浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质-3.6 圆内接四边形-ppt课件-(含教案+素材)-部级公开课-(编号：e0cc8).zip

1、等线构圆 优化解题教学设计一、课题设想：圆的旋转不变性以及由此推出的圆心角、弦、弦心距、弧之间的转化，使得圆在解题中显示出很高的巧妙性和灵活性。由此思考，在什么样的条件下，我们可以通过辅助圆帮助解题。本课题围绕这一问题展开探究，最终归纳出构造辅助圆的本质特征（或一般规律）应该是有“共端点的等长线段”这一前提条件。但是这些等长线段往往又会因为位置关系产生很多特殊的图形，所以选取了几类常见特例，通过对比常规做法与添加辅助圆，帮助学生理解和感受圆在解题过程中的方便之处！二、教学目标：1、 知识技能：探索等腰三角形、直角三角形、矩形、正多边形等具体问题中蕴含的共性规律，能用“共端点的等长线段” 构造辅

2、助圆，并能利用圆的基本性质解决问题.2、 数学思考：体会通过合情推理探索并运用构造辅助圆的方法，在合作学习，交流分享等数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.3、 问题解决：（1）经历从不同角度寻求解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性，并能根据“等线构圆”掌握分析和解决问题的基本方法.（2）在合作交流中，能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.4、 情感态度：在分享解题方法的过程中，鼓励学生积极参与、让学生感受成功并勇于发表自己的想法，把独立思考与合作学习有机结合起来.三、教学重难点重点：构造辅助圆并利用圆的基本性质解决问题.难点：在不同

3、图形中寻找出关键条件“共端点的等长线段”构造辅助圆.四、教学过程（一）同场竞技、解法分享第 1 题是为了初步了解学生的基本解题方法，学生会用正多边形的基本性质（内角相等、边相等）去解决问题，也可能有学生会用圆，对比计算量，可以发现利用圆的基本性质，大大优化了计算量。第 2 题第（1）问通常学生还会用等腰三角形的性质来解题，只是解题过程中，计算的角度比较多，运算量很大。第（2）小问难度增加（角度用参数表示） ，学生要通过三个等腰三角形角之间的巧妙联系，表示出目标角难度加大。而这道题若引入“圆” ，则角之间的关系明确，解题思路简洁，让学生体验到构造辅助圆为解题带来的便利之处。接下来的变式练习，题干

4、简单，但思维含量更高，不仅要分析点的位置情况对结论的影响，还要寻求更优的解题方法。通过 AB=AC=AD，我们发现点 B,D,C 在以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆上，因此，我们把该图形放入圆中，通过圆心角、圆周角、弧三者之间的关系可以清楚的看到角度之间的联系和变化，使得问题很快可以得到解决。分类讨论两种情况：BAEDC21ABCDABCDABCD三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三AABCDBCDE设计意图：初步了解学生的基本解题方法，问题设置由易到难更能让学生感受到不同方法之间的优缺点，凸显构造辅助圆给解题带来的便捷之处

5、.（二）小试牛刀、崭露头角如图，已知 AB 是半径为 1 的O 的一条弦，且 AB=a1，以 AB 为一边在O 内作等边三角形 ABC，D 为O 上不同于点 A 的一点，且 DB=AB=a，连结 AD，DC 的延长线交O 于点 E，求 AE 的长. 设计意图设计意图：这不仅给学生提供了一次新旧方法 PK 的机会，同时也是给新法亮相的机会。通过抓住主要条件构造辅助圆，使得问题的难点瞬间瓦解！（三）合作探究、举一反三如图，四边形 ABCD 是矩形，ACE 是以 AC 为斜边的直角三角形，连结 BE，ED，求证：BEED. 设计意图设计意图：由等腰三角形转变到直角三角形，表面是图形发生变化，但是本质

6、没有改变，即发生改变的是等长线段的位置，只要能抓住这个主要特征，解决问题也就变得简单了。（四）动手实践、追根溯源如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.（1）求证：点 E、G 分别是 AB、CD 的中点.（2）求证：四边形 EFGH 是矩形.（3）若 ABAD,你能确定点 H 的位置吗？说说你的方法.设计意图设计意图：动手实践发现矛盾，理性分析解决矛盾，数学的趣味性不仅仅是发现规律的存在性，更是寻找规律的整个探究过程、证明过程.这也是认识事物规律的普遍方法，创造了让学生学会学习的机会。（五）类比归纳、小结升华设计意图设计意图：通过类比归纳，让学G

7、EACBDHFJKn=5三n=4三n=3三n=2三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 n三 三 三 三 三 三AAAABCBCDBCDEBCDEFn=6三ABCDEFG从一般到特殊三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三 三AAABCDBCDEBCDEF三 三 三 三 三 三 三ABCDE三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三 三AAABCDBCDEBCDEF三 三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 三

8、三 三 三AAABCDBCDEBCDEF生在掌握解题的一般方法的同时，掌握类比的数学思想，把知识从一个点拓展成一个面或者一个系列，为学生后续的学习做好铺垫. 六、融会贯通、挑战自我如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，AB=5，在线段 AC 上有一动点 P（点 P 不与点C 重合） ，以 PC 为直径作O 交 PB 于点 Q，连结 AQ，则 AQ 的最小值为_设计意图设计意图：给学有余力的学生提供平台，使学生充分认识到问题的本质，加深对本质的理解和运用，通过问题设置的难度来增强解决问题的能力.五、课后反思1、学生分享解题方法能充分展示学生的思维过程，促进学生的独立思考和内化，也为生生之

9、间的相互学习提供了机会。另一方面，学生展示往往需要有足够的时间，教师通过课前让学生去准备，既给了学生充分的思考时间，也节约了课堂时间，保证了展示环节的开展.2、 “等线构圆”的难点是寻找“等线” ，从常见的等腰三角形入手拓展到直角三角形、矩形、正多边形等，由简到难、逐步深入，但万变不离其宗，引导学生找出共性，抓住本质，就能解决一系列问题，提高学生解决问题的能力.3、课堂思考、动手实践、交流分享还是会涉及到时间是否充裕的问题，所以课堂呈现的题目比较精简，动手操作除了提升数学课的趣味性，更多的是引发学生对现象背后原理、方法的思考。对于学有余力的学生而言“挑战自我”是一个很好的补充，需要教师课后持续

10、关注.六、听课有感1.选材选题：本课的选题数量少，但却十分典型，从中考题揭示方法，逐步将多边形从等腰三角形变化到直角三角形、矩形，由易到难，由点到面，由几道题到一类题，学生逐渐掌握方法，学会如何解题。2.教学设计：一道中考题可以给我们怎样的思考？本课从中考题入手，切口很小；但涉及到的数学方法和数学思考却很广。一题一小结的方式让学生经历了一级级爬楼梯的过程，到最后，由老师通过图形展示出一系列相关问题时，完成了由几道题到一类题的飞跃。3.数学思维：在这节课上，陈老师不仅教会了同学们怎样用圆解题，还让学生领会到我在什么情况下可以想到用圆解题，可以说既“授之以鱼” ，又“授之以渔” 。等长线段、直角三

11、角形、矩形、正多边形，从特殊到一般，这些图形在本节课中都与圆建立起了紧密的联系。将多边形问题转化为圆的专题式教学，让学生更具针对性地体会到了转化的数学思想。QPCBAQPCBA1 1. . 如如图图1 1，在在正正五五边边形形A AB BC CD DE E中中，A AD D、B BD D为为对对角角线线. .求求A AD DB B的的度数度数. .2.2. 如图如图2 2，在，在ABC中，中，AB= =AC，点，点D为为BAC内一点，且内一点，且AB= =AD，若若DAC= =2525，BAD= =7575，则，则BDC=_,=_,1 1=_=_，2 2=_.=_.图图1 1图图2 2若若AB

12、C= = ，你能用含有，你能用含有 的代数式表示的代数式表示BDC吗？吗？在在ABC中，中，AB= =AC，点，点D为为平面内一点，平面内一点，且且AB= =AD，共端点的共端点的n条等长线段条等长线段构造圆构造圆如图，已知如图，已知AB是半径为是半径为1 1的的O的一条弦，且的一条弦，且AB= =a1 1，以，以AB为一边在为一边在O内作等边三角形内作等边三角形ABC，D为为O上不同于点上不同于点A的一点，且的一点，且DB= =AB= =a，连结连结AD，DC的延长线交的延长线交O于点于点E，求，求AE的长的长. .共端点的三条等长线段与圆！共端点的三条等长线段与圆！如图，四边形如图，四边形

13、ABCD是矩形，是矩形，ACE是以是以AC为斜边的直角三角形，连结为斜边的直角三角形，连结BE，ED，求证：，求证：BEED. .共端点的三条等长线段特例共端点的三条等长线段特例-直角三角形与圆！直角三角形与圆！如如图，将矩形图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形形EFGH. .（1 1）求证：点）求证：点E、G分别是分别是AB、CD的中点的中点. .（2 2）求证：四边形）求证：四边形EFGH是矩形是矩形. .（3 3）若）若AB AD, ,你能确定点你能确定点H的位置吗？说说你的方法的位置吗？说说你的方法.

14、. 共端点的四条等长线段特例共端点的四条等长线段特例-矩形与圆矩形与圆！共端点的共端点的n条等长线段特例条等长线段特例-正多边形与圆！正多边形与圆！小结：共端点小结：共端点的的n条条等长线段等长线段从从一一般般到到特特殊殊类比思想类比思想如如图图，在在RtABC中中，C=90，AC=4，AB=5，在在线线段段AC上上有有一一动动点点P（点点P不不与与点点C重重合合），以以PC为为直直径径作作 O交交PB于于点点Q，连连结结AQ，则，则AQ的最小值为的最小值为_.课前思考单下列问题你能用不同的方法解决吗？试一试，并把你的方法记下来.1、如图 1，在正五边形 ABCDE 中，AD、BD 为对角线，

15、求ADB 的度数.2、如图 2，在ABC 中，AB=AC，点 D 为BAC 内一点，且 AB=AD.(1)若DAC=25，BAD=75，则BDC=_,1=_，2=_.(2)若ABC=你能用含有 的代数式表示BDC 吗？，21ABCD图 1图 2BAEDCBAEDC备用图21ABCD备用图3、如图 3，四边形 ABCD 是矩形，ACE 是以 AC 为斜边的直角三角形，连结 BE，ED，求证：BEED. 4、如图 4，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.（1）求证：点 E、G 分别是 AB、CD 的中点.（2）求证：四边形 EFGH 是矩形.（3）若 ABAD,你能确定点 H 的位置吗？写下你的想法. GEACBDHFJK图 4图 3备用图DABCEDABCEABCD备用图