幼苗在生长过程中茎叶长度
22、的比值特点具体如下：每人5 株绿豆幼苗，每三天记录一次数据，探索生长后茎叶长度的变化，可选择求出关系式，或列出图表等多种方式来阐述你的研究成果，最后请将你的研究成果发送至教师的 QQ 邮箱分层作业既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要必做题起到夯实基础的作用，选做题是研究性学习，用数学的眼光看世界，让学生带着任务走出课堂，真正学以致用，体会数学的价值CBEAD8教师寄语：时间是个常量，每年 365 天，谁都不会少对勤奋者来说，时间却是个变量，在有限的时间单位里实现更多愿望，正是生命意义之所在 选自人民日报课堂小结处的“人生感悟”充满鼓舞和激励，挖掘提升学生学习品质的教育因素，让学生充分感受数学的价值和魅力
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