1、一巩固新知：一巩固新知：已知圆内接四边形 ABCD 中，(1) A=50, 求C 的度数. (2) A:B:C=5:7:13, 求D 的度数及A,B,C,D 的度数之比.（3）A,B,C,D 的度数之比可能是 3:1:2:5 吗？2范例教学范例教学例 1 已知：如图，AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，与ABC 的外接圆交于点 D.求证：DB=DC. 例 2 如果要把横截面直径为 30的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长 15m，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？三课内反馈三课内反馈练习 1.在圆内接四边形 ABCD
2、中，已知A=50，DB=40.求B，C，D 的度数.练习 2 .已知：如图，以等腰三角形 ABC 的底边 BC 为直径的O 分别交两腰AB，AC 于点 D，E，连结 DE. 求证：DEBC.练习 3.在圆内接四边形 ABCD 中，弧 AB，弧 BC，弧 CD，弧 DA 的度数之比为 1:2:3:4 .求四边形 ABCD 各内角的度数. 练习 4.如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,C 是弧 BD 的中点,AB 与 DC 的延长线交于圆 O 外一点 E.求证:BC=EC.圆上一点圆上一点圆上两点圆上两点圆上三点圆上三点圆上四点？圆上四点？复习引入圆内接三角形圆内接三
3、角形三三角角形形的的外外接接圆圆3.6圆内接四边形长江中学长江中学 刘颖刘颖如果一个四边形如果一个四边形的各个顶点在同的各个顶点在同一个圆上，那么一个圆上，那么这个四边形叫做这个四边形叫做圆的内接四边形圆的内接四边形. .这个圆叫做这个圆叫做四边形的外接圆四边形的外接圆. . 概念新知概念新知定义定义四边形四边形ABCDABCD是是O O的内接四边形，的内接四边形，O O是四边形是四边形ABCDABCD的外接圆的外接圆. . 概念新知概念新知四边形四边形DABCDABC是是O O的的内内接接四四边边形形吗吗？圆内接四边形圆内接四边形边是弦，边是弦，角是圆周角角是圆周角圆内接四边形的边圆内接四边
4、形的边圆内接四边形的角圆内接四边形的角性质定理：圆内接四边形对角互性质定理：圆内接四边形对角互补补. .圆内接四边形的边圆内接四边形的边圆内接四边形的角圆内接四边形的角圆内接四边形圆内接四边形探索新知探索新知圆内接四边形的圆内接四边形的边边 边长边长 周长周长 面积面积 圆周角圆周角 圆心角圆心角 弧弧圆内接四边形的圆内接四边形的角角圆圆内内接接四四边边形形的的对对角角互互补补. .已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O.O.求证：求证：A+C=180A+C=180，B+D=180B+D=180. . 巩固新知巩固新知已知圆内接四边形已知圆内接四边形ABCD中，中，
5、A=50, 求求C的度数的度数. A:B:C=5:7:13, 求求D的度数的度数. 求求A,B,C,D的度数之比的度数之比.A,B,C,D的度数之比可能是的度数之比可能是3:1:2:5吗？吗？推论：圆内接四边形的外推论：圆内接四边形的外角等于其内对角角等于其内对角. . 证明证明 AD是是EAC的平分线，的平分线，DAC=DAE四边形四边形ABCD内接于内接于 O，BAD+DCB=180（圆内接四边形对角互补）（圆内接四边形对角互补）.又又BAD+DAE=180，DAE=DCB（同角的补角相等）（同角的补角相等）.DAC=DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），（在同圆中，同弧所对的圆周角相
6、等），DCB=DBCDB=DC范例教学例例1 1 已知：如图，已知：如图，ADAD是是ABCABC的外角的外角EACEAC的平分的平分线，与线，与ABCABC的外接圆交于点的外接圆交于点D.D. 求证：求证：DB=DCDB=DC 圆内接圆内接特殊特殊四边形四边形圆圆内内接接平平行行四四边边形形圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形. .任任意意画画一一个个矩矩形形，如如何何画画出出它它的的外外接接圆圆？ 解：当原木的直径为解：当原木的直径为3030时，时，AO=BO=15AO=BO=15，正方形，正方形ABCDABCD的面积为的面积为答：如图，沿正方形答：如图，沿正方形ABCDABCD的
7、四条边，就可以锯出符合要求的截面为的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材正方形的木材. .如果这根原木长如果这根原木长15m15m，那么锯出木材的体积为，那么锯出木材的体积为0.675m0.675m3 3. .范例教学例例2 2 如果要把横截面直径为如果要把横截面直径为3030的的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长样锯？如果这根原木长15m15m，问：锯，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？等损耗略去不计）？ 收获总结收
8、获总结本节课学习了关于圆内接四边形的哪些知识？本节课学习了关于圆内接四边形的哪些知识？圆内接圆内接四边形四边形定义定义性质：性质：对角互补对角互补边为弦边为弦角为圆周角角为圆周角四边形四边形圆内接特殊四边形圆内接特殊四边形课内反馈课内反馈练习练习 已知：如图，以等腰三角已知：如图，以等腰三角形形ABC的底边的底边BC为直径的为直径的 O分分别交两腰别交两腰AB，AC于点于点D，E，连，连结结DE. 求证：求证：DEBC. 拓展提高拓展提高如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，且，且ADAD是是O O的直的直径，径，C C是是BDBD的中点，的中点，ABAB与与DCDC的延
9、长线交于的延长线交于O O外外一点一点E.E.求证：求证：BC=ECBC=EC课后作业课后作业初中数学作业本初中数学作业本3.63.6谢谢大家！谢谢大家！浙教九上3.6 圆内接四边形教学设计一教学内容解析 本节课是浙教版九年级上册第三章圆的基本性质中的第六节，属于“图形与几何”领域。在经历了圆概念的形成、圆的性质、圆中量之间关系的学习后，对圆与多边形的关系进行的研究。在圆内接三角形及外接圆的基础上，本节课对圆内接四边形的定义及性质进行学习，同时也为后一节正多边形的学习做好铺垫。二教学目标设置教学目标：了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念； 理解圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角
10、互补； 会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算； 体会数学中的类比、转化的数学思想和思维方式。教学重点：圆内接四边形的性质定理。教学难点：性质定理探究的过程，以及例题教学时，牵涉定理较多。三学生学情分析 在之前学生已经学习了直线形图形的许多性质，会借助于观察、实验、证明等手段去认识图形的性质。但是因为本节课是利用初二的学生进行初三内容的教学，仅仅额外进行了部分基本内容的补充，所以对圆内的知识掌握的不是非常熟练，本节课的学习对于他们来说是一个不小的挑战。四教学策略分析 本节课利用插入了几何画板的多媒体课件，从圆、点、弦三个元素，分类复习了本节课涉及到的圆的相关知识；运用类比的方法，从
11、复习中的圆内接三角形知识，引出圆内接四边形的学习。从组成四边形的边、角两个方面，引导学生对圆内接四边形的性质进行探索。从一般到特殊，利用圆内接四边形性质，研究部分圆内接特殊四边形。五教学过程复习引入：通过圆、点、弦三个元素进行复习，引出圆内接四边形的定义。（）圆及圆上一点：复习点在圆上点到圆心的距离等于半径；（）圆及圆上两点：复习弧和弦；（）圆及圆上三点：复习圆周角及其与圆心角、与弧的关系；复习圆内接三角形及三角形的外接圆； （）圆及圆上四点：四点所得到的多边形会叫什么名字呢？引出课题圆内接四边形。【设计意图】 通过圆、点、弦三种元素，按照递增的方式分类，可以将本节课所涉及到的圆的相关知识进行
12、复习，同时也为下一节正多边形知识的学习做好铺垫。探究新知（）概念学习，性质探究定义：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 是四边形 ABCD 的外接圆。辨识：四边形 OABC 是O 的内接四边形吗？【设计意图】 这个辨识的环节，可以让学生抓住定义的核心条件各顶点在同一个圆上，只有准确的辨识出圆内接四边形，才能更好地使用圆内接四边形性质定理解决问题。同时也让学生意识到圆内接四边形是四边形中一部分比较特殊的四边形。深入：圆内接四边形 ABCD 的四条边、四个内角对于O 来说是什么图形？圆内接
13、四边形 ABCD 的四条边对O 来说是弦，四个内角是圆周角。【设计意图】 这个深入的环节，引导让学生将圆内接四边形内角与弧（或圆心角）建立起关系，对于圆内接四边形性质的探索至关重要。22圆周角圆心角弧2121（）探索性质圆内接四边形由边角组成，所以可以从边和角两个方面探究圆内接四边形的性质。利用特殊四边形学习的经验，对于四边形的边，我们可以研究哪些问题？可以研究圆内接四边形各边有怎样的关系？周长是否发生变化？面积呢？对于四边形的角，我们又可以研究哪些问题呢？可以研究圆内接四边形各内角度数相等吗？两个角的和？所有角的和？【设计意图】 引导学生从两个方面对圆内接四边形进行自主探究，并且明确可以研究
14、的问题有哪些，有目的的进行探索。学生通过用刻度尺度量边长，度量角度，亦或通过画特殊四边形，去探索圆内接四边形可能具备的性质。圆内接四边形边的探索度量四边形各边的长度，以及周长及面积，发现圆内接四边形的边长、周长、面积是变化的。得到圆内接四边形边的方面并未存在特殊性质。圆内接四边形角的探索利用几何画板软件，通过圆内接四边形顶点的移动，观察圆内接四边形的角的变化。圆内接四边形的一个内角伴随着顶点的移动，圆内接四边形的各个内角角度发生着变化。圆内接四边形的两个内角和利用特殊四边形角的研究经验，研究圆内接四边形中哪两个角的和呢？邻角的和变化吗？对角的和呢？得出圆内接四边形的邻角和在不断的发生变化。三个
15、顶点位置的不断接近，使得一对对角中一个角越来越接近 180，而其对角接近 0，因此猜测出圆内接四边形的对角互补。给出已知求证后通过将圆内接四边形内角（圆周角）转化为弧（或圆心角），进行证明，从而得到圆内接四边形的角的特殊结论圆内接四边形对角互补。圆内接四边形的内角和圆内接四边形的内角和为 360，是所有四边形所具备的性质，所以无需特别总结出来。 概括总结通过对边、角的研究，发现圆内接四边形的角具备特殊性质，即圆内接四边形性质定理圆内接四边形对角互补。【设计意图】 对于圆内接四边形角的探索，是基于特殊四边形角的研究经验。通过分类讨论全面研究两个角和，转化圆周角问题为弧的问题，证明了圆内接四边形性
16、质定理。（）巩固新知第 1 题：已知圆内接四边形有一个内角是 50，求它的对角的度数.第 2 题：已知圆内接四边形 ABCD 中，A：B：C=5:7:13，求D 的度数.第 3 题：求 2 题中A，B，C，D 度数之比.第 4 题：圆内接四边形 ABCD 的内角A，B，C，D 的度数之比可能为 3:1:2:5 吗？【设计意图】 利用圆内接四边形的性质，解决关于角度的计算问题。发现并解释圆内接四边形对角比份之和相等的，应用此结论对第 4 个问题进行判断，再次使学生感受圆内接四边形是一类特殊的四边形。.范例教学例 1 已知：如图，AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，与ABC 的外接圆交于点 D
17、. 求证：DB=DC.（）思考： 如何证明两条线段相等？ 如何证明DBC=DCB？ DBC 等于哪个角？ DCB 与哪个角有关系？为什么四边形 ABCD 是圆内接四边形？ DCB 与哪个角相等？ DAE 与DAC 为什么相等？（）将学生的思路转化成板演书写。（）关注：利用圆内接四边形互补及邻补角的关系，得到DAE=DCB 的论证环节。 DAE 是圆内接四边形的什么角？ DCB 与DAE 的位置关系如何？ 得到的结论，用文字语言如何表述？（）得到圆内接四边形性质定理的推论：圆内接四边形的外角等于其内对角。【设计意图】 巩固圆内接四边形性质定理，利用角的关系得到推论。引导学生发现性质定理的用途，即
18、解决角的问题，借助角的关系，进一步可以研究线的关系。将对性质定理的应用，又深化了一个层次。.圆内接特殊四边形边的探索特殊四边形之平行四边形圆内接平行四边形的探究利用平行四边形、圆内接四边形的对角性质，分析圆内接平行四边形的形状是矩形。圆有内接矩形。那么任意画一个矩形，如何画出它的外接圆呢？如何确定圆心和半径呢？根据圆内接四边形定义中各顶点在圆上，结合矩形对角线交点到各顶点距离相等的性质，分析出作法。以矩形对角线交点为圆心，以对角线的一半为半径作圆即可。【设计意图】 在圆内，从边、角到特殊四边形的探究顺序，符合探究的层次的不断深入，同时也再次巩固了圆内接四边形的性质。从一般到特殊的研究方式，也让
19、学生了解到四边形、圆内接四边形、圆内接特殊四边形三者的关系。圆内接四边形特殊四边形圆内接特殊四边形.范例教学例 2如果要把横截面直径为 30的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长 15，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？根据题意画出示意图；分析截面为最大正方形的图形；分析锯法；计算截面圆内接正方形面积；分析体积的计算.【设计意图】 深化圆内接特殊四边形的研究。经历上面的探究过程，降低了例 2 的思考难度.因为正方形是特殊的矩形，所以例题也巩固了画矩形外接圆的问题，同时也再次复习了特殊四边形面积的计算问题。.课内反馈练习已知：
20、如图，以等腰三角形 ABC 的底边 BC 为直径的O 分别交两腰 AB，AC 于点 D，E，连结 DE. 求证：DEBC.拓展 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,C 是弧 BD 的中点,AB 与 DC的延长线交于圆 O 外一点 E.求证:BC=EC.【设计意图】 从易到难，反馈圆内接四边形对角互补的性质，及其推论。 练习涉及等腰三角形性质，发现并运用圆内接四边形性质，以及平行线的判定等知识，用角的关系研究线的问题，考察学生转化、解决问题的能力；拓展题涉及圆、等腰三角形判定等较多知识，有多种方法解决，可以提升学生解决问题的综合能力，鼓励进行课后思考。.收获小结本节课学习了关于圆内接四边形的哪些知识？定义，性质，探索了圆内接特殊四边形。课后作业初中数学作业本 3.6板书设计四边形圆内接四边形圆内接特殊四边形定义性质：圆内接四边形对角互补边为弦角为圆周角3.6 圆内接四边形1.定义2.性质定理文字表述 几何语言 推论 文字表述 几何语言例 1 范例教学例 2 范例教学学生练习板演圆内接特殊四边形四边形
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