郑州市2022届高三第一次质量检测理科数学试卷(及答案).pdf

1、郑州市 2022 年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一. 选择题本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 = N N 1 0) 上总存在点 , 使得过点 能作椭圆23+ 2= 1 的两条相互垂直的

2、切线, 则 的取值范围是()A. (3,7)B. 3,7C. (1,9)D. 1,911. 已知一圆柱的轴截面为正方形, 母线长为 6 , 在该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体, 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动, 则 的最大值为()A.12B. 1C. 3D. 212. 已知 0 , 函数 () = 2ln() , 若函数 () = () 恰有两个零点, 则实数 的取值范围是()A. (1e,+)B. 1e,+)C. (e,+)D. e,+)二. 填空题本大题共 4 小题, 每题 5 分, 共 20 分.13. 已知 = (1,2) , = (,3) , (2 ) , 则 =14. 已知

3、( 12)( N N) 展开式中所有二项式系数之和是 64 , 则其展开式中 2的系数为15. 双曲线 2222= 1 ( 0, 0) 与抛物线 2= 8 有共同的焦点 2, 双曲线左焦点为 1, 点 是双曲线右支上一点, 过 1向 12的角平分线做垂线, 垂足为 ,|= 1 , 则双曲线的离心率是.16. 已知正方体 1111的棱长为 2 , 是空间中任意一点.1若点 是正方体表面上的点, 则满足 | =12的动点轨迹长是34;2若点 是线段 1上的点, 则异面直线 和 1 所成角的取值范围是 3,2 ;3若点 是侧面 11上的点, 到直线 的距离与到点 1的距离之和为 2 , 则 的轨迹是

4、椭圆;4过点 的平面 与正方体每条棱所成的角都相等, 则平面 截正方体所得截面的最大面积是 33 .以上说法正确的有.第 2 页共 4 页三. 解答题共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 第 17 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第22 、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一) 必考题:60 分.17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 的公差为 ( 0) , 前 项和为 , 现给出下列三个条件:11、2、4成等比数列;24= 16 ;38= 4(8+ 1).请你从这三个条件中任选两个, 解答下列问题:( I ) 求 的通项公式;(II) 若 1= 4

5、( 2) , 且 1= 3 , 求数列 1 的前 项和 .18.(本小题满分 12 分)为深入贯彻党的十九大教育方针. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见. 郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市 2000 名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间, 得到如下频数分布表:表一:“双减”政策后时间 (分钟)20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,90人数1060210520730345125表二: “双减”政策前时间 (分钟)20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,9

6、0人数4024556061040313012( I ) 用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化 (同一时间段的数据用该组区间中点值做代表);(II) 为给参加运动的学生提供方便, 学校在球场边安装直饮水设备. 该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作, 且两个滤芯互不影响, 一级滤芯有两个品牌 、: 品牌售价 5 百元, 使用寿命 7 个月或 8 个月 (概率均为 0.5 ); 品牌售价 2 百元, 寿命 3 个月或 4 个月 (概率均为 0.5).现有两种购置方案:方案甲: 购置 2 个品牌 ;方案乙: 购置 1 个品牌 和 2 个品牌 .试从性价比 (设备正常运行时间与购

7、置一级滤芯的成本之比) 角度考虑, 选择哪一种方案更实惠?第 3 页共 4 页19.(本小题满分 12 分)在矩形 中, = 2 , = 2 , 是 中点,连接 , 将 沿 折起, 使得点 移动至点 , 满足平面 平面 .( I ) 求证: ;(II) 求二面角 的余弦值.20.(本小题满分 12 分)设函数 () = ln( ) + e.( I ) 求函数 () 的单调区间;(II) 当 = e 时, 证明: (e ) 0) 的左焦点为 1, 离心率为12, 过 1的直线与椭圆交于 , 两点, 当 轴时, | = 3 .( I ) 求椭圆 的方程;(II) 设经过点 (0,1) 的直线 与椭

8、圆 相交于 , 两点, 点 关于 轴的对称点为 , 直线 与 轴交于点 , 求 面积的取值范围.(二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22 、23 题中任选一题作答. 在答题卷上将所选题号涂黑, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.选修: 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中, 直线 的参数方程为 = cos, = 1 + sin,( 为参数). 以坐标原点为极点, 轴正半粙为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 =2tancos.( I ) 若 =6, 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(II) 设点 的直角坐标系下的坐标为 (0,1) , 直线 与曲线 交于

9、 , 两点, 且 | = 4 , 求直线 的倾斜角.23.选修: 不等式选讲 (10 分)已知 , 均为正数, 且满足 2 + 3 + 4 = 9.( I ) 证明: ( + 1)( + 1)( + 1) 9 ;(II) 证明: 42+ 92+ 162 27.第 4 页共 4 页郑州市 2022 年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无

10、效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一. 选择题本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 = N N 1 0) 上总存在点 , 使得过点 能作椭圆23+ 2= 1 的两条相互垂直的切线, 则 的取值范围是( )A. (3,7)B. 3,7C. (1,9)D. 1,911. 已知一圆柱的轴截面为正方形, 母线长为 6 , 在该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体, 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动, 则 的最大值为( )A.12B. 1C. 3D. 212. 已知 0 , 函数 () = 2ln()

11、 , 若函数 () = () 恰有两个零点, 则实数 的取值范围是( )A. (1e,+)B. 1e,+)C. (e,+)D. e,+)二. 填空题本大题共 4 小题, 每题 5 分, 共 20 分.13. 已知 = (1,2) , = (,3) , (2 ) , 则 =414. 已知 ( 12)( N N) 展开式中所有二项式系数之和是 64 , 则其展开式中 2的系数为315. 双曲线 2222= 1 ( 0, 0) 与抛物线 2= 8 有共同的焦点 2, 双曲线左焦点为 1, 点 是双曲线右支上一点, 过 1向 12的角平分线做垂线, 垂足为 ,|= 1 , 则双曲线的离心率是2.16.

12、 已知正方体 1111的棱长为 2 , 是空间中任意一点.1若点 是正方体表面上的点, 则满足 | =12的动点轨迹长是34;2若点 是线段 1上的点, 则异面直线 和 1 所成角的取值范围是 3,2 ;3若点 是侧面 11上的点, 到直线 的距离与到点 1的距离之和为 2 , 则 的轨迹是椭圆;4过点 的平面 与正方体每条棱所成的角都相等, 则平面 截正方体所得截面的最大面积是 33 .以上说法正确的有14.第 2 页共 8 页三. 解答题共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 第 17 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第22 、23 题为选考题, 考生根据要

13、求作答.(一) 必考题:60 分.17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 的公差为 ( 0) , 前 项和为 , 现给出下列三个条件:11、2、4成等比数列;24= 16 ;38= 4(8+ 1).请你从这三个条件中任选两个, 解答下列问题:( I ) 求 的通项公式;(II) 若 1= 4( 2) , 且 1= 3 , 求数列 1 的前 项和 .解答1: 因为 1、2、4成等比数列, 则 22= 14, 即 (21+ )2= 1(41+ 6),因为 0, 可得 = 21.24= 41+ 6 = 16 即 21+ 3 = 8.38= 4(8+ 1), 可得 81+ 28 = 4(1+ 7

14、+ 1), 可得 1= 1.若选12, 则有 = 2121+ 3 = 8, 可得1= 1 = 2, 则 = 1+ ( 1) = 2 1;若选13, 则 = 21= 2, 则 = 1+ ( 1) = 2 1;若选23, 则 21+ 3 = 2 + 3 = 8, 可得 = 2, 所以, = 1+ ( 1) = 2 1(I) 1= 4= 8 4( 2), 且 1= 3,所以, 当 2 时, 则有 = 1+ (2 1) + (3 2) + + ( 1), 1= 4= 8 4( 2), 则 1= 3,所以, 当 2 时, 则有 = 1+ (2 1) + (3 2) + + ( 1).= 3 + 12 +

15、 20 + + (8 4) = 3 +(8 4 + 12)( 1)2= 42 1,1= 3 也满足 = 42 1, 故对任意的 N N,= 42 1,则1=1(2 1)(2 + 1)=12(12 112 + 1),所以, =12(1 13) + (1315) + + (12 112 + 1) =12(1 12 + 1) =2 + 1.(II)第 3 页共 8 页18.(本小题满分 12 分)为深入贯彻党的十九大教育方针. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见. 郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市 2000 名初二学生“双减”政策前后每天的

16、运动时间, 得到如下频数分布表:表一:“双减”政策后时间 (分钟)20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,90人数1060210520730345125表二: “双减”政策前时间 (分钟)20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,90人数4024556061040313012( I ) 用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化 (同一时间段的数据用该组区间中点值做代表);(II) 为给参加运动的学生提供方便, 学校在球场边安装直饮水设备. 该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作, 且两个滤芯互不影响,

17、一级滤芯有两个品牌 、: 品牌售价 5 百元, 使用寿命 7 个月或 8 个月 (概率均为 0.5 ); 品牌售价 2 百元, 寿命 3 个月或 4 个月 (概率均为 0.5).现有两种购置方案:方案甲: 购置 2 个品牌 ;方案乙: 购置 1 个品牌 和 2 个品牌 .试从性价比 (设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比) 角度考虑, 选择哪一种方案更实惠?解答双减政策后运动时间的的众数是 65 , 双减政策前众数是 55 , 说明双减政策后, 大多数学生的运动时间都变长;(平均数、中位数等都可以).(I)若采用甲方案, 记设备正常运行时间为 (单位: 月), 则 的取值有 7 、8,(

18、= 7) =34,( = 8) =14,则 的分布列:783414() = 7 34+ 8 14=294. 它与成本之比为()5 + 5=2940.若采用乙方案, 记设备正常运行时间为 (单位: 月), 则 的取值有 6,7,8,( = 6) =14, ( = 7) =58, ( = 8) =18,678145818() = 6 14+ 7 58+ 8 18=558. 它与成本之比为()5 + 2 + 2=5572.55722940, 方案乙性价比更高.(II)第 4 页共 8 页19.(本小题满分 12 分)在矩形 中, = 2 , = 2 , 是 中点,连接 , 将 沿 折起, 使得点 移

19、动至点 , 满足平面 平面 .( I ) 求证: ;(II) 求二面角 的余弦值.解答证明: 在矩形 中, 连接 , 记 = , = 6, = 3 ./,= 2 . =233, =33, =263, =63.2+ 2= 2,2+ 2= 2, = 2. , , = 2 .在四棱雉 中, 线段 取点 满足 = 2, , , = 平面 . 平面 , .(I) , 平面 平面 , 平面 平面 = , 平面 . 以 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,(233,0,0),(0,263,0), (0,0,63),(33,0,0) = 2 = (233,263,0), (233,63,0) =

20、 (233,63,0), = (233,63,63), = (33,0,63)设平面 的法向量为 1= (,), 1= 0, 1= 0,233 63 = 0,233 63 +63 = 0.1= (1,2,22) .设平面 的法向量 2= (,), 2= 0, 2= 0.33 63 = 0,233 63 +63 = 0.2= (2,2,2).设二面角 的大小为 ,|cos| =1 2|1|2|=2 2 + 41 + 2 + 8 4 + 2 + 2=2211(II)第 5 页共 8 页20.(本小题满分 12 分)设函数 () = ln( ) + e.( I ) 求函数 () 的单调区间;(II)

21、 当 = e 时, 证明: (e ) e+2e.解答函数 () 的定义域为 ,() =1 1 =1 + , ,() 0.故函数 () 单调递减区间为 (,), 无单增区间.(I) = e 时, 要证 (e ) e+2e,即证 ln + e+2e,即证ln+ 1 0),() =1 ln2,() 在 (0,e) 上单调递增, 在 (e,+) 上单调递减,() (e) =1e+ 1.设 () =e+12e,() =e( 1)2,() 在 (0,1) 上单调递减, 在 (1,+) 上单调递增,() (1) = +12e,又1e+ 1 e +12e, 所以当 = e 时, (e ) 0) 的左焦点为 1

22、, 离心率为12, 过 1的直线与椭圆交于 , 两点, 当 轴时, | = 3 .( I ) 求椭圆 的方程;(II) 设经过点 (0,1) 的直线 与椭圆 相交于 , 两点, 点 关于 轴的对称点为 , 直线 与 轴交于点 , 求 面积的取值范围.解答由题意可知: =12, 可得=32.又左焦点 1(,0), 当 轴时, 将 = 带入得 2=42.| =22= 3. 由=32,22= 3,解得 = 2, = 3.所以椭圆 的方程为24+23= 1.(I)由题意可知, 直线 斜率必存在且不为 0 , 设直线 的方程为 = 1( 0). 设 (1,1),(2,2),由 = 1,24+23= 1,

23、得 (42+ 3)2 8 8 = 0. = (8)2 4(8)(42+ 3) = 1922+ 96 0,1+ 2=842+ 3,12=842+ 3, 关于 轴的对称点为 , (1,1), 直线 的方程为 1=2 12+ 1( + 1).令 = 0, 得 =12+ 211+ 2=1(2 1) + 2(1 1)1+ 2=2121+ 2 1 = 3,(0,3). 的面积 =12|1 2| = |1 2| =(1+ 2)2 412=1922+ 9642+ 3=4342+ 242+ 3,令 = 42+ 2, 则 (2,+), =432+ 1=43 +1, +1 (322,+), (0,463), 面积的

24、取值范围 (0,463).(II)(二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22 、23 题中任选一题作答. 在答题卷上将所选题号涂黑, 如果多做, 则按所做的第一题计分.第 7 页共 8 页22.选修: 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中, 直线 的参数方程为 = cos, = 1 + sin,( 为参数). 以坐标原点为极点, 轴正半粙为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 =2tancos.( I ) 若 =6, 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(II) 设点 的直角坐标系下的坐标为 (0,1) , 直线 与曲线 交于 , 两点, 且 | = 4 , 求直线

25、的倾斜角.解答当 =6时, 直线 的参数方程为 =32 = 1 +12( 为参数), 的普通方程为 3 + 3 = 0.又因为 =2tancos, 所以 =2sincos2, 所以 2cos2 = 2sin,所以曲线 的直角坐标方程为 2= 2( 0).(I)将 = cos, = 1 + sin,代入 2= 2( 0) 中, 得 2cos2 2sin 2 = 0,设 , 对应的参数分别为 1,2, 所以 12=2cos2,| | = 4, 所以 |12| =|2cos2|= 4, 所以 cos = 22,又因为 0,), 所以 =4或 =34,所以直线 倾斜角为 =4或 =34.(II)23.

26、选修: 不等式选讲 (10 分)已知 , 均为正数, 且满足 2 + 3 + 4 = 9.( I ) 证明: ( + 1)( + 1)( + 1) 9 ;(II) 证明: 42+ 92+ 162 27.解答( + 1)( + 1)( + 1) =2( + 1)3( + 1)4( + 1)24124(2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 43)3=124 216 = 9当且仅当 = 2, = 1, =12时等号成立,即证: ( + 1)( + 1)( + 1) 9.(I)由柯西不等式得: (42+ 92+ 162)(1 + 1 + 1) (2 + 3 + 4)2= 81故 42+ 92+ 162 27.当且仅当 =32, = 1, =34时等号成立即证: 42+ 92+ 162 27.(II)第 8 页共 8 页