第十二章 三角形-总结与复习-ppt课件-(含教案+素材)-部级公开课-北京版八年级上册数学(编号：501bd).zip

1、1勾股定理的应用勾股定理的应用立体图形中的最短路径问题立体图形中的最短路径问题班级班级_ 姓名姓名_一一 、以题点知、以题点知 在长为 4 米，宽为 3 米的长方形地面上，蚂蚁想从 A 点爬到 C 点吃食，则蚂蚁爬行的最短路程为 米. 二、合作交流，探究学习二、合作交流，探究学习问题引入：有一个圆柱，它的高为 8 厘米，底面半径为 2 厘米。一只蚂蚁从 A 点出发，沿着圆柱体的表面圆柱体的表面爬行。（1）A 点到 C 点，最短距离为多少？（2）A 点到 B 点，试求出爬行的最短路径。（ 的值取 3 ）草图：解：变式练习 1：刚才问题的条件都不变,把问题改成:点 B 在上底面上且在点 A 的正上

2、方,蚂蚁从点 A 出发绕圆柱侧面一周圆柱侧面一周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?草图：解：变式 2：刚才问题的条件都不变,把问题改成:点 B 在上底面上且在点 A 的正上方,蚂蚁从点 A出发绕圆柱侧面两周圆柱侧面两周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?草图：解：B BA ADABC2三、小试牛刀三、小试牛刀 1、如果圆柱换成如图的棱长为 10cm 的正方体盒子，蚂蚁从点 A 出发沿着表面爬行到点 B 的最短路程是多少呢？草图：解：2、如果盒子换成如图长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体，蚂蚁从点 A 出发沿着表面爬行到点 B 的最短路程又是多少呢？草图：解

3、：四、归纳梳理四、归纳梳理 我们刚才在解决问题的过程中，有没有什么相同的地方，可以归纳一下吗？ 1、 展 （立体图形平面图形）2、 找 （起点、终点） 3、 连 （两点之间线段最短） 4、 算 （利用勾股定理） 5、 答 3五、意犹未尽，乘胜追击五、意犹未尽，乘胜追击 1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路径长是多少？草图：解：2、如图，蚂蚁从地面上 A 点爬到墙上 B 点的最短路程是_cm,其中

4、CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。 草图：解：3、如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点 B 离点 C 为 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离的平方是多少？草图：解：AB CD44. 如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm草图：解：5. 如图将一根 25 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 厘米、6 厘米和 10 厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米草图：解：勾

5、股定理的应用勾股定理的应用 立体图形中立体图形中最短最短路径问题路径问题在长为在长为 4 4米，宽为米，宽为 3 3米的长方形地面米的长方形地面上，蚂蚁想从上，蚂蚁想从 A A点爬到点爬到 C C点吃食，则点吃食，则蚂蚁爬行的最短路程为蚂蚁爬行的最短路程为 米米. . D DA AB BC CD DA AB BC C 1 1、有一个圆柱、有一个圆柱, ,它的高为它的高为8 8厘米厘米, , 底面半底面半径为径为2厘米。厘米。 一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点出发，沿着点出发，沿着圆圆柱的表面柱的表面爬行爬行. .（1 1）A A点到点到C C点，最短距离为多少？点，最短距离为多少？（2 2）A A

6、点到点到B B点，试求出爬行的最短路径。点，试求出爬行的最短路径。(取3) AB我怎么我怎么走最近走最近呢呢?C 一个圆柱体的侧面展开图是一个圆柱体的侧面展开图是 , ,它的一边长它的一边长 是是 , ,它的另一边长它的另一边长是是 .长方形长方形圆柱的高圆柱的高底面圆的周长底面圆的周长BA 高高8cmBA长长12cm (的值取的值取3)6cm AB=10(cm)答答:蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是10厘米厘米.解解:将圆柱如图侧面展开将圆柱如图侧面展开.在在RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理CD 刚刚才才问问题题的的条条件件都都不不变变, ,把把问问题题改改成成: :点点B

7、B在在上上底底面面上上且且在在点点A A的的正正上上方方, ,蚂蚂蚁蚁从从点点A A出出发发绕绕圆圆柱柱侧侧面面一一周周到到达达点点B B, ,此此时它需要爬行的最短路程又是多少时它需要爬行的最短路程又是多少? ?变式1：ABAB 高高 8cm2cm 刚刚才才问问题题的的条条件件都都不不变变, ,把把问问题题改改成成: :点点B B在在上上底底面面上上且且在在点点A A的的正正上上方方, ,蚂蚂蚁蚁从从点点A A出出发发绕绕圆圆柱柱侧侧面面两两周周到到达达点点B B, ,此此时它需要爬行的最短路程又是多少时它需要爬行的最短路程又是多少? ?变式2：AB 高高 8cm2cm思路小结：思路小结：

8、圆柱体圆柱体（立体图形）（立体图形） 长方形长方形( (平面图形平面图形) ) 直角直角三角形三角形展开展开构建构建转化转化应用勾股定理应用勾股定理想一想想一想 如果我们将题中的如果我们将题中的圆柱体圆柱体换换成成正方体正方体或者或者长方体长方体，情况又该，情况又该怎么样呢？怎么样呢？拓展拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方的正方体盒子，蚂蚁从点体盒子，蚂蚁从点A出发沿着表面爬行到出发沿着表面爬行到点点B的最短路程又是多少呢？的最短路程又是多少呢？AB看看如何爬最短？看看如何爬最短？路线如何计算路线如何计算AB101010BCA总结：总结： 展开展开任意两个面

9、任意两个面（ 因为每个面都一样）因为每个面都一样）拓展拓展2 如果盒子换成如图长为如果盒子换成如图长为3cm，宽为，宽为2cm，高为，高为1cm的长方体，蚂蚁从的长方体，蚂蚁从A点出发沿着表面爬行到点点出发沿着表面爬行到点B的最短路的最短路程又是多少呢？程又是多少呢？AB分析：蚂蚁由分析：蚂蚁由A爬到爬到B过程中较短的路线有过程中较短的路线有多少种情况？多少种情况？(1)经过前面和上底面经过前面和上底面;(2)经过前面和右面经过前面和右面;(3)经过左面和上底面经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最

10、短路程为短路程为解解:AB23AB1CAB(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为为AB321BCAAB(3)当蚂蚁经过当蚂蚁经过左面和上底面左面和上底面时，如图，最短路时，如图，最短路程为程为ABAB321BCA解题思路 1、 展展 - 2 2、 找找 - 3 3、 连连 - 4 4、 算算 - 5 5、 答答（立体（立体 平面）平面）起点，起点， 终点终点路线路线利用勾股定理利用勾股定理（5步走）立体图形中的最短路径问题立体图形中的最短路径问题 平面图形平面图形1、展开、展开2、找到最短路径、找到最短路径3、利用勾股定理解决问题、利用勾股定理解决

11、问题转化思想转化思想 建模思想建模思想 分类讨论思想分类讨论思想知识知识: 方法方法:思想思想: 1 1、有一个圆柱、有一个圆柱, ,它的高为它的高为2 2厘米厘米, , 底面底面半径为半径为2厘米。厘米。 一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点出发，沿着点出发，沿着圆柱的表面圆柱的表面爬行爬行. .（1 1）A A点到点到C C点，最短距离为多少？点，最短距离为多少？（2 2）A A点到点到B B点，试求出爬行的最短路径。点，试求出爬行的最短路径。(取3) AB我怎么我怎么走最近走最近呢呢?C 1. 一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于等于5cm，3cm

12、和和1cm，A和和B是这个台阶的两个相对的是这个台阶的两个相对的端点，端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物点去吃可口的食物.请请你想一想，这只蚂蚁从你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到点出发，沿着台阶面爬到B点点，最短线路是多少？，最短线路是多少？BAABC531512分析：分析： AB2=AC2+BC2=52+122=169 AB=13.2、如图，蚂蚁从地面上、如图，蚂蚁从地面上A点爬到墙上点爬到墙上B点的最短路程是点的最短路程是_cm,其中其中CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。 3.如如图图，长长方方体体的的长长为为15 cm，宽宽为为

13、10 cm，高高为为20 cm，点点B离离点点C 5 cm,一一只只蚂蚂蚁蚁如如果果要要沿沿着着长长方方体体的的表表面面从从点点A爬爬到到点点B，需需要要爬爬行行的的最最短短距距离离的的平平方方是是多多少少？1020BAC1554.4. 如图，长方体的底面边长分别为如图，长方体的底面边长分别为2cm2cm和和4cm4cm，高为，高为 5cm5cm若一只蚂蚁若一只蚂蚁从从P P点开始经过点开始经过 4 4个侧面爬行一圈到个侧面爬行一圈到达达Q Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 c cmm5. 如如图图将将一一根根25厘厘米米长长的的细细木木棒棒放放入入长长、宽宽、高高分

14、分别别为为8厘厘米米、6厘厘米米和和1 10 0厘厘米米的的长长方方体体无无盖盖盒盒子子中中，则则细细木木棒棒露露在在盒盒外外面面的的最最短短长长度度是是多多少厘米少厘米细木棒露在盒外面的最短长度是细木棒露在盒外面的最短长度是 . 5. 如如图图将将一一根根25厘厘米米长长的的细细木木棒棒放放入入长长、宽宽、高高分分别别为为8厘厘米米、6厘厘米米和和1 10 0厘厘米米的的长长方方体体无无盖盖盒盒子子中中，则则细细木木棒棒露露在在盒盒外外面面的的最最短短长长度度是是多多少厘米少厘米8610？ABCDADC86解：如图，由题意可知解：如图，由题意可知 ADC 和和 ABC都是直角三角形都是直角三

15、角形。根据股定理，根据股定理，1勾股定理的应用勾股定理的应用立体图形中最短路径问题立体图形中最短路径问题教学设教学设计计教学目标：教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究立体图形中的最短路径问题；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历运用勾股定理解决实际问题的过程，掌握立体图形转化为平面图形求最短路径的方法，学会分类讨论的思想，并在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识.教学重点：教学重点：1.能熟练运用勾股定理解决实际问题

16、，掌握最短路径问题；2.探索立体图形如何转化为平面图形.教学难点：教学难点：熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题课前准备：课前准备：圆柱、正方体、长方体等教具教学方法：教学方法：互动式教学、合作探究学习教学过程：教学过程：一 、以题点知 在长为 4 米，宽为 3 米的长方形绿地上，蚂蚁想从 A 点爬到 C 点吃食，则蚂蚁爬行的最短路程为 米. 设计意图：本题不仅是考察勾股定理，而且复习了“两点之间，线段最短”.二、合作交流，探究学习问题引入：有一个圆柱，它的高为 8 厘米，底面半径为 2 厘米。一只蚂蚁从 A点出发，沿着圆柱体的表面圆柱体的表面爬行。（1）A 点到 C 点，最短距离为多少？（

17、2）A 点到 B 点，试求出爬行的最短路径。 （ 的值取 3 ）学生活动（一）： （1） 蚂蚁可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？ 2（2） 自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那 条路最短呢？ （3） 从你寻找的路线中，如何找到最短路径，怎么判断是否最短？ 设计意图：蚂蚁爬行问题，融知识性和趣味性于一体，问题引入设置两个问题，第一问，从 A 到 C 点在同一平面内，所以线段 AC 最短.第二问，是否可以还通过“两点之间，线段最短”的知识解决呢？如果不行，又该怎么办？充分发挥同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神. 变式 1：刚才问题的条件

18、都不变,把问题改成:点 B 在上底面上且在点 A 的正上方,蚂蚁从点 A 出发绕圆柱侧面一周圆柱侧面一周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?设计意图：学生通过问题引入学会展开立体图形求最短路径，通过设立此题让学生学会展开图中找到起点和终点.问题引入学会在圆柱中求最短路径的方法，变式 1 让学生学会应对蚂蚁到达终点不同的情形.变式 2：刚才问题的条件都不变,把问题改成:点 B 在上底面上且在点 A 的正上方,蚂蚁从点 A 出发绕圆柱侧面两周圆柱侧面两周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?设计意图：蚂蚁绕着圆柱体爬行一周的问题，已由前面两个问题解决，通过变式 2，让学生体会到蚂

19、蚁爬行两圈、三圈又该如何转化为平面图形中的最短问题？充分体现数学当中从特殊到一般的思想.设计意图：把立体图形求最短路径问题的思路小结呈现给学生，掌握一个问题的模式去解决其他同类型的问题.并严谨地呈现为什么需要把立体图形转化为平面图形.三、小试牛刀 1、如果圆柱换成如图的棱长为 10cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从 A 点爬行到 B 点的最短路程又是多少呢？B BA A3同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，把点 A 与点 B 所在的两个面放在同一个平面内，显然，从 A 到 B 的最短路线一定是从 A 出发，经过正方体两个面到达 B. 根据“两点之间，线段最短” ，以便发现最短路线，

20、因展法不同，路线有多种，但因为这是一个正方体，任意两个面是一样的，所以构造直角三角形，得到爬行的最短路径都为 .10 52、如果盒子换成如图长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面从 A 点爬行到 B 点的最短路程又是多少呢？设计意图：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题.通过以上练习，让学生掌握数学分类思想.为何问题 2 需要分类？因为跟正方体的性质不一样，长方体有可能三个面都不相等.那么让学生共同努力，学好数学，从而更全面的去考虑、看待生活中的问题. 四、归纳梳理 我们刚才在解决问题的过程中，有没

21、有什么相同的地方，可以归纳一下吗？ 1、 展 （立体图形平面图形）2、 找 （起点、终点） 3、 连 （两点之间线段最短） 4、 算 （利用勾股定理） 5、 答 设计意图：归纳出问题解决的一般模式，让学生有章可循，并明白每一步骤的依据是什么？为什么要这么做？五、意犹未尽，乘胜追击 1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路径长是多少？2、如图，蚂蚁从地面上 A 点爬到墙上 B 点的最短路程是_cm,其

22、中CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。 3、如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点 B 离点 C 为 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离的平方是多少？4. 如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点4开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm5. 如图将一根 25 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 厘米、6 厘米和 10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 设计意图：利用勾股定理进一步计算出最短路程的值，把本节课的知识点学以致用，数学题是千变万化的，但如果理解其中的由来，理清思路，立体图形的最短路径问题便可迎刃而解.体会数学学习的系统性、整体性和联系. 六、课堂小结 与作业1.今天在解决数学问题时，我们用到了哪几个定理？分别是怎么应用的？2.通过今天的学习，你有什么收获？ 还有那些疑惑？AB CD